2023年人教版高中数学第五章三角函数知识汇总大全.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第五章三角函数知识汇总大全年人教版高中数学第五章三角函数知识汇总大全 单选题 1、掷铁饼者是希腊雕刻家米隆于约公元前 450 年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约4m，肩宽约为8m，“弓”所在圆的半径约为1.25m，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（）A2mB524mC58mD2m 答案：B 分析：由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长 由题得：弓所在的弧长为：=4+4+8=58；所以其所对的圆心角=5854=2；两手之间的距离=2sin4=2 1.25=524m 故选：B 2、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为 2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动 4 圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）s.A2B3C5D10 答案：C 分析：设点离水面的高度为()=sin(+)+2，根据题意求出,，再令()=6可求出结果.设点离水面的高度为()=sin(+)+2，依题意可得=4，=860=215，=6，所以()=4sin(215 6)+2，令()=4sin(215 6)=6，得sin(215 6)=1，得215 6=2+2，得=15+5，因为点P第一次到达最高点，所以0 2215=15，所以=0,=5s.故选：C 3、将函数()=2cos的图象先向右平移(0 0)倍，纵坐标不变，得到函数()的图象，若对()满足|(1)(2)|=4，有|1 2|min=4恒成立，且()在区间(6，3)上单调递减，则的取值范围是（）A12，3B3，2 C(3，23D3，23 答案：D 分析：可得()=2cos()，根据题意可求出最小正周期，得出，求出()的单调递减区间，根据包含关系可求出.由题可得()=2cos()，若满足|(1)(2)|=4，则1和2必然一个极大值点，一个极小值点，又|1 2|min=4，则2=4，即=2，所以=2=4，令2 4 2+，可得2+4 2+4+4，即()的单调递减区间为2+4,2+4+4,，因为()在区间(6，3)上单调递减，所以(6，3)2+4,2+4+4,，则2+462+4+43，解得2+3 2+23,，因为0 ，所以可得3 23.故选：D.4、已知函数()=sin(2+3)，为了得到函数()=cos(2+3)的图象只需将=()的图象（）A向左平移4个单位 B向右平移4个单位 C向左平移2个单位 D向右平移2个单位 答案：A 分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解.解：因为 sin(2+3+2)=cos(2+3)所以sin(2+3)sin(2+2+3)，只需将f(x)的图象向左平移4个单位，故选：A.5、若扇形周长为 20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（）A5 1sin1B1sin1+32C5sin11+sin1D5+51+sin1 答案：C 分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径的等式，由此求解出的值.设扇形的半径为，圆心角为，面积为，因为2+=20，所以=122=(10 )(10+2)2=25，取等号时10 =，即=5，所以面积取最大值时=5,=2，如下图所示：设内切圆圆心为，扇形过点的半径为，为圆与半径的切点，因为+=5，所以+sin=5，所以+sin1=5，所以=5sin11+sin1，故选：C.6、小说三体中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”小刘是三体的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB，AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为74，则cos=（）A1725B437C45D57 答案：A 分析：设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为|+，竖直高度为2，根据题意求得=52，由切线的性质和正弦函数的定义可得sin=25，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示 易知“水滴”的水平宽度为|+，竖直高度为2，则由题意知+2=74，解得=52，AB与圆弧相切于点B，则 ，在Rt 中，sin=52=25，由对称性可知，=，则=2，cos=1 2sin2=1 2 (25)2=1725，故选：A 7、已知sin=45，则sin()cos(2+)cos(+)sin(2)=（）A169B169C43D43 答案：B 分析：由诱导公式和同角关系sin()cos(2+)cos(+)sin(2)可化为sin2cos2，再由同角关系由sin求出cos2，由此可得结果.sin=45，cos2=1 sin2=925 则sin()cos(2+)cos(+)sin(2)=sin(sin)(cos)cos=sin2cos2=169，故选：B.8、()=sincos+2在,的图象大致为（）AB CD 答案：C 分析：先由函数为奇函数可排除 A，再通过特殊值排除 B、D 即可.由()=sin()+cos+2=sincos+2=()，所以()为奇函数，故排除选项 A.又()=sincos+2=21 0，则排除选项 B,D 故选：C 9、已知锐角终边上一点A的坐标为(2sin3,2cos3)，则角的弧度数为（）A3 2B2 3C 3D32 3 答案：A 分析：先根据定义得正切值，再根据诱导公式求解 tan=2cos32sin3=sin(23)cos(23)=tan(3 2)，又0 3 22，为锐角，=3 2，故选：A.10、若sin+cossincos=12，则tan(+4)的值为（）A2B2C12D12 答案：C 分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案.因为sin+cossincos=12所以tan+1tan1=12，解得tan=3，于是tan(+4)=tan+tan41tantan4=3+11(3)=12 故选：C.11、在0360范围内，与70终边相同的角是（）A70B110C150D290 答案：D 解析：根据终边相同的角的定义即可求解.与70终边相同的角的为70+360()，因为在0360范围内，所以=1可得70+360=290，故选：D.12、已知tan=2，则sin(2+)cos()cossin()=（）A2B-2C0D23 答案：B 分析：根据tan=2，利用诱导公式和商数关系求解.因为tan=2，所以sin(2+)cos()cossin()，=2coscossin，=21tan=2，故选：B 双空题 13、把函数=sin(2+4)的图象向右平移8，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，则所得图象的函数解析式为_，其对称轴方程为_.答案：=sin4 =8+4()分析：根据三角函数左右平移和伸缩变换原则可得到所求函数解析式；令4=2+()，求得即为所求对称轴方程.将=sin(2+4)向右平移8得：=sin(2(8)+4)=sin2，将=sin2横坐标缩短到原来的12，得到所求函数解析式为=sin4；令4=2+()，解得：=8+4()，所求对称轴方程为=8+4().所以答案是：=sin4；=8+4().小提示：本题考查三角函数的平移和伸缩变换、正弦型函数对称轴方程的求解问题；求解正弦型函数对称轴的常用方法是整体对应的方式，结合正弦函数的性质来进行求解.14、与角-2021终边重合的最大负角是_，与角 2022终边重合的最小正角是_.答案：-221 222 分析：根据终边相同的角相差360的整数倍，利用集合的描述法可写出符合条件的集合，给赋值进行求解即可 解：根据终边相同的角相差360的整数倍，故与-2021终边相同的角可表示为：|=360 2021，则当=4时，=5 360 2021=221，此时为最大的负角 与角 2022终边相同的角可表示为：|=360+2022，当=5时，=5 360+2022=222，此时为最小的正角 所以答案是：-221，222 15、1=_弧度；1 弧度=_ 答案：180#1180 180 分析：由 1 弧度的角的定义来求解答案 弧长正好等于半径时，所对应的圆心角为 1 弧度的角，所以360=2弧度，所以1=180弧度，1 弧度等于180度 所以答案是：180，180 16、已知 2,，则sin(2 2)=13，则cos2=_，tan=_ 答案：13 2 分析：首先利用诱导公式，计算cos2；根据cos2=13，构造齐次方程，求tan.sin(2 2)=cos2=13，所以cos2=13，cos2=cos2 sin2=cos2sin2cos2+sin2=1tan21+tan2=13，解得：tan2=2，因为 2,，所以tan=2.所以答案是：13；2 17、已知扇形AOB的周长为 8，在这个扇形的面积取得最大值时，其对应的圆心角的大小为_，弦长AB为_.答案：2 4sin1 分析：根据周长和面积，利用二次函数性质可得=2时取最大值，从而可得圆心角的大小和弦长AB.解：设半径为，弧的长为，圆心角为，则=8 2，扇形面积=12 =(4 )=2+4，利用二次函数性质可得，当且仅当=2时取最大值，此时=4，所以=2；由垂径定理得=2 sin2=4sin1.所以答案是：2，4sin1.解答题 18、已知向量 =(sin,12),=(3cos,cos2)，函数()=（1）求函数()的最大值及最小正周期；（2）将函数=()的图象向左平移6个单位，得到函数=()的图象，求()在0,2上的值域 答案：（1）最大值为1,最小正周期为；（2）12,1 分析：(1)由已知化简可得()=sin(2 6),可得最大值，利用周期公式可求()的最小正周期;(2)由图象变换得到()=sin(2+6),从而求函数的值域.(1)()=3sincos 12cos2 =32sin2 12cos2=sin(2 6).所以函数的最大值为1,最小正周期为=2|=22=(2)由(1)得()=sin(2 6).将函数=()的图象向左平移6个单位后得到=sin2(+6)6=sin(2+6)的图象.因此()=sin(2+6)，又 0,2，所以2+6 6,76，sin(2+6)12,1.故()在0,2上的值域为12,1.小提示：本题考查利用三角恒等变换求解三角函数的性质，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于向量数量积运算与恒等变换得()=sin(2 6)，进而根据三角函数性质求解.19、化简：(1)1+sin1+cos1cos+1sin1+cos+1cos(32)；(2)cos(32)tan2(1+cos)1cos(0 ).答案：(1)2cos2(2)22cos2 分析：（1）先求出2的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可，（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.（1）因为 32，所以2234，所以原式=sin22+2sin2cos2+cos222cos222sin22+sin222sin2cos2+cos222cos22+2sin22=(sin2+cos2)22cos2 2sin2+(sin2 cos2)22cos2+2sin2=22(sin2+cos2)+22(sin2 cos2)=2cos2.（2）因为tan2=sin2cos2=2sin2cos22cos22=sin1+cos，所以(1+cos)tan2=sin.又因为cos(32)=sin，且1 cos=2sin22，所以原式=sinsin2sin22=2sin2|sin2|=22sin2cos2|sin2|，因为0 ，所以0 2 0.所以原式=22cos2.20、已知函数()=sin(+)+(0,0,|2)的部分图象如图所示.(1)求()的解析式及对称中心坐标：(2)先把()的图象向左平移6个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数()的图象，若当 4,6时，关于的方程()+2 1=0有实数根，求实数的取值范围.答案：(1)()=2sin(2+3)1，(26,1)(Z)(2)12,12 分析：（1）由最大值和最小值求得，的值，由2=71212以及=2可得的值，再由最高点可求得的值，即可得()的解析式，由正弦函数的对称中心可得()对称中心；（2）由图象的平移变换求得()的解析式，由正弦函数的性质可得()的值域，令1 2的取值为()的值域，解不等式即可求解.（1）由题意可得：+=1+=3，可得=2=1，所以()=2sin(+)1，因为2=71212=2，所以=2，可得=2，所以()=2sin(2+)1，由2 12+=2+2(Z)可得=3+2(Z)，因为|2，所以=0，=3，所以()=2sin(2+3)1.令2+3=(Z)可得=26(Z)，所以对称中心为(26,1)(Z).（2）由题意可得：()=2sin2(+6)+3 1+1=2sin(2+23)，当 4,6时，2+23 6,，sin(2+23)0,1，()0,2 若关于的方程()+2 1=0有实数根，则1 2=()有实根，所以0 1 2 2，可得：12 12.所以实数的取值范围为12,12.