高中数学-第二章-数列-2.5-等比数列的前n项和限时练-新人教A版必修5.docx

高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和限时练 新人教A版必修5

高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和限时练 新人教A版必修5

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姓名：

2.5　等比数列的前n项和(一)
一、选择题
1．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于(　　)
A．2 B. C．4 D.
2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)
A．1 B．0
C．1或0 D．－1
3．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　)
A．90 B．70
C．40 D．30
4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)
A. B.
C. D.
6．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*)，则a6等于(　　)
A．3×44 B．3×44＋1
C．45 D．45＋1
二、填空题
7．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝______.
9．等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.
10．在等比数列{an}中，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，则前n项和Sn＝________________.
三、解答题
11．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.

12．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
(1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式；(注：2016年为第一年)
(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？

13．已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．

参考答案
一、选择题
1．答案　C
解析　∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，
∴a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，
∴q＝＝4，故选C.
2．答案　A
解析　∵Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，
∴an为定值，即数列{an}为常数列，
∴q＝＝1.
3．答案　C
解析　∵S30≠3S10，∴q≠1.
由
得
∴
∴q20＋q10－12＝0.
∴q10＝3，
∴S20＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
4．答案　B
解析　设公比为q，若q＝1，则＝2，
与题中条件矛盾，故q≠1.
∵＝＝qm＋1＝9，
∴qm＝8.
∴＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
5．答案　B
解析　∵{an}是由正数组成的等比数列，
且a2a4＝1，
设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，
∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，
∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8(1－)＝.
6．答案　A
解析　当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，
即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，
即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，
∴an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
二、填空题
7．答案　2
解析　根据题意得
∴
∴q＝＝＝2.
8．答案　
解析　q≠1，否则＝＝2≠3.
∴＝＝1＋q3＝3，
∴q3＝2.
∴＝＝＝＝.
9．答案　16
解析　方法一　∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)．
又∵S3＝2，S6＝6，
∴S9＝14.
再由S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，
即(S9－S6)2＝(S6－S3)·(S12－S9)，
求出S12－S9＝16，即a10＋a11＋a12＝16.
方法二　由S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，
此数列首项为S3＝2，
公比q′＝＝＝2，得S12－S9＝2×23＝16.
10．答案　3(2n－1)或3n－1
解析　设{an}的公比为q，
由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，
Sn＝＝＝3(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，
Sn＝＝＝3n－1.
三、解答题
11．解　(1)设数列{an}的公比为q，
由题意知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.
∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.
(2)bn＝n·2n，
∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ①
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， ②
①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1
＝－2－(n－1)·2n＋1.
∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N*.
12． 解　(1)当n≤10时，数列{an}是首项为45.5，
公差为0.5的等差数列，
所以an＝45.5＋0.5×(n－1)＝45＋0.5n.
当n≥11时，数列{an}是以0.99为公比的等比数列．
又a10＝50，所以an＝50×0.99n－10，
因此新政策实施后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为
an＝
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得
S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)
＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈950.8(万)，
所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为≈47.54万．
因为＜49，故到2036年不需要调整政策．
13． (1)解　由已知，得an＝aqn－1，因此
S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．
当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，
可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.
解得q＝.
(2)证明　若q＝1，则{an}的各项均为a，
此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列．
若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，
即＋＝，
整理得qm＋ql＝2qn.
因此am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1
＝2an＋k，
所以am＋k，an＋k，al＋k成等差数列．