上海高三年级数学模拟试卷.doc

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高三数学模拟试卷
班级 学号 姓名 得分
注意：本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 .
2．集合，，且，则实数的取值范围是 .
3．二项式的展开式中，系数最大的项为第 项.
4．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种．

5．直线被双曲线截得的弦长为 .
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6．若函数是奇函数，则 .

7.已知某几何体的三视图如右图，其中主视图中
半圆直径为2，则该几何体的体积 ．

8．已知数列的通项公式为，
则+++= ．

9．若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则数列为等比数列，且通项为 ．
10．设满足约束条件，向量，且,
则实数的最小值为 .

11．已知实数成等差数列，点在动直线（不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则的取值范围是 ．
12．函数，若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是 ．

二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
13．若与都是非零向量，则“”是“”的 ( )
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

14．将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
（A），的最小值为 （B） ，的最小值为
（C），的最小值为 （D），的最小值为
15．如图，在正方体中，当动点在底面内运动时，总有，则动点在底面内的轨迹是( )
（A）椭圆的一部分 （B）双曲线的一部分
（C）抛物线的一部分 （D）圆的一部分

16．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于轴的抛物线条数是( )
（A） 0条 （B） 7条 （C） 14条 （D） 无数条

三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
在中，角所对的边分别是，且.
（1）证明：；
（2）若，求.

18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．
（1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

19．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分7分）
椭圆：，的短轴长等于焦距，
在短轴上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）为坐标原点，过点的动直线与椭圆相交于两点，
是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值．

20.（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分）
已知数列中，，，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项的和；
（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分10分）
对于函数与常数、，若对的定义域内的任意都成立，则称为函数的一个“数对”．设函数的定义域为，且．
（1）若是的一个“数对”，求；
（2）若是的一个“数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；
（3）若是增函数，且是的一个“数对”， 试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由:
①与； ②与．

高三数学练习卷
班级 学号 姓名 得分
注意：本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 .
2．集合，，且，则实数的取值范围是___ .
3．二项式的展开式中，系数最大的项为第 3或5 项.
4．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 48 种．

5．直线被双曲线截得的弦长为 .
6．若函数是奇函数，则 .
3
2
1
1
1

1
2
【解析】为奇函数，所以，即．
7.已知某几何体的三视图如图，其中主视图中
半圆直径为2，则该几何体的体积____．

8．已知数列的通项公式为，
则+++= ．

9．若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则数列为等比数列，且通项为__________．
10．设满足约束条件，向量，且,则实数的最小值为 .
【解析】不等式对应的可行域是顶点为的三角形及其内部，由，得，可知在处有最小值．
11．已知实数成等差数列，点在动直线（不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则的取值范围是 ．
【解析】因为实数成等差数列，所以，方程变形为，整理为
所以，即，因此直线过定点
画出图象可得，
点在以为直径的圆上运动，线段的长度满足
即

12．函数，若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是 ．
解： 令
当时，，其中当且仅当时取得等号
所以若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，只需，所以
当时，，其中当且仅当时取得等号
所以若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，只需，所以
综上可得，
二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
13．若与都是非零向量，则“”是“”的 ( C )
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
14．将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ A ）
（A），的最小值为 （B） ，的最小值为
（C），的最小值为 （D），的最小值为
【解析】点在函数上，所以，然后
向左平移个单位，即，所以，所以的最小值为.
15．如图，在正方体中，当动点在底面内运动时，总有，则动点在底面内的轨迹是( D )
（A）椭圆的一部分 （B）双曲线的一部分
（C）抛物线的一部分 （D）圆的一部分
解：因为满足条件的动点在底面内运动时，动点的轨迹是以为轴线，以为母线的圆锥，与底面的交线即圆的一部分．
16．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于轴的抛物线条数是( C )
（A） 0条 （B） 7条 （C） 14条 （D） 无数条
【解析】如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，
然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，
可平移6次，所以，一共有7条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有7条，所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．

三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
在中，角所对的边分别是，且.
（1）证明：；
（2）若，求.
【解析】（1）证明：由正弦定理可知
原式可以化解为
∵和为三角形内角 , ∴
则，两边同时乘以，可得
由和角公式可知，
原式得证。
（2）由题,根据余弦定理可知，
∵为为三角形内角，，
则，即
由（I）可知，∴
∴
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．
（1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
解:（1）线段的中点就是满足条件的点．
证明如下：
取的中点连结，则

取的中点，连结，
∵且，
∴是正三角形，∴．
∴四边形为矩形，
∴
又∵，
∴且，是平行四边形．
∴，而平面，平面，∴平面．
（2）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴，是平面与平面所成二面角的棱．
∵平面平面，，∴平面，
又∵平面， ,∴平面，∴，
∴是所求二面角的平面角．
设，则，
∴，
∴
（法2）∵，平面平面，
∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．
设，由已知，得．

∴，
设平面的法向量为，则且，

解之得
取，得平面的一个法向量为.
又∵平面的一个法向量为．
.
19．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分）
椭圆：，的短轴长等于焦距，在短轴上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）为坐标原点，过点的动直线与椭圆相交于两点，
是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值．
解：（1）由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)
又点P的坐标为(0，1)，且＝－1 于是，解得a＝2，b＝
所以椭圆E方程为.
(2)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1
A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) 联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0
其判别式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0 所以
从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－
所以，当λ＝1时，－＝－3，此时，＝－3为定值
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD
此时＝－2－1＝－3
故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.

20.（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分）
已知数列中，，，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项的和；
（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.
解：（1）将已知条件变形为
由于，则（常数）
即数列是以为首项，公比为的等比数列
所以，即（）．
（2）
（3）若，，成等差数列，则
即，变形得
由于若，且，下面对、进行讨论：
① 若，均为偶数，则，解得，与矛盾，舍去；
② 若为奇数，为偶数，则，解得；
③ 若为偶数，为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；
④ 若，均为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；
综上①②③④可知，只有当为奇数，为偶数时，，，成等差数列，此时满足条
件点列落在直线（其中为正奇数）上．（不写出直线方程扣1分）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分10分）
对于函数与常数、，若对的定义域内的任意都成立，则称为函数的一个“数对”．设函数的定义域为，且．
（1）若是的一个“数对”，求；
（2）若是的一个“数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；
（3）若是增函数，且是的一个“数对”， 试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由:
①与； ②与．

（3）由是的一个“数对”，可知恒成立，
即恒成立，令，可得，
即，又
所以是等比数列，……14分
若，是增函数，故，故有．…………18分
完美整理