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2021-2022学年高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式测评习题新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式测评习题新人教A版必修第一册

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第二章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　　)
A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3}
C.{x|x≥3,或x≤2} D.{x|x≥1,或x≤-6}
解析:不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,故不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.
答案:A
2.已知A={x|x2-2x>0},B=xx-3x-1<0,则A∪B=(　　)
A.{x|1<x<2} B.{x|2<x<3}
C.{x|x<0,或x>1} D.{x|x<0,或1<x<2}
解析:∵A={x|x>2,或x<0},B={x|1<x<3},
∴A∪B={x|x<0,或x>1}.
答案:C
3.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存有60元.计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)
A.30x-60≥400 B.30x+60≥400
C.30x-60≤400 D.30x+40≤400
解析:设x月后所存的钱数为y,则y=30x+60,由于存的钱数不少于400元,故不等式为30x+60≥400.
答案:B
4.若a<1<b,则下列结论正确的是(　　)
A.1a>1b B.ba>1 C.a2<b2 D.ab<a+b
解析:对于A,若a=-2,b=2,则不成立,
对于B,若a=-2,b=2,则不成立,
对于C,若a=-2,b=2,则不成立,
对于D,∵a<1<b,∴a-1<0,b-1>0,
∴(a-1)(b-1)<0,即ab-a-b+1<0,
∴ab+1<a+b,∴ab<a+b,故D成立.
答案:D
5.设函数y=4x+1x-1(x<0),则y(　　)
A.有最大值3 B.有最小值3
C.有最小值-5 D.有最大值-5
解析:∵x<0,∴-x>0.
∴y=4x+1x-1=-(-4x)+1-x-1≤-4-1=-5,当且仅当x=-12时,等号成立.∴y有最大值-5.
答案:D
6.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a的大小关系为(　　)
A.a2>a>-a B.-a>a2>a
C.-a>a>a2 D.a2>-a>a
解析:因为a2+a<0,即a(a+1)<0,所以-1<a<0,因此-a>a2>0,有-a>a2>a.故选B.
答案:B
7.已知a>0,b>0,且2a+b=2,则ab的最大值为(　　)
A.12 B.22 C.1 D.2
解析:∵a>0,b>0,且2a+b=2,
∴ab=12×(2a·b)≤12×2a+b22=12,
当且仅当2a=b,且2a+b=2,即a=12,b=1时,取得最大值12.故选A.
答案:A
8.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则(　　)
A.v=a+b2 B.v=ab
C.a<v<ab D.ab<v<a+b2
解析:设甲、乙两地的距离为S,往返的速度分别为a=St1,b=St2(a<b),则其全程的平均速度为v=2St1+t2=2SSa+Sb=21a+1b<ab,又v>a,故a<v<ab.
答案:C
9.已知正实数a,b满足4a+b=30,使得1a+1b取最小值时,实数对(a,b)是(　　)
A.(5,10) B.(6,6) C.(10,5) D.(7,2)
解析:∵a,b>0,
∴1a+1b=130(4a+b)1a+1b=1305+ba+4ab≥130(5+24)=310,当且仅当ba=4ab,4a+b=30时,取“=”.
这时a=5,b=10.
答案:A
10.已知不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},则不等式bx2-x-a>0的解集是(　　)
A.x-12<x<13 B.xx<-13,或x>12
C.{x|x<-3,或x>-2} D.{x|-3<x<-2}
解析:因为不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},所以a<0,且方程ax2+5x+b=0的实数根为2和3,所以2+3=-5a, 2×3=ba,解得a=-1,b=-6.
所以不等式bx2-x-a>0为-6x2-x+1>0,
即6x2+x-1<0,解得-12<x<13.
所以不等式bx2-x-a>0的解集是x-12<x<13.
答案:A
11.已知函数y=x2-3x+2(x<-2),则函数y(　　)
A.有最小值-2 B.有最小值2
C.有最大值-2 D.有最大值-6
解析:∵x<-2,
∴x+2<0,令x+2=t,则t<0.
∵y=x2-3x+2,
∴y=(t-2)2-3t=t2-4t+1t=t+1t-4
=-(-t)+-1t-4≤-2-4=-6,
当且仅当t=1t,且t<0,即t=-1,从而有x=-3时取最大值-6.故选D.
答案:D
12.设a>0,b>0,则下列不等式中不一定成立的是(　　)
A.a+b+1ab≥22 B.2aba+b≥ab
C.a2+b2ab≥a+b D.(a+b)1a+1b≥4
解析:∵a>0,b>0,
∴a+b+1ab≥2ab+1ab≥22,当且仅当a=b,且2ab=1ab,即a=b=22时,取等号,故A成立;
∵a+b≥2ab>0,∴2aba+b≤2ab2ab=ab,当且仅当a=b时,取等号,
∴2aba+b≥ab不一定成立,故B不成立;
∵2aba+b≤2ab2ab=ab,当且仅当a=b时,取等号,
∴a2+b2a+b=(a+b)2-2aba+b=a+b-2aba+b≥2ab-ab,当且仅当a=b时,取等号,
∴a2+b2a+b≥ab,∴a2+b2ab≥a+b,故C一定成立;
∵(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥4,当且仅当a=b时,取等号,故D一定成立.故选B.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.设M=5a2-a+1,N=4a2+a-1,则M,N的大小关系为　　　　　. 
解析:∵M-N=5a2-a+1-(4a2+a-1)=a2-2a+2=(a-1)2+1≥1>0,∴M>N.
答案:M>N
14.已知关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 
解析:因为关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,所以其对应二次函数的图象与x轴最多有一个交点,所以判别式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,解得a≥54.
答案:a≥54
15.已知方程ax2+bx+1=0的两个根为-14,3,则不等式ax2+bx+1>0的解集为　　　　　. 
解析:根据题意,方程ax2+bx+1=0的两个根为-14,3,则有-14×3=1a,解得a=-43<0,
则ax2+bx+1>0⇒-14<x<3,
即不等式的解集为x-14<x<3.
答案:x-14<x<3
16.下列命题:
①设a,b是非零实数,若a<b,则ab2>a2b;②若a<b<0,则1a>1b;③函数y=x2+3x2+2的最小值是2;④若x,y是正数,且1x+4y=1,则xy的最小值是16.
其中正确的是　　　　　.(填序号) 
解析:①中ab2-a2b=ab(b-a).
由于a,b符号不定,故上式符号无法确定,故①不对.
②中在a<b两边乘正数1ab,得1a>1b,故②对.
③中y=x2+3x2+2=x2+2+1x2+2≥2,但由x2+2=1x2+2,得x2+2=1无解,故③不对.
④中,∵1x+4y=1≥24xy,∴xy≥16,即④对.
答案:②④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,且a≠b,比较a2b+b2a与a+b的大小.
解:∵a2b+b2a-(a+b)=a2b-b+b2a-a
=a2-b2b+b2-a2a=(a2-b2)1b-1a
=(a2-b2)a-bab=(a-b)2(a+b)ab,
又a>0,b>0,a≠b,
∴(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,
∴a2b+b2a-(a+b)>0,∴a2b+b2a>a+b.
18.(本小题满分12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.
解:原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0,
即x+a7x-a8<0.
①当-a7<a8,即a>0时,-a7<x<a8;
②当-a7=a8,即a=0时,原不等式的解集为⌀;
③当-a7>a8,即a<0时,a8<x<-a7.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为x-a7<x<a8;
当a=0时,原不等式的解集为⌀;
当a<0时,原不等式的解集为xa8<x<-a7.
19.(本小题满分12分)(1)已知式子13+2x-x2,
求使式子有意义的x的取值集合;
(2)已知函数y=x2-4ax+a2(a∈R),关于x的不等式y≥x的解集为R,求实数a的取值范围.
解:(1)由13+2x-x2≥0,得3+2x-x2>0,解得-1<x<3,故使式子有意义的x的取值集合是{x|-1<x<3}.
(2)∵y≥x的解集为R,
∴当x∈R时,x2-(4a+1)x+a2≥0恒成立.
∴Δ=(4a+1)2-4a2≤0,即12a2+8a+1≤0,
即(2a+1)(6a+1)≤0,∴-12≤a≤-16,
∴a的取值范围为a-12≤a≤-16.
20.(本小题满分12分)已知关于x的不等式ax-5x2-a<0的解集为M.
(1)若3∈M,且5∉M,求实数a的取值范围.
(2)当a=4时,求集合M.
解:(1)由3∈M,知3a-59-a<0,解得a<53或a>9;
若5∈M,则5a-525-a<0,解得a<1或a>25.
则由5∉M,知1≤a≤25,因此所求a的取值范围是1≤a<53或9<a≤25.
(2)当a=4时,4x-5x2-4<0.
4x-5x2-4<0⇔4x-5>0,x2-4<0或4x-5<0,x2-4>0
⇔x>54,-2<x<2或x<54,x<-2或x>2
⇔54<x<2或x<-2.
故M=xx<-2,或54<x<2.
21.(本小题满分12分)证明不等式:a,b,c∈R,a4+b4+c4≥abc(a+b+c).
证明:∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,
∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,
c2a2+a2b2≥2a2bc,
∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),
即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).
22.(本小题满分12分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用y;
(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
解:(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张,则共需分36x批,每批价值20x.
由题意,y=36x·4+k·20x,
由x=4时,y=52,
得k=1680=15.
故y=144x+4x(0<x≤36,x∈N*).
(2)可以使资金够用.理由如下:
由(1)知y=144x+4x(0<x≤36,x∈N*),
则y≥2144x·4x=48(元).
当且仅当144x=4x,即x=6时,上式等号成立.
故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.