人教版高中数学选修2-2教案全集-(18346).doc

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人教版高中数学选修 2-2 教案全集

第一章 导数及其应用

§1.1.1 变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数 , 求物体在任意时刻的速度与加速度等 ; 二、求曲线的切线 ;

三、求已知函数的最大值与最小值 ;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数 研究的问题即 变化率问题 ：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授

（一）问题提出

问题 1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 , 可以发现 , 随着气球内空气容量的增加 , 气球的半径增加越来越慢 . 从数学角度 , 如何描述这种现象呢 ?

气球的体积 V( 单位 : L) 与半径 r ( 单位 : dm) 之间的函数关系是 V (r )
4 r 3

3

如果将半径 r 表示为体积
V 的函数 , 那么 r (V )
3
3V

4

分析 :
3V

r (V ) 3，

4

⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时, 气球半径增加了 r (1) r (0)
0.62( dm)

气球的平均 膨胀率 为 r (1)
r (0)
0.62(dm / L)

---
1 0

⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时, 气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16( dm)

气球的平均 膨胀率 为 r (2)
r (1)
0.16(dm / L)

2
1

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
h
思考： 当空气容量从
1 增加到2
时 , 气球的平均膨胀率是多少
?

V
V

r (V2 ) r (V1 )

V2 V1

问题 2 高台跳水

在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高度
h
( 单位：
) 与起跳后

m

的时间 t （单位： s）存在函数关系 h( t )= -4.9
t 2+6.5 t +10. 如何用运动

员在某些时间段内的平均速 v 度粗略地描述其运动状态 ?

思考计算： 0 t 0.5 和 1 t 2 的平均速度 v


o t

在 0 t 0.5 这段时间里，

在 1 t 2 这段时间里， v

探究： 计算运动员在 0 t


h(0.5)
h(0)
4.05(m / s) ；

v
0.5
0

h(2)
h(1)
8.2( m / s)

2
1

65
这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程： 如图是函数 h( t )= -4.9 t 2+6.5 t +10 的图像，结合图形可知，


65 )
(0)
，

h(
h

49

h( 65)
h(0)

所以
v
49

0(
/ ) ，

65

s m

0

49

65

虽然运动员在 0
这段时间里的平均速度为
0(s/ m) ，但实际情况是运动员仍然运动，并

t

49

非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

（二）平均变化率概念 :

1．上述问题中的变化率可用式子
f (x2 )
f ( x1 ) 表示 ,
称为函数
f
( ) 从
x
1 到
x
2 的平均变化率

x2
x1

x

2 ．若设 x x
x
,f
f ( x
) f (x
)
( 这里
x 看作是对于
x1 的一个“增量”可用

2
1

2

1

x1+ x 代替 x2, 同样
f
y
f (x2 )
f ( x1) )

3． 则平均变化率为
y
f
f ( x2 )
f (x1 )

x
x
x2
x1

思考：观察函数
f
(
) 的图象

x

平均变化率
f

f ( x2 )
f (x1) 表示什么 ?

x

x2
x1

直线 AB的斜率

三．典例分析


f (x1 x) f ( x1 )

x

y

y=f(x)

f(x2)

△ y =f(x2)- f(x1)

f(x1 )

△x= x2- x1

O
x1
x2
x

例 1．已知函数 f ( x)=
x 2
x 的图象上的一点
A( 1,
2) 及临近一点 B( 1 x, 2 y) ,

则
y

．

x

解：

2
y
( 1
x) 2
( 1
x) ，

∴

y
(
1 x)
2
(
1 x)
2
x

x

x

3

例 2．
求 y
x2 在 x
x0 附近的平均变化率。

解：

y
( x0
x)
2
x0
2
y
( x0
x)2
x02

，所以

x

x

x02

2x0 x
x2
x02
x

x
2x0

所以 y
x 2 在 x
x0 附近的平均变化率为
2x0

x

四．课堂练习

1．质点运动规律为

s
t 2
3，则在时间 (3 , 3
t ) 中相应的平均速度为

．

2.
物体按照
(
t
)=3
t
2+
+4 的规律作直线运动
, 求在 4
s
附近的平均变化率 .
3
t

s

t

25

3.
过曲线 y=f ( x)= x3 上两点 P（ 1， 1）和 Q(1+
x,1+
y) 作曲线的割线，求出当
x=0.1 时割线

的斜率 .

五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

六．教后反思：

§1.1.2 导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率

（二） 探究： 计算运动员在 0 t
65

这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程： 如图是函数 h( t )= -4.9
t
2+6.5 t +10 的图像，结合图形可知，
h(
65 )(0)
，

h

49

h( 65)
h(0)

h

所以
v
49

0(
/ ) ，

65

s m

0

49

65

虽然运动员在 0
t

0(s / m) ，但实际

这段时间里的平均速度为

49

情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描

述运动员的运动状态．

o

二．新课讲授

t

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬时速度 。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻

的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，
t
2 时的瞬时速度是多少？考察

t 2 附近的情况：

思考： 当
t 趋近于 0 时，平均速度 v 有什么样的变化趋势？

结论：当
t 趋近于 0 时，即无论 t 从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，平均

速度 v 都趋近于一个确定的值

13.1 ．

从物理的角度看，时间
t
间隔无限变小时，平均速度
v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，

运动员在 t
2时的瞬时速度是
13.1m / s

为了表述方便，我们用
lim
h(2
t) h(2)
13.1

t 0
t

表示“当 t
2， t 趋近于
0 时，平均速度 v 趋近于定值 13.1 ”

小结 ：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，
然后通过取极限， 从瞬时速度的近

似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念

从函数 y=f ( x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是 :
lim f ( x0

x)
f (x0 )
lim
f

x
0

x

x
0
x

我们称它为函数
y

f ( x) 在 x
x0 出的导数 ，记作 f ' ( x0 ) 或 y' |x
x0
，即

f
( x0 )
lim
f (x0
x)
f (x0 )

x

x 0

说明：（ 1）导数即为函数
y=f ( x) 在 x=x0 处的瞬时变化率

（ 2） x
x

x0 ，当
x
0
时， x
x0 ，所以 f ( x0 )
lim
f ( x)
f ( x0 )

x
0
x
x0

三．典例分析

例 1．（ 1）求函数 y=3x2 在 x=1 处的导数 .

分析： 先求
f =
y=f ( １＋
x)- f ( １)=6
x+(
x) 2

再求
f
6

x 再求 lim
f
6

x

x

x 0

解： 法一 定义法（略）

法二： y |x 1
lim 3x2
3 12
lim 3( x2
12 )
lim3( x
1)
6

x
1
x
1

x 1
x
1
x 1

（ 2）求函数 f ( x)=

x2
x 在
x
1
附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：
y

(
1

x) 2
(
1
x) 2
3
x

x

x

f
( 1)
lim
y
( 1

x) 2
( 1
x)
2

x)
3

x

x

lim(3

x
0

x
0

例 2．（课本例
1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和

加热， 如果第 xh 时，原油的温度 （单位： C ）为 f (x) x 2
7x
15(0
x
8) ，计算第 2h 时

和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第
2h
时和第
6h 时，原油温度的瞬时变化率就是
f ' (2)
和 f ' (6)

根据导数定义，

f
f (2
x)
f ( x0 )

x x

(2
x) 2
7(2

x) 15
(2 2
7
2
15)
3

x

x

所以 f (2)
lim
f
lim (
x 3)

3

x

x 0
x 0

同理可得 : f
(6)
5

在第 2h
时和第 6h
时，原油温度的瞬时变化率分别为
3 和 5，说明在 2h 附近，原油温度大

约以 3 C / h的速率下降，在第 6h
附近，原油温度大约以
5 C / h 的速率上升．

注：一般地，
f ' (x0 ) 反映了原油温度在时刻
x0 附近的变化情况．

四．课堂练习

1．质点运动规律为
s
t 2
3，求质点在 t
3
的瞬时速度为．

2．求曲线 y=f ( x)= x3 在 x
1时的导数．

3．例 2 中，计算第 3h 时和第 5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．导数的概念

六．教后反思：

§ 1.1.3 导数的几何意义

教学目标：

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2．理解曲线的切线的概念；

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率、割线的斜率

（二）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数
= (
x
) 在
= 处的瞬时变化率，反映了函数
= (
x
) 在
= 附近的

y f

x x
0
y f

x x
0

变化情况，导数 f (x0 ) 的几何意义是什么呢？

二．新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率


：如图


3.1-2


，当 Pn (xn , f (xn ))( n


1,2,3,4)


沿着曲线


f (x) 趋

近于点


P(x0 , f (x0 )) 时，割线


PPn 的变化趋势是什么？

图 3.1-2

我们发现 , 当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 即 x→ 0 时, 割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确

定位置的直线 PT称为曲线在点 P 处的切线 .

问题：⑴ 割线 PPn 的斜率 kn 与切线 PT的斜率 k 有什么关系？

⑵ 切线 PT的斜率 k 为多少？

容易知道， 割线 PPn 的斜率是 kn

f (xn )
f (x0 ) , 当点 Pn 沿着曲线无限接近点
P 时， kn 无

xn
x0

限趋近于切线 PT的斜率 k ，即 k lim
f (x0
x)
f (x0 )

x
f ( x0 )

x
0

x→ 0

P 处的切线的

说明：（ 1）设切线的倾斜角为 α, 那么当
时 , 割线 PQ的斜率 , 称为曲线在点

斜率 .

这个概念 : ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法
;

②切线斜率的本质—函数在
x
x0 处的导数 .

（ 2）曲线在某点处的切线 :1) 与该点的位置有关 ;2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求

解 . 如有极限 , 则在此点有切线 , 且切线是唯一的 ; 如不存在 , 则在此点处无切线 ;3) 曲线的切线 , 并不一定与曲线只有一个交点 , 可以有多个 , 甚至可以无穷多个 .

（二）导数的几何意义 ：

函数
=
(
) 在
=
0 处的导数等于在该点
(x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率，

y f
x

x
x

即
f (x0 )
lim
f ( x0
x)
f (x0 )
k

x

0

x

:

说明： 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤

①求出 P 点的坐标 ;

②求出函数在点

x0 处的变化率
f (x0 )
lim f ( x0
x)
f ( x0 )
k ，得到曲线在点

x 0
x

( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程 .

（二）导函数 ：

由函数 f ( x) 在 x=x
0
处求导数的过程可以看到
, 当时 ,
f ( x0 )
是一个确定的数，那么
, 当 x 变

化时 , 便是 x 的一个函数 , 我们叫它为 f ( x) 的导函数 . 记作： f ( x) 或 y ，

即 :
f ( x)
y

lim
f (x
x)
f (x)

x 0

x

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f (x0 ) 、导函数 f ( x) 、导数 之间的区别与联系。

（ 1）函数在一点处的导数 f (x0 ) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，

它是一个常数，不是变数。

(2 ）函数的导数，是指某一区间内任意点


x 而言的，


就是函数


f(x)


的导函数

(3 ）函数


f (x) 在点


x0 处的导数


'
f ( x0 )


就是导函数


f ( x) 在


x


x0 处的函数值，这也是


求函数

在点 x0 处的导数的方法之一。

三．典例分析

例 1: （ 1）求曲线 y=f ( x)= x2+1 在点 P(1,2) 处的切线方程 .

（ 2）求函数 y=3x2 在点 (1,3) 处的导数 .

解：（ 1） y |x 1
lim
[(1
x)2
1]
(12
1)
lim
2
x
x2
,

x

x
2

x
0

x 0

所以，所求切线的斜率为
2，因此，所求的切线方程为

y
2
2( x
1) 即 2 x
y
0

（ 2）因为 y |x 1

3x2
3 12
lim
3( x2 12 )
lim3(
x
1)
6

lim
x
1

x
1

x
1

x 1

x
1

所以，所求切线的斜率为

6，因此，所求的切线方程为
y
3
6( x
1) 即 6x y
3
0

（ 2）求函数 f ( x)=

x2
x 在 x
1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：
y
(
1

x) 2
(
1
x)
2
3
x

x

x

f ( 1)
lim
y

( 1

x) 2
(
1
x)
2
lim(3
x)
3

x

x

x
0

x 0

例 2．（课本例
2）如图 3.1-3
，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h( x) 4.9x2
6.5x
10 ，根据图像，请描述、比

较曲线 h(t) 在 t0 、 t1 、 t2 附近的变化情况．

解：我们用曲线 h(t) 在 t0 、 t1 、 t2 处的切线，刻

画曲线 h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况．

（ 1）
当 t
t0 时，曲线 h(t) 在 t 0 处的切线 l0 平行于

x 轴，所以，在
t t0
附近曲线比较平坦，几

乎没有升降．

（ 2）
当 t
t1 时，曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h (t1 )
0 ，所以，在 t
t1 附近曲线下降，

即函数 h( x)
4.9x2
6.5x 10 在 t t 附近单调递减．

1

（ 3）
当 t
t 2 时，曲线 h(t) 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 h (t2 )
0 ，所以，在 t
t 2 附近曲线下降，

即函数 h( x)
4.9x2
6.5x 10 在 t t2 附近单调递减．

从图 3.1-3 可以看出，直线
l1 的倾斜程度小于直线
l 2 的倾斜程度，这说明曲线在
t1 附近比在 t2
附近下降的缓慢．

例 3．（课本例
3）如图
3.1-4 ，它表示人体血管中药物浓度
c f (t ) ( 单位： mg / mL ) 随
时间 t （单位： min
）变化的图象．根据图像，估计
t 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 时，血管中药物浓度
的瞬时变化率（精确到
0.1 ）．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 f (t) 在此时刻的导数，从图像上

看，它表示曲线 f (t) 在此点处的切线的斜率．

如图 3.1-4 ，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作 t
0.8 处的切线，并在切线上去两点，如
(0.7, 0.91)， (1.0,0.48)
，则它的斜率为：
0.48
0.91

k
1.4

1.0
0.7

所以
f (0.8)1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

t
0.2
0.4
0.6
0.8

药物浓度瞬时变化率 f ' (t )
0.4
0
-0.7
-1.4

四．课堂练习

1．求曲线 y=f ( x)= x3 在点 (1,1) 处的切线；

2．求曲线 y x 在点 (4,2) 处的切线．

五．回顾总结

1．曲线的切线及切线的斜率；

2．导数的几何意义

六．教后反思：

§ 1.2.1 几个常用函数的导数

教学目标：

1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数

y
c 、 y x 、 y
x2 、 y
1
的导

x

数公式；

2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

教学重点：四种常见函数
y
c 、 y
x 、 y
x2 、 y
1
的导数公式及应用

x

教学难点： 四种常见函数
y
c、 y
x 、 y
x2 、 y
1
的导数公式

x

教学过程：

一．创设情景

我们知道， 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，

物理意义是运动物体在某一时刻
的瞬时速度．那么，对于函数
y f ( x) ，如何求它的导数呢？

由导数定义本身， 给出了求导数的最基本的方法， 但由于导数是用极限来定义的， 所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦， 有时甚至很困难， 为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

二．新课讲授

1．函数 y f ( x) c 的导数

根据导数定义，因为
y
f ( x
x)
f ( x) c
c

x

x

0

x

y
lim 0 0

所以 y lim

x
0 x
x
0

函数

导数

y
c

y
0

y 0 表示函数 y c 图像（图 3.2-1 ）上每一点处的切线的斜率都为 0．若 y c 表示路程关于

时间的函数，则 y 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即物体一直处于静止状态．

2．函数 y
f ( x)

x 的导数

因为
y
f ( x

x) f ( x)
x
x x
1

x

x

x

所以 y
lim
y
lim 1
1

x

x 0
x 0

函数

导数

y
x

y
1

y
1表示函数 y

x 图像（图 3.2-2 ）上每一点处的切线的斜率都为 1．若 y
x 表示路程关于

时间的函数，则
y

1可以解释为某物体做瞬时速度为

1 的匀速运动．

3．函数 y
f ( x)

x2 的导数

因为
y
f (x

x)
f (x)
(x
x)2
x2

x

x

x

x2
2x
x
(
x)2
x
2
x

x

2x

所以 y
lim
y

lim (2 x
x)
2x

x

x 0

x
0

函数

导数

y
x2

y 2x

y
2x 表示函数 y
x2 图像（图
3.2-3 ）上点 (x , y) 处的切线的斜率都为 2x
，说明随着 x 的变

化，切线的斜率也在变化．
另一方面， 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，
表明：当 x 0

时，随着 x 的增加，函数
y x2 减少得越来越慢；当
x
0 时，随着 x 的增加，函数 y x2 增加

得越来越快．若
y

x2 表示路程关于时间的函数，则
y
2x 可以解释为某物体做变速运动，它

在时刻 x 的瞬时速度为 2x ．

4．函数 y
f ( x)

1
的导数

x

y
f ( x

x)
f (x)

1
1

因为

x

x
x

x

x

x

x
( x

x)

1

x(x

x)
x
x2
x
x

所以 y
lim
y
lim (

1

)
1

x
2
x

2

x
0
x
0
x

x
x

函数

导数

y
1

1

x

y

x2

5．函数 y
f ( x)

x 的导数

因为
y
f (x
x) f ( x)

x
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