2020-2021高中数学-第七章-随机变量及其分布-7.3.2-离散型随机变量的方差素养检测新人教.doc
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2020-2021高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差素养检测新人教A版选择性必修第三册 2020-2021高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差素养检测新人教A版选择性必修第三册 年级: 姓名: 十二 离散型随机变量的方差 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分) 1.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 ( ) A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.D= 【解析】选AB.随机变量X服从两点分布,其中P=,所以P(X=1)=, E(X)=0×+1×=, D(X)=×+×=, 在A中,P(X=1)=E(X),故A正确; 在B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B正确; 在C中,D(3X+2)=9D(X)=9×=2,故C错误; 在D中,D(X)=,故D错误. 2.已知随机变量ξ的分布列如表,则ξ的标准差为 ( ) ξ 1 3 5 P 0.4 0.1 x A.3.56 B. C.3.2 D. 【解析】选D.由分布列的性质得:0.4+0.1+x=1,解得:x=0.5, 所以E=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2, 所以D=×0.4+×0.1+×0.5=3.56, 所以ξ的标准差为=. 3.随机变量ξ的分布列如下表,且E(ξ)=1.1,则D(ξ)= ( ) ξ 0 1 x P p A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.684 【解析】选C.先由随机变量分布列的性质求得p=.由E(ξ)=0×+1×+x=1.1,得x=2, 所以D(ξ)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49. 4.设随机变量X的概率分布为P=,i=1,2,3,则D等于 ( ) A. B. C.1 D.2 【解析】选B.因为P(X=i)=,i=1,2,3, 所以E(X)=1×+2×+3×=2,D(X)=×(1-2)2+×(2-2)2+×(3-2)2=. 5.已知随机变量X的取值为1,2,3,若P=,E=,则D= ( ) A. B. C. D. 【解析】选C.设P(X=1)=p,P(X=2)=q, 因为E(X)=p+2q+3×=①, 又因为+p+q=1②, 由①②得,p=,q=,所以D(X)=++=. 6.袋子里有5个不同的小球,编号分别为1,2,3,4,5,从袋中一次取出三个球,记随机变量ξ是取出球的最大编号与最小编号的差,数学期望为E,方差为D(ξ),则下列选项正确的是 ( ) A.E=2,D=0.6 B.E=2,D(ξ)=0.4 C.E(ξ)=3,D=0.4 D.E=3,D=0.6 【解析】选D.从5个球中取3个球,共有=10种取法,其组合分别为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5), (2,4,5),(3,4,5), 所以随机变量ξ的可能取值为4,3,2, P(ξ=4)=,P(ξ=3)==,P(ξ=2)=. 所以E(ξ)=4×+3×+2×=3,D(ξ)=(4-3)2×+(3-3)2×+(2-3)2×=0.6. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量X1,X2,已知E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),则自动包装机 的包装质量较好. 【解析】因为E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),故乙包装机的包装质量稳定. 答案:乙 8.若随机变量X的分布列如表,且E=2,则D(2X-3)的值为 . X 0 2 a P p 【解析】由题意可得:+p+=1,解得p=, 因为E(X)=2,所以0×+2×+a×=2, 解得a=3. 所以D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1. 所以D(2X-3)=4D(X)=4. 答案:4 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E=. (1)求D的值; (2)若Y=3X-2,求D的值. 【解析】(1)由题意可得++p=1,得p=, 又E=0×+1×+x×=,解得x=2. 所以D=×+×+2-2×=. (2)因为Y=3X-2, 所以D=D=9D=9×=5. 10.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如表: 降水量X X<300 300≤X <700 700≤X <900 X≥900 工期延误 天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求: (1)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率; (2)工期延误天数Y的均值与方差. 【解析】(1)由题意可得P=1-P(X<300)=1-0.3=0.7, X≥300且工期延误不超过6天的概率为P=P=P(X<900)-P=0.9-0.3=0.6, 因此,在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率为P= ==; (2)由题意可知P=0.3,P =P-P =0.7-0.3=0.4, P=P-P =0.9-0.7=0.2, P=1-P=1-0.9=0.1. 所以,随机变量Y的分布列如表所示: Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 所以E=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D=×0.3+×0.4+×0.2+×0.1=9.8. 所以,工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8. (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对得3分,有选错的得0分) 1.已知ξ的分布列为 ξ -1 0 1 P 则在下列各式,①E(ξ)=-;②D(ξ)=; ③P(ξ=0)=中,正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选C.由题意,根据随机变量的分布列的期望与方差的计算公式可得: E=(-1)×+0×+1×=-,所以①正确; D=×+×+×=,所以②不正确; 又由分布列可知P(ξ=0)=,所以③正确. 2.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则 ( ) A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 【解析】选B.ξ1可能的取值为0,1,2;ξ2可能的取值为0,1,P=,P=,P =1--=, 故E(ξ1)=,D(ξ1)=02×+22×+12×-=. P==,P==, 故E(ξ2)=,D(ξ2)=02×+12×-=, 故E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2). 3.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有 ( ) A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4 C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2 【解析】选ACD.因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2, D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确. 4.已知a,b∈R,随机变量X,Y的分布列是 X -1 0 1 P a b Y -1 0 1 P a b 则随着a的增大,D ( ) A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 【解析】选C.由题意得a+b=,即b=-a,所以E(X)=(-1)×+0×a+1×b=b-=-a, D(X)=×+a× +b×=×+a×a-2+-a×=-a2-a+, E(Y)=(-1)×a+0×b+1×=-a, D(Y)=a×+b× +× =a×+×+×=-a2+a+, 因为X,Y相互独立,所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)=-2a2+a+=-2+, 因为0<a<, 所以当0<a<时,D(X+Y)随a的增大逐渐增大; 当<a<时,D(X+Y)随a的增大逐渐减小. 二、填空题(每小题5分,共20分) 5.已知随机变量ξ的分布列为: ξ 1 2 3 P 0.5 x y 若E(ξ)=,则D(ξ)= . 【解析】由E(ξ)=1×0.5+2x+3y=,整理得:2x+3y=,又由0.5+x+y=1,即x+y=, 所以x=,y=, D(ξ)=×0.5+×+×=. 答案: 6.已知不透明口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球,现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球).记换好后袋中的白球个数为X,则X的数学期望E(X)= ,方差D(X)= . 【解析】依题意可知X的可能取值为1,3,且P=,P=.故X的分布列为 X 1 3 P 所以E=1×+3×=,D=×+×=. 答案: 7.已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a 2a b 当D(X)最大时,E(X)= . 【解析】由题知b=1-3a,所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a, D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a,故当a=时D(X)最大,此时E(X)=. 答案: 8.随机变量X的概率分布为P(X=n)=(n=1,2,3),其中a是常数,则D= . 【解析】由题意得++ =a=a=1, 则a=,所以P=,P=, P=,则E(X)=++=,D(X)=×+×+×=, 所以D(aX)=a2D(X)=. 答案: 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为300元;分4期或5期付款,其利润为400元,η表示经销一件该商品的利润. (1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P; (2)求η的分布列、期望和方差. 【解析】(1)购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款, 由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”, 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”. P==0.512, 所以P=1-P=1-0.512=0.488; (2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,300元,400元.得到变量对应的事件的概率 P=P=0.2, P=P+P=0.3+0.3=0.6, P=P+P=0.1+0.1=0.2, η的分布列为 η 200 300 400 P 0.2 0.6 0.2 所以E=200×0.2+300×0.6+400×0.2=300, 所以D=×0.2+×0.6+×0.2=4 000. 10.今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A,B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分析,X和Y的分布列分别为: X 5% 10% P 0.8 0.2 Y 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)若在A,B两个项目上各投资100万元,ξ和η分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(ξ),D(η); (2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少? (注:D=a2D(X)) 【解析】(1)由题知,ξ,η的分布列分别为: ξ 5 10 P 0.8 0.2 η 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 所以E(ξ)=5×0.8+10×0.2=6, D(ξ)=×0.8+×0.2=4. E(η)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8, D(η)=×0.2+×0.5+×0.3=12. (2)设在A,B两个项目上分别投资x万元,(200-x)万元,利润的方差和为f. 则f=D+D =D(ξ)+D(η) =4×+12× =× =, 可见,当x=150时,f=12为最小值. 所以,在A,B两个项目分别投资150万元,50万元时,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是12.- 配套讲稿:
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