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2021-2022学年高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语测评巩固练习新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语测评巩固练习新人教A版必修第一册

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第一章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U={x∈Z|-1≤x≤3},集合A={x∈Z|0≤x≤3},则∁UA=(　　)
A.{-1} B.{-1,0}
C.{-1,0,-1} D.{x|-1≤x<0}
解析:U={x∈Z|-1≤x≤3}={-1,0,1,2,3},A={x∈Z|0≤x≤3}={0,1,2,3},
则∁UA={-1}.
答案:A
2.已知集合A={x|-3<x<2},B={x|x<-4,或x>1},则A∩B=(　　)
A.{x|-4<x<-3} B.{x|-3<x<1}
C.{x|1<x<2} D.{x|x<-3,或x>1}
解析:∵A={x|-3<x<2},B={x|x<-4,或x>1},∴A∩B={x|1<x<2}.故选C.
答案:C
3.命题“∀x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是(　　)
A.∃x∈R,x2-2x+1≤0 B.∃x∈R,x2-2x+1≥0
C.∃x∈R,x2-2x+1<0 D.∀x∈R,x2-2x+1<0
答案:C
4.设x∈R,则“x<3”是“-1<x<3”的(　　)
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析:x=-2满足x<3,但“-1<x<3”不成立,即充分性不成立;当“-1<x<3”时,x<3成立,即“x<3”是“-1<x<3”的必要不充分条件,故选C.
答案:C
5.已知全集U=R,M={x|x<-1},N={x|x(x+2)<0},则图中阴影部分表示的集合是(　　)

A.{x|-1≤x<0}
B.{x|-1<x<0}
C.{x|-2<x<-1}
D.{x|x<-1}
解析:题图中阴影部分为N∩(∁UM),
∵M={x|x<-1},∴∁UM={x|x≥-1}.
又N={x|x(x+2)<0}={x|-2<x<0},
∴N∩(∁UM)={x|-1≤x<0},故选A.
答案:A
6.下列语句是存在量词命题的是(　　)
A.整数n是2和5的倍数
B.存在整数n,使n能被11整除
C.若3x-7=0,则x=73
D.∀x∈M,p(x)
解析:对于A,不能判断真假,不是命题;对于C,是若p则q形式命题;对于D,是全称量词命题;对于B,命题:存在整数n,使n能被11整除,含有存在量词“存在”,故B是存在量词命题,故选B.
答案:B
7.将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　　)
A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立
B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy成立
C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy成立
D.存在x<0,y<0,使x2+y2≤2xy成立
解析:命题“x2+y2≥2xy”是指对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立,故命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为:对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立.
答案:A
8.设a,b∈R,则“(a-b)a2>0”是“a>b”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:(a-b)a2>0⇔a>b,且a≠0,
∵a>b,且a≠0⇒a>b,a>b推不出a>b,且a≠0,
∴“(a-b)a2>0”是“a>b”的充分不必要条件.
答案:A
9.已知对于实数a,α:a-1a+1>0,β:关于x的方程x2-ax+1=0有实数根,则α是β成立的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:α:由a-1a+1>0得a>1或a<-1,
β:若关于x的方程x2-ax+1=0有实数根,
则判别式Δ=a2-4≥0,得a≥2或a≤-2,
∵{a|a≥2,或a≤-2}⫋{a|a>1,或a<-1},
∴α是β成立的必要不充分条件,故选B.
答案:B
10.已知命题p:∃x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是(　　)
A.a<1 B.a≤1 C.a>1 D.a≥1
解析:∵p为假命题,∴p的否定为真命题,即∀x>0,x+a-1≠0,即x≠1-a,∴1-a≤0,则a≥1.故选D.
答案:D
11.若不等式组x+y≥1,x-2y≤4的解集为D,则下列命题中正确的是(　　)
A.∀(x,y)∈D,x+2y≤-1
B.∀(x,y)∈D,x+2y≥-2
C.∀(x,y)∈D,x+2y≤3
D.∀(x,y)∈D,x+2y≥2
解析:∵不等式组x+y≥1,①x-2y≤4,②
∴x+y≥1,①-x+2y≥-4,③∴x+y≥1,①y≥-1,④
∴x+2y≥0,即x+2y≥-2成立.
∴当x+y≥1,x-2y≤4的解集为D时,∀(x,y)∈D,x+2y≥-2成立.故选B.
答案:B
12.已知非空集合A,B满足以下两个条件:
①A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=⌀;
②若x∈A,则x+1∈B.
则有序集合对(A,B)的个数为(　　)
A.12 B.13 C.14 D.15
解析:由题意分类讨论可得,若A={1},则B={2,3,4,5,6};若A={2},则B={1,3,4,5,6};若A={3},则B={1,2,4,5,6};若A={4},则B={1,2,3,5,6};若A={5},则B={1,2,3,4,6};若A={1,3},则B={2,4,5,6};若A={1,4},则B={2,3,5,6};若A={1,5},则B={2,3,4,6};若A={2,4},则B={1,3,5,6};若A={2,5},则B={1,3,4,6};若A={3,5},则B={1,2,4,6};若A={1,3,5},则B={2,4,6}.
综上可得,有序集合对(A,B)的个数为12.故选A.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z},则A∩B=　　　　　. 
解析:因为集合A={x|x=2k-1,k∈Z}={奇数},B={x|x=2k,k∈Z}={偶数},所以A∩B=⌀.
答案:⌀
14.某学校开展小组合作学习模式,高二(1)班某组甲同学给组内乙同学出题如下:若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.乙同学略加思索,反手给了甲同学一道题:若命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.你认为两名同学题中m的取值范围是否一致?　　　　　.(填“是”“否”中的一种) 
解析:因为命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+m>0”,而命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定“∀x∈R,x2+2x+m>0”为真命题,所以两名同学题中m的取值范围是一致的.
答案:是
15.设a,b为正数,则“a-b>1”是“a2-b2>1”的　　　　　条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 
解析:因为a-b>1,即a>b+1,又a,b为正数,所以a2>(b+1)2=b2+1+2b>b2+1,即a2-b2>1成立;反之,当a=3,b=1时,满足a2-b2>1,但a-b>1不成立.
所以“a-b>1”是“a2-b2>1”的充分不必要条件.
答案:充分不必要
16.已知集合A={2+a2,a},B={0,1,3},且A⊆B,则实数a的值是　　　　　. 
解析:①a=0,A={0,2},与A⊆B矛盾,舍去;
②a=1,A={1,3},满足A⊆B;
③a=3,A={3,11},与A⊆B矛盾,舍去;故a=1.
答案:1
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;
(2)末位是0的实数能被2整除;
(3)∃x>1,x2-2>0.
解:(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,且是真命题.
(2)命题中省略了全称量词“所有”,是全称量词命题,且是真命题.
(3)命题中含有存在量词“∃”,是存在量词命题,且是真命题.
18.(本小题满分12分)设全集U=R,已知集合A={1,2},B={x|0≤x≤3},集合C为不等式组x+1≥0,3x-6≤0的解集.
(1)写出集合A的所有子集;
(2)求∁UB和B∪C.
解:(1)A的所有子集为⌀,{1},{2},{1,2}.
(2)C={x|-1≤x≤2},∁UB={x|x<0,或x>3},B∪C={x|-1≤x≤3}.
19.(本小题满分12分)已知集合A={x|x2-ax+3=0,a∈R}.
(1)若1∈A,求实数a的值;
(2)若集合B={x|2x2-bx+b=0,b∈R},且A∩B={3},求A∪B.
解:(1)∵1∈A,∴1-a+3=0,∴a=4.
(2)∵A∩B={3},∴3∈A,3∈B,
∴9-3a+3=0,18-3b+b=0,解得a=4,b=9;
∴A={x|x2-4x+3=0}={1,3},B={x|2x2-9x+9=0}=3,32;∴A∪B=1,32,3.
20.(本小题满分12分)已知集合A={x|-3<x<2},B={x|0≤x<5},C={x|x<m},全集为R.
(1)求A∩(∁RB);
(2)若(A∪B)⊆C,求实数m的取值范围.
解:(1)∵∁RB={x|x<0,或x≥5},
∴A∩(∁RB)={x|-3<x<0}.
(2)∵A∪B={x|-3<x<5},(A∪B)⊆C,
∴m≥5,∴实数m的取值范围为{m|m≥5}.
21.(本小题满分12分)已知全集U=R,集合A={x|(x-2)(x-3)<0},B={x|(x-a)(x-a2-2)<0}.
(1)当a=12时,求(∁UB)∩A;
(2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.
解:由(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即A={x|2<x<3},由(x-a)(x-a2-2)<0,a2+2>a,解得a<x<a2+2,即B={x|a<x<a2+2}.
(1)当a=12时,B=x12<x<94,
则∁UB=xx≤12,或x≥94.
故(∁UB)∩A=x94≤x<3.
(2)由命题p:x∈A,命题q:x∈B,q是p的必要条件,得p⇒q,即A⊆B,所以a≤2,a2+2≥3⇒a≤-1或1≤a≤2.
故实数a的取值范围为a≤-1或1≤a≤2.
22.(本小题满分12分)已知p:x-2>0,q:ax-4>0,其中a∈R.
(1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解:(1)设命题p:A={x|x-2>0},即p:A={x|x>2},命题q:B={x|ax-4>0},因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B,即a>0,4a<2,解得a>2.
所以实数a的取值范围为a>2.
(2)由(1)得B⫋A,
①当a=0时,B=⌀,满足题意;
②当a>0时,由B⫋A,得4a>2,即0<a<2;
③当a<0时,显然不满足题意.
综合①②③得,实数a的取值范围为0≤a<2.