2021-2022学年高中数学-第五章-三角函数-5.5.1-第2课时-两角和与差的正弦、余弦、正切.docx

2021-2022学年高中数学 第五章 三角函数 5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第五章 三角函数 5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

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第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课后训练巩固提升
A组
1.已知α∈π2,π,sinα+π4=35,则sin α等于(　　)
A.210 B.7210
C.-210或7210 D.-7210
解析:因为α∈π2,π,所以3π4<α+π4<5π4.
所以cosα+π4=-1-sin2α+π4=-1-352=-45.
所以sinα=sinα+π4-π4=sinα+π4cosπ4-cosα+π4sinπ4=22×35+45=7210.
答案:B
2.函数f(x)=sinx+π4-sinx-π4是(　　)
A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数
解析:因为f(x)=sinx+π4-sinx-π4
=sinxcosπ4+cosxsinπ4-sinxcosπ4+cosxsinπ4=2cosx,
所以函数f(x)的最小正周期为2π1=2π.
又因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=2cos(-x)=2cosx=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
答案:B
3.已知α∈π2,π,且sin α=35,则tanα+π4的值为(　　)
A.17 B.7 C.-17 D.-7
解析:因为α∈π2,π,且sinα=35,
所以cosα=-45.所以tanα=-34.
所以tanα+π4=tanα+11-tanα=-34+11+34=17,故选A.
答案:A
4.若tan 28°tan 32°=a,则tan 28°+tan 32°等于(　　)
A.3a B.3(1-a) C.3(a-1) D.3(a+1)
解析:∵tan(28°+32°)=tan28°+tan32°1-tan28°tan32°=3,
∴tan28°+tan32°=3(1-a).
答案:B
5.已知-π2<α<0,且2tan α·sin α=3,则sinα-π3的值是(　　)
A.0 B.-32 C.-1 D.32
解析:因为2tanα·sinα=2sin2αcosα=3,
又sin2α+cos2α=1,所以cosα=12.
因为-π2<α<0,所以sinα=-32.
所以sinα-π3=12sinα-32cosα=-32.
答案:B
6.tan75°-tan15°1+tan75°tan15°=　　　　　. 
解析:原式=tan(75°-15°)=tan60°=3.
答案:3
7.sin 155°cos 35°-cos 25°cos 235°=　　　　　. 
解析:原式=sin25°cos35°+cos25°sin35°=sin(25°+35°)=sin60°=32.
答案:32
8.已知θ为第二象限角,若tanθ+π4=12,求cos θ的值.
解:因为tanθ+π4=12,
所以tanθ=tanθ+π4-π4=tanθ+π4-tanπ41+tanθ+π4tanπ4=12-11+π4=-13.
由tanθ=sinθcosθ=-13,sin2θ+cos2θ=1,
且θ为第二象限角,可得cosθ=-31010.
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为210,255.

(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
解:由题意可知cosα=210,cosβ=255.
∵α,β为锐角,∴sinα=7210,sinβ=55,
∴tanα=7,tanβ=12.
(1)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=7+121-7×12=-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=tan(α+β)+tanβ1-tan(α+β)·tanβ=-3+121-(-3)×12=-1,
∵α,β为锐角,∴0<α+2β<3π2,∴α+2β=3π4.
B组
1.已知tan(α+β)=25,tanβ-π4=14,则tanα+π4的值为(　　)
A.322 B.2213 C.1318 D.16
解析:因为α+π4=(α+β)-β-π4,
所以tanα+π4=tan(α+β)-β-π4=tan(α+β)-tanβ-π41+tan(α+β)tanβ-π4=25-141+25×14=322.
答案:A
2.已知sin α=35,α∈0,π2,则2cosα+π4等于(　　)
A.75 B.15 C.-75 D.-15
解析:因为α∈0,π2,sinα=35,
所以cosα=45.
所以2cosα+π4
=2cosαcosπ4-sinαsinπ4=15.
答案:B
3.已知cos α=1213,α∈3π2,2π,则sinα-π4等于(　　)
A.5213 B.7213 C.17226 D.-17226
解析:因为α∈3π2,2π,所以sinα<0.
又因为sin2α+cos2α=1,cosα=1213,
所以sinα=-513.
所以sinα-π4=sinαcosπ4-cosαsinπ4
=22sinα-22cosα
=22×-513-22×1213=-17226.
答案:D
4.已知sin(α+β)=35,sin(α-β)=-23,则tanαtanβ=(　　)
A.115 B.25 C.119 D.-119
解析:因为sin(α+β)=35,sin(α-β)=-23,
所以sinαcosβ+cosαsinβ=35,sinαcosβ-cosαsinβ=-23,
解得sinαcosβ=-130,cosαsinβ=1930.
所以tanαtanβ=sinαcosαsinβcosβ=sinαcosβcosαsinβ=-1301930=-119.
答案:D
5.若sin α=-35,α是第三象限角,则sinα+π4=　　　　　. 
解析:∵sinα=-35,α是第三象限的角,
∴cosα=-1-sin2α=-45.
∴sinα+π4=22sinα+22cosα=22×-35-45=-7210.
答案:-7210
6.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若sin α=33,则cos(α+β)=　　　　　. 
解析:∵角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称,且sinα=33,∴sinβ=-33.
若α为第一象限角,则cosα=63,cosβ=-63.
此时cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=63×-63-33×-33=-13;
若α为第二象限角,则cosα=-63,cosβ=63,
此时cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=-63×63-33×-33=-13.
综上可知,cos(α+β)=-13.
答案:-13
7.已知α∈-π2,0,β∈0,π2,cos α=23,且cos(α-β)=45.
(1)求sinα+π3的值;
(2)求cos β的值.
解:(1)因为α为第四象限角,cosα=23,
所以sinα=-1-cos2α=-73.
所以sinα+π3=12sinα+32cosα=12×-73+32×23=6-76.
(2)因为α∈-π2,0,β∈0,π2,
所以α-β∈(-π,0).
又因为cos(α-β)=45,
所以sin(α-β)=-1-cos2(α-β)=-35.
所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=45×23+73×35=42+3715.
8.设cos α=-55,tan β=13,π<α<3π2,0<β<π2.
(1)求sin(α-β)的值;
(2)求α-β的值.
解:(1)因为π<α<3π2,cosα=-55,
所以sinα=-255.
又因为0<β<π2,tanβ=13,
所以sinβ=1010,cosβ=31010.
所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=-255×31010+55×1010=-22.
(2)因为0<β<π2,所以-π2<-β<0.
又因为π<α<3π2,所以π2<α-β<3π2.
因为sin(α-β)=-22,所以α-β=5π4.