2021-2022学年高中数学-第3章-圆锥曲线的方程-3.2-3.2.2-双曲线的简单几何性质学案.doc
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1、2021-2022学年高中数学 第3章 圆锥曲线的方程 3.2 3.2.2 双曲线的简单几何性质学案 新人教A版选择性必修第一册2021-2022学年高中数学 第3章 圆锥曲线的方程 3.2 3.2.2 双曲线的简单几何性质学案 新人教A版选择性必修第一册年级:姓名:3.2.2双曲线的简单几何性质学 习 任 务核 心 素 养1.掌握双曲线的简单几何性质(重点)2理解双曲线的渐近线及离心率的意义(难点)1.通过学习双曲线的几何性质,培养直观想象、数学运算素养2借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用,提升直观想象及数学运算、逻辑推理等素养.已知双曲线C的方程为x21,根据这个方程完成
2、下列任务:(1)观察方程中x与y是否有取值范围,由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征;(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称;(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标;(4)如果(x,y)满足双曲线C的方程,说出当|x|增大时,|y|将怎样变化,并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点知识点1双曲线的几何性质(1)双曲线的几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点顶点坐标:A1(a,0),A2(a,0)顶点坐标:A1(0,a),A2(0,a)轴长实轴长:2a虚轴长:2b渐近线yxyx离
3、心率e,e(1,),其中ca,b,c的关系c2a2b2(ca0,cb0)(2)双曲线的中心和等轴双曲线双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率为.1.双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响?提示以双曲线1(a0,b0)为例e,故当的值越大,渐近线yx的斜率越大,双曲线的开口越大,e也越大,所以e反映了双曲线开口的大小,即双曲线的离心率越大,它的开口就越大1.思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)双曲线1与1(a0,b0)的形状相同()(2)双曲线1与1(a0,b0)的渐近线相同()(3)等轴双曲线的渐近线方程与双
4、曲线方程有关()(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线()提示(1)双曲线1与1(a0,b0)的位置不一样,但是形状相同(2)双曲线1的渐近线方程为yx;双曲线1的渐近线方程为yx.(3)等轴双曲线的渐近线方程都是yx.(4)等轴双曲线的离心率是.2.双曲线1的顶点坐标是()A(5,0)B(5,0)或(0,3)C(4,0)D(4,0)或(0,3)A双曲线顶点在x轴上,且a5,故选A知识点2直线与双曲线的位置关系将ykxm与1联立消去y得一元方程(b2a2k2)x22a2kmxa2(m2b2)0.的取值位置关系交点个数k时(此时m0)相交只有一个交点k且0有两个交点k且0相切只有一个交点k且0相离没
5、有公共点2.直线和双曲线只有一个公共点,那么直线和双曲线相切吗?提示不一定当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线只有一个公共点,但直线与双曲线相交3.过点(0,b)的直线和双曲线1(a0,b0)只有一个公共点,这样的直线有几条?提示4条,其中两条切线,两条与渐近线平行的直线 类型1根据双曲线方程研究其几何性质【例1】(对接教材P124例题)(1)双曲线1的左顶点到其渐近线的距离为()A2BCD3(2)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx(3)已知双曲线1(a0)的一条渐近线为yx,则实数a_.(1)C(2)C(3)1(1)由双曲线方
6、程知a29,b216,则a3,b4,c5,从而双曲线左顶点A1(3,0),一条渐近线方程为yx,即4x3y0,则左顶点到渐近线的距离d,故选C(2)由e21得1,即,又双曲线的焦点在x轴上,则双曲线渐近线方程为yx,故选C(3)由双曲线方程知,双曲线的焦点在x轴,则2,即a21,a1,又a0,a1.由双曲线方程研究几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式,确定a,b的值是关键(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程(3)渐近线是双曲线的重要性质:先画渐近线可使图形更准确,焦点到渐近线距离为虚半轴长(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用如过双曲线1的左焦点F1(c,0)
7、垂直于x轴的弦AB,则|AB|.(5)双曲线中c2a2b2,易与椭圆中a2b2c2混淆跟进训练1(1)若双曲线y21(a0)的离心率为2,则其实轴长为()A B2 C D(2)若双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于()A B4 C4 D(1)D(2)A(1)由题意得e21,即14,解得a,则实轴长为,故选D(2)将双曲线方程化为标准形式为y21,则有a21,b2.由题意知,2,m. 类型2由双曲线的几何性质求其标准方程【例2】求满足下列条件的双曲线的方程:(1)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(3,2);(2)渐近线方程为yx,且经过点A(2,3)解(1)设所求双曲
8、线方程为1(a0,b0)e,e21,.由题意得解得所求双曲线的标准方程为1.(2)法一:双曲线的渐近线方程为yx.当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为1(a0,b0),则.点A(2,3)在双曲线上,1.联立,无解当焦点在y轴上时,设所求方程为1(a0,b0),则.点A(2,3)在双曲线上,1.联立,解得a28,b232.所求双曲线的标准方程为1.法二:由双曲线的渐近线方程为yx,可设双曲线方程为y2(0),A(2,3)在双曲线上,(3)2,即8.所求双曲线的标准方程为1.1由几何性质求双曲线标准方程的解题思路由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时,方
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