[高等教育]数学建模与数学技术的应用介绍.ppt
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1、数学建模与数学技数学建模与数学技术应用介用介绍20112011年年5 5月月2727日于南日于南华大学大学 衡阳衡阳郑洲洲顺1.提提 纲 数学模型与数学建模数学模型与数学建模过程程 科学科学计算与数学模型求解算与数学模型求解 科学科学计算与数学算与数学软件系件系统的使用的使用 数学技数学技术的的应用用差分方法建模差分方法建模 掌握数学技掌握数学技术迎接迎接时代代发展的挑展的挑战 我我们团队的的应用数学研究之路用数学研究之路2.Mathematical Model&Mathematical Modeling模型模型是是为了一定目的,了一定目的,对客客观事物的一部分事物的一部分进行行简缩、抽象、提
2、抽象、提炼出来的出来的原型的替代物原型的替代物,它集中反映了它集中反映了原型原型中中人人们需要的那一部分特征。需要的那一部分特征。数学模型数学模型是是对客客观事物的部分、方面或特性,根据其内在事物的部分、方面或特性,根据其内在规律,律,作出必要的作出必要的简化、假化、假设,运用数学符号、,运用数学符号、语言等数学工具描述言等数学工具描述的作的作为原型替代物的一个原型替代物的一个数学数学结构构。数学建模数学建模是建立数学模型的全是建立数学模型的全过程,包括程,包括对客客观事物事物进行分析、行分析、简化、假化、假设、运用适合数学工具表述、求解、解、运用适合数学工具表述、求解、解释、检验等。等。数学
3、建模是数学建模是应用数学技用数学技术解决是解决是问题的的关关键步步骤和和核核心内容心内容。3.现实问题的信息的信息数学模型数学模型现实问题的解答的解答数学模型的解答数学模型的解答求解求解解解释验证实践践现实世世界界数数学学世世界界理理论实践践求解方法求解方法演演绎法法数数值法法数数值解解解析解解析解?表述表述数学建模数学建模现实世界与数学世界世界与数学世界联系的系的桥梁梁4.数学建模的一般步数学建模的一般步骤与意与意义分析分析问题提出假提出假设应用与推广用与推广求解模型求解模型解的分析解的分析检验和和验证建立模型建立模型 作作为用用数数学学方方法法解解决决实际问题的的第第一一步步,数数学学建建
4、模模自自然然有有着着与与数数学学同同样悠悠久久的的历史史。进入入2020世世纪以以来来,随随着着数数学学以以空空前前的的广广度度和和深深度度向向一一切切领域域的的渗渗透透,以以及及计算算机机的的出出现与与飞速速发展展,数数学学建建模模越越来来越越受受到到人人们的的重重视,数数学学建建模模在在解解决决现实世世界界的的实际问题中有着重要意中有着重要意义。在在传统工程技工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地域,数学建模仍然大有用武之地 在高新技在高新技术领域,数学建模几乎是必不可少的工具域,数学建模几乎是必不可少的工具5.美国科学院一位院士美国科学院一位院士总结了将数学了将数学转化化为生生产力力过程
5、中程中的成功和失的成功和失败,得出了,得出了“数学是一种数学是一种关关键的、普遍的、可的、普遍的、可以以应用的用的技技术”的的结论,认为数学数学“由研究到工由研究到工业领域的域的技技术转化,化,对加加强经济竞争力是有重要意争力是有重要意义”,而,而“计算算和建模重新成和建模重新成为中心中心课题,它,它们是数学科学技是数学科学技术转化的主化的主要途径要途径”。数学建模技数学建模技术是数学建模的相关知是数学建模的相关知识、方法和技巧。、方法和技巧。科学科学计算算和和数学建模技数学建模技术是是数学技数学技术的核心内容,的核心内容,数学技数学技术的的应用依用依赖于于计算机技算机技术的的发展。展。6.科
6、学科学计算与数学模型求解算与数学模型求解算法:算法:是指将所欲求解的数学模型(数学是指将所欲求解的数学模型(数学问题)简化化成一系列成一系列算算术运算运算和和逻辑运算运算,以便在,以便在计算机上求出算机上求出问题的数的数值解,并解,并对算法的收算法的收敛性、性、稳定性及其定性及其误差差进行分析、行分析、计算算。(1)(1)科学科学计算与数学建模求解关系算与数学建模求解关系求解方法求解方法演演绎法法数数值法法数数值解解解析解解析解(2)(2)模型的数模型的数值求解与求解与误差差7.(3)误差的种差的种类及其来源及其来源误差的种差的种类模型模型误差差观测误差差截断截断误差差舍入舍入误差差误差分析差
7、分析例例1 18.1 2 3 4序序 号号 算算 式式计 算算 结 果果 19.按不同算式和近似按不同算式和近似值计算出的算出的结果各不相同果各不相同初始初始误差和算法的差和算法的选定定对计算算结果的精确度影响很大果的精确度影响很大大小相近的同号数相减大小相近的同号数相减数数值计算中算中应避免避免除数接近于零除数接近于零乘数的乘数的绝对值很大很大数数值算法的构造、算法的收算法的构造、算法的收敛性和性和稳定性定性量量级级差很大的数直接相加减差很大的数直接相加减10.科学科学计算与数学算与数学软件系件系统的使用的使用常用算法常用算法1)蒙特卡蒙特卡罗算法算法:该算法又称随机性模算法又称随机性模拟算
8、法,是通算法,是通过计算机仿真来解决算机仿真来解决问题的算法,同的算法,同时可以通可以通过模模拟可以可以来来检验自己模型的正确性,是一种常用的方法自己模型的正确性,是一种常用的方法.2)数据数据拟合、参数估合、参数估计、插、插值等数据等数据处理算法理算法:在在实际问题中通常会遇到大量的数据需要中通常会遇到大量的数据需要处理,而理,而处理数理数据的关据的关键就在于就在于这些算法,通常使用些算法,通常使用Matlab作作为工具工具.3)线性性规划、整数划、整数规划、多元划、多元规划、二次划、二次规划等划等规划划类问题:大多数大多数问题属于最属于最优化化问题,很多,很多时候候这些些问题可以用数学可以
9、用数学规划算法来描述,通常使用划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件件实现.11.4)图论算法算法:这类算法可以分算法可以分为很多种,包括最短路、很多种,包括最短路、网网络流、二分流、二分图等算法,涉及到等算法,涉及到图论的的问题可以用可以用这些些方法解决方法解决.5)动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算机算法算法:这些算法是算法些算法是算法设计中比中比较常用的方法,很多常用的方法,很多场合都会用到合都会用到.6)最最优化理化理论的三大非的三大非经典算法:典算法:模模拟退火法、神退火法、神经网网络、遗传算法算法(是用来解决一些(是用来解决
10、一些较困困难的最的最优化化问题的算的算法,法,对于有些于有些问题非常有帮助,但是算法的非常有帮助,但是算法的实现比比较困困难.7)网格算法和网格算法和穷举法法:网格算法和网格算法和穷举法都是暴力搜索法都是暴力搜索最最优点的算法,在很多点的算法,在很多实际问题中有中有应用,当重点用,当重点讨论模型本身而模型本身而轻视算法的算法的时候,可以使用候,可以使用这种暴力方案,种暴力方案,最好使用一些高最好使用一些高级语言作言作为编程工具程工具.12.8)一些一些连续离散化方法离散化方法:很多很多实际问题的数据的数据可能是可能是连续的,而的,而计算机只算机只认的是离散的数据,的是离散的数据,因此将其离散化
11、后因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代行差分代替微分、求和代替替积分等思想是非常重要的分等思想是非常重要的.9)数数值分析算法分析算法:数数值分析中常用的算法比如分析中常用的算法比如方程方程组求解、矩求解、矩阵运算、函数运算、函数积分等算法分等算法.10)图象象处理算法理算法:一些一些问题与与图形有关,即使形有关,即使与与图形无关,形无关,图形如何展示以及如何形如何展示以及如何处理就是需理就是需要解决的要解决的问题,通常使用,通常使用Matlab进行行处理理.13.常用常用软件件Maple V 系系统 MATLAB 系系统 MathCAD 系系统 Mathematica 系系统 LINDO
12、和和LINGO SAS系系统SPSS系系统14.数学技数学技术的的应用用差分方法建模差分方法建模15.一、抵押一、抵押贷款款买房房问题相相关关背背景景名流花园 用薪金用薪金,买高品高品质住房住房 对于于大大多多数数工工薪薪阶层的的人人士士来来说,想想买房房,简直直是是天天方方夜夜谭.现在在有有这样一一栋:自自备款款只只需需七七万万人人民民币,其其余余由由银行行贷款款,分分五五年年还清清.相相当当于每月只需付于每月只需付1200人民人民币。那么。那么,这对于您于您还有什么有什么问题呢呢?谁都希望有一套属于自己的住房,但又没有足都希望有一套属于自己的住房,但又没有足够的的资金一次金一次买下,下,这
13、就就产生了生了贷款款买房的房的问题。下面是下面是1991年年1月月1日某大城市晚日某大城市晚报上登的一上登的一则广告广告.任任何何人人看看了了这则广广告告都都会会产生生许多多疑疑问,且且不不谈广广告告上上没没有有谈住住房房面面积、设施等,人施等,人们关心的是:关心的是:如果一次付款如果一次付款买这套房要多少套房要多少钱呢?呢?银行行贷款的利息是多少呢?款的利息是多少呢?为什么每个月要付什么每个月要付12001200元呢?元呢?是怎么算出来的?是怎么算出来的?16.分分析析与与建建模模需要借多少钱,用 记;月利率用记R(贷款通常按复利计);每月还多少钱用x记;借期记为N个月。而一开始的借款为 ,
14、所以该问题可用数学表达式表示如下 (1.1)因因为我我们都都知知道道,若若知知道道了了一一次次付付款款买房房的的价价格格,如如果果自自己己只只能能支支付付一一部部分分款款,那那就就要要把把其其余余的的款款项通通过借借贷方方式式来来解解决决,只只要要知知道道利利息息,就就可可以以算算出出5 5年年还清清,每每月月要要付付多多少少钱才才能能按按时还清清贷款款,从从而而也也就就可可以以对是是否否要要去去买该广广告告中中所所说的房子做出决策了。的房子做出决策了。若用 记第k个月时尚欠的款数,则一个月后(加上利息)欠款 ,不过又还了x元所以总的款数为17.由 递推得推得 故这就是 ,x,R 之间的显式关
15、系,是迭代关系(1.1)的解。18.针对广广告告中中的的情情形形,N=5N=5年年=60=60个个月月,每每月月还款款x=1200 x=1200元元,已已知知 。但但 即即一一次次性性付付款款购买价价减减去去7000070000元元后后剩剩下下的的要要另另外外去去借借的的款款,并没有告并没有告诉你你.此外此外银行行贷款利率款利率R R也没有告也没有告诉你,你,这造成决策的困造成决策的困难.然而,由(然而,由(1.21.2)可知)可知6060个月后个月后还清,即清,即 =0=0,从而得,从而得 (1.31.3)例例如如,若若R=0.01R=0.01,则由由(1.31.3)式式子子可可算算得得=5
16、2946=52946元元。如如果果该房房地地产公公司司说一一次次性性付付款款的的房房价价小小于于70000+53946=12394670000+53946=123946元元的的话,你你就就应自自己己去去银行行贷款。款。事事实上上,利利用用MapleMaple等等数数学学软件件可可把把(1.31.3)式式的的图形形画画出出来来,从从而可而可进行估算决策。行估算决策。(1.31.3)式式表表示示N=60N=60,x=1200 x=1200给定定时 和和R R之之间的的关关系系式式,如如果果我我们已已经知道知道银行的行的贷款利息款利息R R,就可以算出,就可以算出 。19.例1 某校一对年轻夫妇为买
17、房要用银行贷款60000元,月利率0.01,贷款期25年=300月,这对年轻夫妇希望知道每月还多少钱,25年后就可以还清,假设这对夫妇每月可有节余700元,是否可以去买房呢?解:解:现在的在的问题就是要求使得就是要求使得 =0的的x,由(,由(1.2)式)式知知现在在 =60000,R=0.01,k=300,利用,利用Maple等数学等数学软件,容易算得件,容易算得x=632元元0(订购Q双鞋),那么双鞋),那么购买费用用为k+cQ元,元,为了得到每周期的了得到每周期的贮存存费用,注意到一个周期内的平均存用,注意到一个周期内的平均存储水平水平为(Q+0)/2=Q/2双。因此相双。因此相应的的贮
18、存存费用用为每每单位位时间hQ/2元,因元,因为周周期期长度度为Q/a月,所以每个周期的月,所以每个周期的贮存存费用用为 元。于是,每个周期的元。于是,每个周期的总费用用为 元,而每双写的元,而每双写的总费用用为:对于于这种特定的鞋,零售商种特定的鞋,零售商应该隔多隔多长时间向批向批发商去商去订一次一次货,每次每次订货多少才能使他在多少才能使他在单位位时间内的花内的花费最少?不妨最少?不妨设1个月(个月(30天)作天)作为时间单位;零售商从批位;零售商从批发商商处一次一次订购Q件,件,设以以单位位时间a双的速率双的速率销售售这些商品。因些商品。因为缺缺货是不容是不容许的,所以的,所以连续两次两
19、次订货的的时间间隔隔为Q/a时间单位,即位,即订购周期周期为Q/a,以月,以月计。3.3.模型的建立与求解模型的建立与求解25.由于由于 解得使得解得使得T最小的最小的Q为 ,为了达到所希望的目的,了达到所希望的目的,连续两次两次订购的的时间间隔隔为 因此,因此,为了达到在了达到在单位位时间内的花内的花费最小,最小,对于所考于所考虑的特定的特定类型的型的鞋,鞋,零售商店每隔零售商店每隔 月向批月向批发商商订购 双双,其,其中中k为每次每次订购的的组织费,h为每月每件商品的每月每件商品的贮存存费用,而用,而a是零售商售是零售商售出商品的不出商品的不变速率。速率。用一个特定的数用一个特定的数值例子
20、来例子来说明前述内容,假定所考明前述内容,假定所考虑的特定的特定类型的鞋是一型的鞋是一种全年都种全年都销售的女鞋,并且售的女鞋,并且预期将期将继续流行足流行足够长的的时间以保以保证如下分析中的如下分析中的考考虑之合理性。零售商估之合理性。零售商估计每次定每次定货的的组织费为20元;每双鞋的元;每双鞋的购买费4.60元元和和0.10元的运元的运费。零售商将。零售商将这种鞋的种鞋的贮存存费估估计为每双每月每双每月0.84元,零售商以元,零售商以每月平均每月平均90双的速率双的速率销售售这种鞋。种鞋。4.4.模型的模型的应用(一个数用(一个数值例子)例子)26.利用前面的利用前面的记号,有号,有k=
21、20元,元,c=4.70元,元,h=0.84元,而元,而a=90双双/月。月。所以使得每月所以使得每月总费用最小的用最小的这种鞋的种鞋的订购量量为这样便有两个便有两个问题:首先,首先,订购65.47双鞋是荒唐的;双鞋是荒唐的;其次,批其次,批发商向零售商向零售商出售鞋,按商出售鞋,按惯例例总是以箱是以箱为单位,且每箱装有的双数按箱的位,且每箱装有的双数按箱的规格不同而格不同而不同。不同。为确定起确定起见,假定从批,假定从批发商商处订购的特定的特定类型的鞋是型的鞋是18双一箱的。双一箱的。为了解决上面提到的了解决上面提到的问题,我,我们首先首先检查函数函数 的特性:在可的特性:在可行行 集集 上
22、,当上,当 时,是减少的,而当是减少的,而当 时,是增加的,此是增加的,此处 =65.47,因,因为54和和72是是18的倍数中最接近于的倍数中最接近于65.47的两个数,一个小于它,的两个数,一个小于它,一个大于它,容易算出:一个大于它,容易算出:元元/月,而月,而 元元/月,于是零售商月,于是零售商应该订购 双双这样的鞋,且的鞋,且应每隔每隔 月,即月,即24天天订购72双鞋(即四箱)双鞋(即四箱)这样的鞋。的鞋。27.库存存论是运筹学的重要是运筹学的重要组成部分,有成部分,有许多存多存储模型我模型我们这里没有提到。例如。里没有提到。例如。在各种各在各种各样的的贸易中,易中,销售者将售者将
23、视购买商品的量而商品的量而给予减价予减价优惠也是常惠也是常见的。此外,的。此外,这里考里考虑的两种模型都是确定性的也就是一个周期内的需求量是已知的。如果一个的两种模型都是确定性的也就是一个周期内的需求量是已知的。如果一个周期内的需求量是一个已知的随机周期内的需求量是一个已知的随机变量,量,则合适的合适的 模型将是随机的。关于此模型将是随机的。关于此处未予未予考考虑的模型可以从运筹学的的模型可以从运筹学的书中找到。中找到。这里,我里,我们 将仿照上例解决下面的将仿照上例解决下面的问题。(1)美国一个葡萄酒批美国一个葡萄酒批发商从法国商从法国进口一种特定的葡萄酒。根据以往的口一种特定的葡萄酒。根据
24、以往的经验,批批发商知道她必商知道她必须容容许脱脱销。在国外生。在国外生产这种葡萄酒的葡萄欠收的年份里就很种葡萄酒的葡萄欠收的年份里就很难有法国葡萄酒运到她在美国的有法国葡萄酒运到她在美国的仓库里,里,还有其他原因可能有其他原因可能导致致仓库中中这种葡种葡萄酒的短缺。萄酒的短缺。批批发商从葡萄园商从葡萄园购买的葡萄酒只有的葡萄酒只有12瓶一箱装的。可是她凭瓶一箱装的。可是她凭经验知道以瓶知道以瓶为单位位卖给零售商生意才零售商生意才兴隆,因隆,因为零售商希望零售商希望买到各种不同葡萄酒的混装箱。到各种不同葡萄酒的混装箱。于是批于是批发商的一件物品意味着一瓶葡萄酒,而商的一件物品意味着一瓶葡萄酒,
25、而单位位时间是指一个月(是指一个月(30天)。天)。假定假定3项费用用k、c和和h与前述的一与前述的一样;此外,短缺被;此外,短缺被认为 是容是容许的;零售商的;零售商对她所不能她所不能满足的每瓶葡萄酒的需要足的每瓶葡萄酒的需要视为损失每失每单位位时间p元;元;Q和和a具有前述相具有前述相同的意同的意义。5.5.模型的推广(模型的推广(评注)注)28.设S为所考所考虑的葡萄酒在一个周期内开始的葡萄酒在一个周期内开始时仓库里的里的库存量。存量。现在的目的是决定在的目的是决定S和和Q应该取什么値才能使批取什么値才能使批发商在商在单位位时间的的费用最小。用最小。提示:提示:(a)计算每个周期的算每个
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