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高中数学基础知识归类4

九.直线、平面、简单几何体
1.空间几何体：①有两个面互相______，其余各都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相________的多面体叫棱柱（棱柱的各个侧面都是______________）；②有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫______；③用一个平行于棱锥底面的平面去截_______，底面与截面之间的部分叫做棱台；④以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做_________；⑤以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做________；⑥用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做_________;⑦以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做_______.
2.空间几何体的三视图与直观图：三视图是观察者从__________观察同一个几何体画出的空间几何体图形.三视图包括________、_________和___________；直观图是观察者从_________观察几何体画出的空间几何体的图形.
斜二测画法的步骤（1）在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点；画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于，且使∠_____或______，它们确定的平面表示水平面；（2）已知图形中平行于轴或轴，在直观图中分别画成平行于______或_______的线段；（3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中______________，平行于轴的线段，长度变为______________.斜二测画法中，平面图形的原图与直观图的面积比为1：.
3.空间点线面的位置关系：（以下定理的填空应尽量用符号语言填写）
公理1：_______________________________________________________；
公理2：_______________________________________________________；
公理3：_______________________________________________________；
公理4：_______________________________________________________；
等角定理：____________________________________________________；
线面平行的判定定理：__________________________________________；
线面平行的性质定理：__________________________________________；
面面平行的判定定理：__________________________________________；
面面平行的性质定理：①______________________________；②_____________________________；
线面垂直的判定定理：_________________________________________________________________；
面面垂直的判定定理：_________________________________________________________________；
面面垂直的性质定理：_________________________________________________________________；
线面垂直的性质定理：_________________________________________________________________；
平行公理：过直线外一点有且只有_________直线和这条直线平行.
垂直于同一个平面的两条直线_______；如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
4.空间几何体的表面积和体积：要会求空间几何体表面积和体积，但公式不用记忆.
5.空间向量的概念及运算（略）.可用类比平面向量的知识来掌握.
空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，，，使得______________________.
6.利用空间向量判定线面位置关系的方法：（1）①在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点的______________.②空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点及一个定方向确定.如点是直线上一点，向量表示直线的方向（方向向量），在直线上取，那么对于直线上任意一点，一定存在实数，使得_________________，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出上的任意一点.③空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.设这两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对，，使得，这样，点与向量和不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点.类似于直线的方向向量，还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置（主要表示方法）.（2）一般地，由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳如下结论：设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则①⁄⁄ ⁄⁄ ，；②⊥⊥；③⁄⁄ ⊥；④⊥⁄⁄ ，；⑤⁄⁄ ⁄⁄ ，；⑥⊥⊥.（这几个是较典型的方法，其它的方法同学们可以自已归纳）
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
7．平面的法向量的求法.
D
C
B
A
P
E
例：（2008湖南卷）如图所示，四棱锥的底面ABCD是边长为1的菱形，，E是CD的中点，底面，.
(1)证明:平面平面.
D
C
A
P
E
B
x
y
z
(2)求平面和平面所成二面角(锐角)的大小.
解：（1）略
（2）如图所示，建空间坐标系，则
，，，
易知：，，
.
设是平面PBE的一个法向量,则由（、两条相交直线的方向向量）
得.令,则.
设是平面PAD的一个法向量,则由（、两条相交直线的方向向量）
得,令,则.
于是，.
故平面PAD与平面PBE所成的二面角(锐角)的大小为（反三角函数的表示法）.
8.异面直线所成角：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线⁄⁄ ，⁄⁄ ，把与所成的__________叫做异面直线，所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角，那就说这两条直线_______________.异面直线所成角的范围_________________.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线.有时候需要补形，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；⑵向量法.（如果全品例1及变式题）
9.直线与平面所成角：直线跟它在该平面内的射影所成的锐角；当直线跟平面平行或直线在平面内时，就说所成的角为；当直线跟平面垂直时，就说所成的角为.直线与平面所成角的求法：⑴几何法：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键；⑵向量法（如全品例2及变式题）. （如全品例2及变式题）
10.二面角和二面角的平面角的定义：①从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做_________.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为、面分别为、的二面角记作二面角，如果棱为，那么这个二面角记作.②在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分作垂直于棱的射线和，则射线和构成的∠叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.二面角的取值范围是_______________.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
二面角的求法：⑴定义法，关键是作出二面角的平面角，然后求之.作二面角的平面角可以用定义、三垂线法或垂面法；⑵向量法：主要方法，用这样方法不用在图形中画出平面角；⑶射影法：利用面积射影公式其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角.
11.空间距离的求法：⑴求点到直线的距离，一般先过点作出直线的垂线再求垂线段的长.
⑵求点到平面的距离，一是直接法，直接过点作出平面的垂线，然后去求垂线段的长（如全品第42讲的作业第4题，该题也可用等体积法，向量法）；
二是不作出垂线，转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解；三是向量法，也不用作垂线，为主要方法（具体方法后面有论述）.
12.用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设、分别为异面直线、的方向向量，则两异面直线所成的角.⑵求线面角：设是斜线的方向向量,是平面的法向量,则斜线与平面所成的角. ⑶求二面角(法一)在内,在内,其方向如图(略),则二面角的平面角.(法二)设,是二面角的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角的平面角（进一步确定要根据图形）（如2010福建高考卷第18题第3小题）.（4)求点面距离：设是平面的法向量，在内取一点,则到的距离(即在方向上投影的绝对值).
13.从一点出发的三条射线、、.若,则点在平面上的射影在的平分线上.（了解）
14.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为,则.（了解）
15.正四面体(设棱长为)的性质：
①全面积；②体积；③对棱间的距离；④相邻面所成二面角的余弦值；⑤外接球半径；⑥内切球半径；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值.
16.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体，可再补充四点，构造一个共外接球的长方体).在直角四面体中,两两垂直,令,则⑴底面三角形为锐角三角形； ⑵直角顶点在底面的射影为三角形的垂心；⑶； ⑷；⑸；⑹外接球半径.
17.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有或；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,则有或.
18.正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；正方体的内切球的直径等于其棱长；当一个球跟正方体的棱相切时，球的直径等于正方体的面对角线.对于球跟其它简单几何体的组合问题，关键是分析过球心的截面.（如全品例1变式题，例2等）
十.计数原理
1.分类计数原理：完成一件事，如果有类办法，在第一类办法中有种不同方法，在第二类办法中有种不同方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有_________
_________________________种不同方法.
2.分步计数原理：完成一件事需要分成个步骤，做第一步有种不同方法，做第二步有种不同方法，……，做第步有种不同方法，那么完成这件事共有_______________________________种不同方法.
注意：
3.排列定义：从个不同元素中任取个元素，____________________排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
排列数公式:，当时为全排列.
4.组合定义：从个不同元素中，任意取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.排列与组合的主要区别是看是否需要考虑顺序.
组合数公式：,.
3.组合数性质：；.
4.计数问题主要解题方法：分类，分步，排列，组合等.
其他方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先（如全品例2(1)或及其变式题等）；②捆绑法(相邻问题)（如全品例2（2）等）；③插空法（不相邻问题）（如全品例2（3））；④间接扣除法 (对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）（如全品例3变式题）；⑤多排问题单排法（如全品第12题）;⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至少有一个）（如全品第17题）；⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题) （如全品第8题）；⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类，不相邻区域往往要讨论) （如全品例4变式题）.⑨分组问题： 要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成组问题别忘除以（如全品例4变式题（3））.
5.常用性质：；即；.
6.二项式定理：___________________________________________________________________.
注意： ⑴掌握二项展开式的通项：；
⑵注意第k＋1项二项式系数与第k＋1项系数的区别.
7.二项式系数具有下列性质：⑴与首末两端等距离的二项式系数相等；⑵若为偶数,中间一项(第项)的二项式系数最大；若为奇数,中间两项(第和项)的二项式系数最大.
⑶；.
8.二项式定理应用：近似计算、整除问题（如全品第12题）、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和如展开式的各项系数和为,奇数项系数和为,偶数项的系数和为（如全品例3及其变式题，第6、15题等）.
十一.概率与统计（统计案例）
1.掌握抽样的三种方法：⑴________________(包括抽签法和随机数表法)；⑵_____________，也叫等距抽样；⑶__________(按比例抽样)，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.如从含有个个体的总体中,采用随机抽样法,抽取个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为,第二次被抽到的概率为,…,故每个个体被抽到的概率为,即每个个体入样的概率为.（如全品第52讲）
2.列频率分布表、画频率分布直方图的步骤：（1）计算极差，即计算____________________________；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图.注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率.直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距＝频率；②各组频率的和等于_________，即所有长方形的面积的和等于__________；③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势；④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容.
3.连接频率分布直方图各个小长形上端的中点，就得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，组距减少，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为_____________.该曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律.
4.变量的相关性与统计案例.（1）变量与变量之间的关系大致可分为两种类型：确定的_______关系与不确定的_______关系；（2）两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做________图；（3）若两个变量的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称这两个变量是___________的，而若所有点看上去在___________附近波动，则称此相关为非线性相关，如果所有点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间_____________.（4）从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为__________，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为___________.（5）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，则这条直线叫_________________；（6）两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，，，，其回归方程是，其中是回归方程的_______，是________，公式略.（7）回归分析的基本思想及其初步应用：①对个样本数据，，，，____________称为样本点的中心.②回归分析是对具有_______关系的两个变量进行统计分析的方法，其常用的研究方法步骤是画出__________，求出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预报.③画残差图，进行残差分析，利用相关指数分析.（8）独立性检验的基本思想及其初步应用：①若变量的不同“值”表示_____________________，则这类变量称为分类变量.②列出的两个分类变量的________表，称为列联表.③利用随机变量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的_________________.（如全品例4及变式题）
5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大, 这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；⑴学会用样本平均数
去估计总体平均数；⑵会用样本方差去估计总体方差及总体标准差.
6.茎叶图，用茎叶图表示数据时，不会损失原始信息，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到，因此，可以根据样本数据中的“叶”的分布估计总体分布，但样本数据较多时茎叶图就显得不太方便了.（如全品例2及变式题）
7.①众数：一组数据中出现________最多的数据；②中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）依次排列，把________数据（或_______________的平均数）叫做中位数；③平均数：，，，的平均数是_____________________________________________________.
8.随机事件和确定事件（1）在条件下，一定会发生的事件，叫做相对于条件的_____________.（2）在条件下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件的_____________.（3）____________和________________统称为相对于条件的确定事件.（4）在条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件的_____________.
9.在相同条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的___________，称事件出现的比例____________为事件出现的频率.对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在____________上，把这个________记作__________，称为事件的概率.
10.事件的关系与运算（1）对于事件与事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件_______事件（或称事件_________事件），记作_________（或__________）.（2）若有
__________且_________，那么称事件与事件相等，记作________.（3）若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的__________（或___________），记作_______（或__________）.（4）若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的__________（或__________），记作_______（或________）.（5）若为不可能事件（），那么称事件与事件________，其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生.（6）若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件________，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生.
11.概率的几个基本性质：（1）概率的取值范围为_________________.（2）必然事件的概率为_______.（3）不可能事件的概率为______.
12.概率问题：
⑴①我们把具有：i)___________________________________；ii)__________________________两个特点的概率模型称为古典概型，概率计算公式，其中为基本事件总数，为事件包含的基本事件数；②我们把具有：i)_______________________________；ii)____________________________________两个特点的概率模型称为几何概型,计算公式 （主要区别是有限性与无限性）.
⑵我们把____________________________________称为互斥事件，互斥事件有一个发生的概率公式为：；如果事件、为互斥事件，且在某次试验中必有一个发生，则称事件、为__________________，概率关系_____________________.
⑶条件概率：一般地，设、为两个事件，且，称∣______________为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率.计算公式∣_____________________________（古典概型时用）（如全品例1及其变式题，第11、12、14题等）.如果和是两个互斥事件，则∣__________________.
⑷设、为两个事件，如果___________________，则称事件与事件相互独立.相互独立事件同时发生的概率公式为_____________________（可以直观判断）（如全品第6题）.
⑸把________________________________________称为独立重复试验，概率公式.
⑹如果事件与独立，那么事件与、与及事件与也都是独立事件（如全品第1题）.
⑺如果事件、相互独立，那么事件、至少有一个不发生的概率是.⑻如果事件与相互独立，那么事件与至少有一个发生的概率是（如全品第7题）.
13.理解随机变量：随着试验结果变化而变化的变量.离散型随机变量的定义：所有取值可以一一列出的随机变量.离散型随机变量的分布列:一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，，，，，，取每一个值（）的概率，则表

…

…

…

…

称为离散型随机变量的概率分布列，简称分布列.有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列.

1

由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：⑴；⑵.
14.（1）两点分布：若随机变量的分布列是 .则这样的分布

列称为两点分布.如果随机变量的分布列为两点分布列，就称服从两点分布，而称为成功概率.（2）超几何分布：一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，.其中，且，则称分布列

为超几何分布，如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布.
（3）二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为,记，此时称随机变量服从二项分布，记作为参数)，并称为成功概率.
15.记住以下重要公式和结论：
⑴期望值.该数值反映了离散型随机变量取值的_____________.
⑵方差.
⑶标准差. 方差与标准差刻画了随机变量与其均值的___________________.
⑷.
⑸若服从两点分布，则, .若(二项分布),则, .
16.（1）正态总体的概率密度函数：,式中是参数,分别表示总体的平均数与标准差.
（2）正态曲线的性质：⑴曲线在轴上方，并且关于直线x= 对称；⑵曲线在时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑶曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦.
（3）概率：一个记住原则，一个就是利用曲线的对称性.（如全品例3及变式题）
十二.复数
1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.形如________________的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足___________，叫做_____________，叫做___________，复数集记作________.
2.复数的几何意义：（1）建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，轴叫做___________，轴叫做__________，轴的单位是1，轴的单位是.显然，实轴上的点都表示
_________；除原点外，虚轴上的点都表示__________.（2）复数有序实数对点.（3）设，则向量的长度叫做复数的___________（或_______），记作，且.（4）复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.
3.如果两个复数实部____________,而虚部________________，则这两个复数互为共轭复数，即复数的共轭复数为.
4.熟练掌握与灵活运用以下结论：⑴且；⑵复数是
实数的充要条件：①；②；③.
5.复数是纯虚数的条件: ①是纯虚数__________________________； ②是纯虚数
；③是纯虚数.
6.⑴复数的代数形式及运算：；⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设,
,则
,,
.
7.几个重要的结论：
⑴；⑵；⑶若为虚数,则.
8.运算律仍然成立：(1) ⑴； ⑵；⑶.
9.注意以下结论：⑴；⑵,；⑶；
⑷.
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