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2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数章末综合测评苏教版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第6章 幂函数、指数函数和对数函数章末综合测评苏教版必修第一册

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章末综合测评(六)　幂函数、指数函数和对数函数
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f ＝1，当x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，则实数m＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
C　[∵f(x)是定义在R上的奇函数，f ＝1，且x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，∴f ＝log2＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1.故选C.]
2．若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在(　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
A　[y＝ax的图象在第一、二象限．∵－1<b<0，∴y＝ax＋b的图象是由y＝ax的图象向下平移|b|个单位长度，可知y＝ax＋b的图象过第一、二、三象限．]
3．若log34·log48·log8m＝log416，则m等于(　　)
A． B．9
C．18 D．27
B　[log416＝2，由换底公式得log34·log48·log8m＝log3m＝2，∴m＝9.]
4．若loga(a2＋1)<loga2a<0.则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．
C． D．(0,1)∪(1，＋∞)
C　[由题意得a>0，且a≠1，故必有a2＋1>2a.
又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，
同时2a>1，∴a>，综上a∈.]
5．函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log2x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(－2)＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
D　[由y＝f(x)的图象与g(x)＝log2x的图象关于直线y＝x对称，可知f(x)与g(x)互为反函数．令log2x＝－2，得x＝，即f(－2)＝.]
6．已知a＝log2 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
B　[∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0,1)，
∴a<c<b.故选B.]
7．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)
A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)
C．f(－4)<f(1) D．不能确定
B　[因为函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的图象关于x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．]
8．已知函数y＝f(x)的定义域为R，f(x＋1)为偶函数，且对∀x1<x2≤1，满足<0.若f(3)＝1，则不等式f(log2x)<1的解集为(　　)
A． B．(1,8)
C．∪(8，＋∞) D．(－∞，1)∪(8，＋∞)
A　[因为对∀x1<x2≤1，满足<0，所以y＝f(x)当x≤1时，是单调递减函数，又因为f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x)当x>1时，是单调递增函数，又因为f(3)＝1，所以有f(－1)＝1，当log2x≤1，即当0<x≤2时，
f(log2x)<1⇒f(log2x)<f(－1)⇒log2x>－1⇒x>，∴<x≤2；
当log2x>1，即当x>2时，
f(log2x)<1⇒f(log2x)<f(3)⇒log2x<3⇒x<8，
∴2<x<8，
综上所述：不等式f(log2x)<1的解集为.
故选A.]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．在(0,1)上是增函数 D．在(0,1)上是减函数
AC　[由已知可得，f(x)的定义域为(－1,1)，f(x)＝ln ＝ln，又y＝－1在(0,1)上为增函数，∴f(x)在(0,1)上是增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．故选AC.]
10．设函数f(x)＝2x，对于任意x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是(　　)
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．>0
D．f <
ACD　[2x1＋x2＝2x1·2x2，故A正确.2x1＋2x2≠2x1·x2，故B错误．f(x)＝2x在R上为单调递增函数，x1>x2时则有f(x1)－f(x2)>0，>0，x1<x2时，f(x1)－f(x2)<0.故>0，故C正确．对于D，f(x)＝2x图象下凹，由几何意义知D正确．]
11．设函数f 的定义域为D，若对于任意x∈D，存在y∈D使＝C(C为常数)成立，则称函数f(x)在D上的“半差值”为C.下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是(　　)
A．y＝x3＋1(x∈R) B．y＝2x(x∈R)
C．y＝ln x(x>0) D．y＝x2
AC　[即对任意定义域中的x，存在y，使得f(y)＝f(x)－2；由于A、C值域为R，故满足；
对于B，当x＝0时，函数值为1，此时不存在自变量y，使得函数值为－1，故B不满足；
对于D，当x＝0时，不存在自变量y，使得函数值为－1，所以D不满足．故选AC.]
12．已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，则以下结论错误的是(　　)
A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有<0
B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有<0
C．f(x)有最小值，无最大值
D．g(x)有最小值，无最大值
ABC　[对A，f(x)＝ex－e－x中，y＝ex为增函数，y＝e－x为减函数．故f(x)＝ex－e－x为增函数．
故任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有>0.故A错误．
对B，易得反例g(1)＝e1＋e－1，g(－1)＝e－1＋e1＝g(1)．故<0不成立．故B错误．
对C，因为f(x)＝ex－e－x为增函数，且当x→－∞时f(x)→－∞，
当x→＋∞时f(x)→＋∞.故f(x)无最小值，无最大值．故C错误．
对D，g(x)＝ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x即x＝0时等号成立．当x→＋∞时，g(x)→＋∞.故g(x)有最小值，无最大值．故选ABC.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________．
　[因为f(x)＝为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，所以a＝.]
14．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．
　[要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，且y＝ax2－x>0恒成立，即 解得a>.]
15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量P mg/L，与时间t h间的关系为P＝P0e－kt.如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩________的污染物．
81%　[由题意知，前5小时消除了10%，即(1－10%)P0＝P0·e－5k.解得k＝－ln 0.9.则10小时后还剩P＝P0·e－10k＝P0·e2ln 0.9＝P0·eln 0.81＝0.81 P0＝81%P0.]
16．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则ab＝________，abc的取值范围为________．(本题第一空2分，每二空3分)
1　(0,1)　[由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，且a<b<10，所以lg a＝－lg b，所以lg a＋lg b＝0，所以ab＝1,0<c<lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0,1)．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
[解]　(1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝，∴f(x)＝x.
(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，
∴f(2m－1)<f(m＋3)．
∵f(x)＝x为减函数，
∴2m－1>m＋3，解得m>4，
∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．
18．(本小题满分12分)设函数y＝f(x)且lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的解析式及定义域；
(2)求f(x)的值域．
[解]　(1)∵lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)，
∴lg(lg y)＝lg[3x(3－x)]，
∴lg y＝3x(3－x)，
∴y＝103x(3－x)，即f(x)＝103x(3－x)．
∵
∴0<x<3，即函数的定义域为(0,3)．
(2)令t＝3x(3－x)＝－32＋，则f(x)＝10t.
∵x∈(0,3)，
∴t∈，
∴10t∈(1,10)，
∴函数的值域为(1,10)．
19．(本小题满分12分)牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x之间的函数关系是y＝t·ax(a>0，且a≠1)，若牛奶放在0 ℃的冰箱里，保鲜时间是200 h，而在1 ℃的温度下则是160 h.
(1)写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式；
(2)利用(1)的结论，指出温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间．
[解]　(1)由于保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是y＝t·ax(a>0，且a≠1)，由题意可得：
解得
故函数解析式为y＝200×x.
(2)当x＝2 ℃时，y＝200×2＝128(h)．
当x＝3 ℃时，y＝200×3＝102.4(h)．
故温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间分别为128 h和102.4 h.
20．(本小题满分12分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点.
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小．
[解]　(1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，
所以g(x)＝logax(a>0且a≠1)．
因为g(x)的图象过点，
所以loga2＝，
所以a＝2，
解得a＝2.
所以f(x)＝2x，g(x)＝log2x.
(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，g(0.2)＝log20.2<0，
又g(1.5)＝log21.5<log22＝1，
且g(1.5)＝log21.5>log21＝0，
所以0<g(1.5)<1，
所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2)．

21．(本小题满分12分)(1)已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2·3x＋1－9x的值域；
(2)已知－3≤x≤－，求函数f(x)＝log2 ·log2 的值域．
[解]　(1)f(x)＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3，令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24，所以函数f(x)的值域为[－24，12]．
(2)∵－3≤x≤－，
∴－3≤≤－，
即－3≤≤－，
∴≤log2x≤3.
∵f(x)＝log2·log2
＝(log2x－log2 2)·(log2x－log24)
＝(log2x－1)·(log2x－2)．
令t＝log2x，则≤t≤3，
f(x)＝g(t)＝(t－1)(t－2)
＝2－.
∵≤t≤3，
∴f(x)max＝g(3)＝2，f(x)min＝g＝－.
∴函数f(x)＝log2·log2的值域为.
22．(本小题满分12分)已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集；
(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
[解]　(1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，
∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)，
∴
即解得<x<.
即不等式的解集为.
(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝.