2020-2021学年高中数学-第二章-平面向量单元素养评价新人教A版必修4.doc

2020-2021学年高中数学 第二章 平面向量单元素养评价新人教A版必修4

2020-2021学年高中数学 第二章 平面向量单元素养评价新人教A版必修4

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单元素养评价(二)
(第二章)
(120分钟　150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.下列量不是向量的是 (　　)
A.位移 B.速度 C.功 D.力
【解析】选C.位移、速度、力都是矢量,也是向量,而功只有大小,没有方向,不是向量.
2.若a+b+c=0,则a,b,c(　　)
A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
B.一定不可能构成三角形
C.都是非零向量时能构成三角形
D.一定可构成三角形
【解析】选A.当a,b,c为非零向量且不共线时可构成三角形,而当a,b,c为非零向量且共线时不能构成三角形.
【误区警示】解答本题往往会忽视非零向量共线的情况而错误地选择C答案.
3.(2020·杨浦区高一检测)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.+=(+)+(+)=(+)=.
4.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=,=2,=2,则++与(　　)

A.反向平行　　　　　 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
【解析】选A.++
=++++-
=++---
=(-)+
=+
=-.
5.△ABC中,已知A=90°,=(k,6),=(-2,3),则k的值是 (　　)
A.-4 B.-3 C.4 D.9
【解析】选D.因为△ABC中,A=90°,
所以⊥,所以·=0.
因为=(k,6),=(-2,3),所以-2k+18=0,解得k=9.
6.(2020·太原高一检测)已知非零向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为 (　　)
A.3 B.-3 C.0 D.2
【解析】选A.由原式可得
解得所以x-y=3.
7.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=,则向量a与b的夹角为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.以上都不对
【解析】选C.因为a+b+c=0,
所以c=-(a+b),
所以c2=(a+b)2,
即|c|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos<a,b>,
所以19=4+9+12cos<a,b>,
所以cos<a,b>=.
又因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=60°.
8.设向量a,b满足:|a|=3,|b|=4,a·b=0,以a,b,a-b的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 (　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】选B.对于半径为1的圆有一个位置正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但4个以上的交点不能实现.
9.在△ABC中,AB边上的高为CD,若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则= (　　)

A.a-b B.a-b
C.a-b D.a-b
【解析】选D.因为a·b=0,
所以⊥.所以AB==.
又因为CD⊥AB,所以△ACD∽△ABC.
所以=.所以AD==.
所以==(-)=(a-b)=a-b.
10.在矩形ABCD中,=,=,设=(a,0),=(0,b),当⊥时,的值为 (　　)
A.3 B.2 C. D.
【解析】选D.如图,

=+=+=+=.
=+=-+
=(0,-b)+=,
因为⊥,所以-=0,所以=.
11.在△ABC中,已知向量与满足·=0,且=,则△ABC是(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
【解析】选A.因为非零向量与满足·=0,所以∠BAC的平分线垂直于BC,所以AB=AC.
又cos∠BAC==,
所以∠BAC=60°,所以△ABC为等边三角形.
12.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为 (　　)

A. B. C. D.3
【解析】选A.如图,以D为坐标原点建立直角坐标系,

连接AC,由题意知,
∠CAD=∠CAB=60°,∠ACD=∠ACB=30°,
则D(0,0),A(1,0),B(,),C(0,).
设E(0,y)(0≤y≤),
则=(-1,y),=(-,y-),
所以·=+y2-y
=+,
所以当y=时,·有最小值.
　　　【补偿训练】
　　如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则·的最小值是(　　)

A.2　　　B.0　　　C.-1　　　D.-2
【解析】选D.由平行四边形法则得+=2,
故(+)·=2·,又||=2-||,
且,反向,设||=t(0≤t≤2),
则(+)·=2·=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].
因为0≤t≤2,所以当t=1时(+)·有最小值,最小值为-2.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知作用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标是　　　　. 
【解析】因为F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),所以终点坐标为(8,0)+(1,1)=(9,1).
答案:(9,1)
14.(2020·全国Ⅰ卷)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　　. 
【解析】因为a,b为单位向量,所以==1,
所以====1,解得:2a·b=-1,
所以===.
答案:
15.(2020·襄阳高一检测)如图所示,在菱形ABCD中,AB=,AC=2BD,点E为CD的中点,则·=　　　　. 

【解析】在菱形ABCD中,AC⊥BD,所以分别以AC,BD所在直线为x,y轴,建立如图平面直角坐标系,

因为AC=2BD,所以设A(-2x,0),B(0,-x),C(2x,0),D(0,x),x>0,且AB=,
所以4x2+x2=5,解得x=1,所以A(-2,0),C(2,0),D(0,1),且点E是CD的中点,所以E,
所以=(4,0),=
所以·=12.
答案:12
16.已知△ABC是边长为2的等边三角形,若向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是　　　　.(写出所有正确结论的编号)  
①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.
【解析】因为=4|a|2=4,所以|a|=1,故①正确;
因为=-=(2a+b)-2a=b,且△ABC为等边三角形,所以||=|b|=2,故②错误;
因为b=-,
所以a·b=·(-)=×2×2×cos 60°-×2×2=-1≠0,故③错误;
因为=b,故④正确;
因为(4a+b)·b=(+)·(-)
=-=4-4=0,
所以(4a+b)⊥,故⑤正确.
答案:①④⑤
三、解答题(共70分)
17.(10分)在平行四边形ABCD中,=a,=b,
(1)如图①,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示,.
(2)如图②,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.

【解析】(1)=+=+
=-=-a+b.
=+=-=a-b.
(2)=-=b-a.
因为O是BD的中点,G是DO的中点,
所以==(b-a),
所以=+=a+(b-a)=a+b.
18.(12分)(2020·三明高一检测)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c.
(1)求3a+b-3c.
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.
【解析】由已知得a=(5,-5),
b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),a=mb+nc,
所以解得
19.(12分)已知e1,e2是平面上的一组基底,a=e1+λe2,b=-2λe1-e2.
(1)若a与b共线,求λ的值.
(2)若e1,e2是夹角为60°的单位向量,当λ≥0时,求a·b的最大值.
【解析】(1)因为a∥b,所以存在实数μ,使得b=μa.
所以解得λ=±.
(2)因为e1,e2是夹角为60°的单位向量,
所以e1·e2=.
所以a·b=(e1+λe2)·(-2λe1-e2)=-λ2-3λ-.
在λ∈[0,+∞)上是减函数,
所以λ=0时,a·b取最大值-.
20.(12分)已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|b|=2,且a∥b,求b的坐标.
(2)若|c|=,且2a+c与4a-3c垂直,求a与c的夹角θ.
【解析】(1)设b=(x,y),因为a∥b,所以y=2x.①
又因为|b|=2,所以x2+y2=20.②
由①②联立解得x1=2,y1=4,x2=-2,y2=-4.
所以b=(2,4)或b=(-2,-4).
(2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c),
即(2a+c)·(4a-3c)=8a2-3c2-2a·c=0,
又|a|=,|c|=,解得a·c=5,
所以cos θ==.因为θ∈[0,π],
所以a与c的夹角θ=.
21. (12分)如图,在平行四边形ABCD中,|AB|=3,|BC|=2,e1=,e2=,与的夹角为.

(1)若=xe1+ye2,求x,y的值.
(2)求·的值.
(3)求与的夹角的余弦值.
【解析】(1)因为e1=,e2=,|AB|=3,|BC|=2,所以=+=3e1+2e2=xe1+ye2,
所以x=3,y=2.
(2)由向量的运算法则知,=-=2e2-3e1,
所以·=(2e2+3e1)·=4-9=-5.
(3)因为与的夹角为,所以e1与e2的夹角为,
又|e1|=|e2|=1,
所以||=|+|=|2e2+3e1|=
=,
所以||=|-|=|2e2-3e1|
==.
设与的夹角为θ,可得cos θ===-,
所以与的夹角的余弦值为-.
22.(12分)已知四边形ABCD,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3). 世纪金榜导学号
(1)若∥,求y=f(x)的解析式.
(2)在(1)的条件下,若⊥,求x,y的值以及四边形ABCD的面积.
【解析】(1)=-(++)=(-x-4,2-y),因为∥,所以x(2-y)-(-x-4)y=0,
整理得x+2y=0,所以y=-x.
(2)因为=+=(x+6,y+1),
=+=(x-2,y-3),又因为⊥,
所以·=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,
由(1)知x=-2y,将其代入上式,整理得y2-2y-3=0,解得y1=3,y2=-1.
当y=3时,x=-6,于是=(-6,3),
=(0,4),=(-8,0),||=4,||=8,
所以=||||=×4×8=16.
当y=-1时,x=2,于是=(2,-1),=(8,0),=(0,-4),||=8,||=4,所以=||||=×8×4=16.