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乌帕尔中学 高中一年级 数学一课时教案 2011.2.28高中一年级（1）班 麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 第2节 新课第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角（第一课时）一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法.2、过程与方法通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、教法与学法教法：主讲法，引导法，启动法，练习法，讨论法。学法：回忆，做练习，讨论，听课，提问。四、教学工具教学工具:三角板.应用：画角，画直角坐标系.五、教学过程复习准备：1. 提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？学生：2. 讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？学生：3.思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？学生：老师：取出一个钟表,实际操作我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容任意角.讲授新课：1初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？黑板上画出图1角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体” （即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?展示模型如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.如图3，中的角是一个正角,它等于；图3中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如图4中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.4.练习:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.学生：(2)(回答)今天是星期一那么天后的那一天是星期几? 天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?学生：5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.不难发现,在图5中,如果的终边是,那么角的终边都是,而,.设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.6.例题讲评例1. 例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）例2.写出终边在轴上的角的集合.例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来. 7.练习教材第3、4、5题.注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.8.学习小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在轴、轴、直线上的角的集合. 六、评价设计1. 写出终边在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线y=-x呢？2. 作业：书P5 练习 3 （3）（4）4.（2）（3）5题.七、板书设计1.1.1任意角图1图3图4图5例1例2例3练习例3例4教学反思：组长意见乌帕尔中学 高中一年级 数学一课时教案 2011.3.1高中一年级（1）班 麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 第2节 新课1.1.2弧度制（第一课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制-弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点 重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.三、教法与学法教法：主讲法，引导法，启动法，练习法，讨论法。学法：回忆，做练习，讨论，听课，提问。四、教学工具教学工具:三角板.应用：画角，画直角坐标系.五、教学过程创设情境有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制-弧度制.探究新知1角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本，自行解决上述问题.2.弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 3.探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.弧的长旋转的方向的弧度数的度数逆时针方向逆时针方向我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少?角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径.5.根据探究中填空:,度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.6.例题讲解例1.按照下列要求,把化成弧度:(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:度弧度角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: (1); (2); (3).其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.例4.利用计算器比较和的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习 9.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?五、评价设计1作业：习题1.1 A组第 题 2要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同能够使用计算器求某角的各三角函数值3.预习习题1.1六、板书设计1.1.2任意角图1表1例1例2表2例3练习例1例2例3例4教学反思：组长意见乌帕尔中学 高中一年级 数学一课时教案 2011.3.2高中一年级（1）班 麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 第6节 习题课习题1.1（第一课时）A组一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并应用正角，负角概念；（2）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；2、过程与方法把习题学生互相合作的自己做老师改正，指导。3、情态与价值通过做习题巩固学过知识，并且培养学生互相合作，探究能力。二、教学重、难点 重点: 理解并掌握基本知识。难点: 基本知识的应用。三、教法与学法教法：引导法，启动法，练习法，讨论法。学法：回忆，做练习，讨论，提问。四、教学工具教学工具:参考书.应用：给出学生模拟题。五、教学过程习题1.1A组 解： ，所以范围内，与角终边相同角是，他是第二象限角。解：所以范围内，与角终边相同角是，他是第一象限角。解：（1）, 解：第一象限角的集合第二象限角的集合解：例9例10 六，作业习题1.1 七，板书设计习题1.1例1例2例3例4例5例6例7例8例9例10教学反思：组长意见乌帕尔中学 高中一年级 数学一课时教案 2011.3.3高中一年级（1）班 麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 第1节 新课1.2.1任意角的三角函数（第一课时）一， 教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法； 2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、教法与学法教法：主讲法，引导法，启动法，练习法，讨论法。学法：回忆，做练习，讨论，提问。y P（a，b） r O M四、教学工具教学工具:三角板、圆规、计算器五、教学过程创设情境提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那a的终边P(x,y)Oxy么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则; .思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：; ; .思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题任意角的三角函数.探究新知1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦(sine),记做,即；（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；（3）叫做的正切(tangent),记做,即.注意:当是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求的正弦、余弦和正切值.例2已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设则.于是 ,.5.巩固练习6.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)请写出各三角函数的定义域。六、评价设计1作业：习题1.2 A组第1,2题 2比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.七，板书设计1.2.1任意角的三角函数图1图2定义例1例2练习例1例2例3教学反思：组长意见乌帕尔中学 高中一年级 数学一课时教案 2011.3.4高中一年级（1）班 麦麦提图尔荪阿卜杜热伊木 第7节 新课1.2.1任意角的三角函数（第二课时）一， 教学目标：1、知识与技能（1）三种三角函数值在各象限的符号；（2）掌握并能初步运用公式一。2、过程与方法根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值根据三角函数的定义，推导出三种函数值各象限的符号和终边相同的角的同一三角函数之间的关系。二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切这三种三角函数的函数值在各象限的符号；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切这三种三角函数的函数值在各象限的符号.三、教法与学法教法：主讲法，引导法，启动法，练习法，讨论法。学法：回忆，做练习，讨论，提问。四、教学工具教学工具:计算器五、教学过程【复习回顾】1、 三角函数的定义；2,三角函数在轴上角的值；3,三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.探究新知:1.请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制2.例题讲评例3求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角.3. 思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: (其中)4. 例题讲评例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1); (2); (3); (4)例5.求下列三角函数值: (1); (2); (3)利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求到(或到)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.5.巩固练习六，学习小结 (1)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (2)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?六、评价设计 1.作业：习题1.2 2.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法七，板书设计1.2.1任意角的三角函数表1公式2例3例4例5练习例5例6例7教学反思：组长意见