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2021年中考数学压轴题提升训练 图形面积计算

2021年中考数学压轴题提升训练 图形面积计算

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图形面积计算
【例1】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（ ）

A．9π﹣9 B．9π﹣6 C．9π﹣18 D．9π﹣12
【答案】D.
【解析】解：连接OD，

由折叠的性质知：CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，
∴OB＝OD＝BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO＝60°，
∴∠CBO＝30°，
∴OC＝OB＝2，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC
S△BDC＝S△OBC＝×OB×OC＝×6×2＝6，
S扇形AOB＝9π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC
=9π﹣6﹣6
＝9π﹣12．
所以答案为：D．
【变式1-1】如图，把半径为2的⊙O沿弦AB，AC折叠，使弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C．2 D．4
【答案】C．
【解析】解：过O作OD⊥AC于D，连接AO、BO、CO，

∴OD＝AO＝1，AD＝AC＝，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOC＝2∠AOD＝120°，
同理∠AOB＝120°，∠BOC＝120°，
∴S阴＝2S△AOC
＝2××22＝2，
所以答案为：C．
【变式1-2】如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．

【答案】．
【解析】解：设折痕为AB，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，

由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=，
在RT△AOC中，OA=1，OC=，
∴∠AOC=60°，AC=，AB=2AC=，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM
=π×12﹣2（）
=．
故答案为：．
【例2】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，若图中阴影部分面积为，则AB=

【答案】2.
【解析】S阴影=S△ADE+S扇形BAD－S△ABC
∵S△ADE= S△ABC
∴S阴影= S扇形BAD=，
∴=,
解得：AB=2，
故答案为：2.
【变式2-1】如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）

A. 3 B. C. D.
【分析】求线段的长度，常用方法是将所求线段放在直角三角形中借助勾股定理求解，如图作出辅助线，通过分析可知，△ADM≌△ABF≌△AEM，可得DM=EM=1，AE=AD=AB=3，进而利用△AEK∽△EMH，求得EH，MH的长，再计算出EG，FG的长，在Rt△EFG中，利用勾股定理求EF的长度即可.
【解析】过点E作EG⊥BC于G，作EH⊥CD于H，延长HE交AB于K，如图所示，

由题意知，△ADM≌△ABF≌△AEM，∴DM=EM=1，AE=AD=AB=3，
由△AEK∽△EMH，
得：=3，
∴设EH=x，则AK=3x，即DH=3x，MH=3x－1，
在Rt△EMH中，由勾股定理得：
，
解得：x=0（舍）或x=，
∴MH=，AK=DH=，CH=3－DH=，
KE=BG=3MH=，
∴FG=BF+BG=，EG=CH=，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：
EF=,
故答案为：C.
【变式2-2】.如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形AB′C′D′，点 C 的运动路径为弧 CC′，当点 B′落在 CD 上时，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】.
【解析】解：连接AC’，AC，过点B’作B’E⊥AB于E，如图图所示，

由旋转性质，得：AC=AC’， AB’=AB=2，∠CAB=∠C’AB’，
∵BC=B’E=1，
∴∠B’AB=30°，
∴∠C’AC=30°，
∴AE=，B’C=2－，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=,
∴S阴影=S扇形C’AC－S△AB’C’－S△B’CA
=
=.
故答案为：.
【例3】.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，CA=4，D为AC的中点，以D为圆心，以DB的长为半径作圆心角为90°的扇形EDF，则图中阴影部分的面积为 .

【分析】设DE与BC交于M，DF与AB交于N，S阴影=S扇形EDF－S四边形DMBN，根据△DBM≌△DAN，得S四边形DMBN=S△BDA，再利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可.
【解析】解：设DE与BC交于M，DF与AB交于N，
∵AB=BC，∠ABC=90°，D是AC中点，
∴∠A=∠C=∠CBD=∠DBA=45°，AD=BD=2，∠BDA=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDM=∠ADF，
∴△DBM≌△DAN，
即S△DBM=S△DAN，
∴S四边形DMBN=S△BDA，
S阴影=S扇形EDF－S四边形DMBN
=
=
=π－2，
故答案为：π－2.
【变式3-1】.如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与弧AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作弧CE交OB于点E，若OA=6，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为 .

【答案】.
【解析】解：连接OD，交弧CE于F，连接AD，

∵OC=AC=3，CD⊥OA，
∴CD是线段OA的垂直平分线，
∴OD=AD，
∵OD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∵∠AOB=120°，
∴∠DOA=∠BOD=60°，
∴CD=OC=3，
∴S阴影=S扇形BOD－S扇形EOF+S△COD－S扇形COF
=
=3π+.
即答案为：3π+.
【变式3-2】.如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为（ ）

A．a2 B．a2 C．a2 D．a
【答案】B.
【解析】解：如图，过O作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，

∴OE=OF，∠EOF=90°，
∴四边形OEDF是正方形，OF=，
∵扇形的圆心角为直角，
∴△OME≌△ONF，
∴S阴影=S正方形OEDF=，
故答案为：B．

1..如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分（△BDF）的面积等于 .

【答案】.
【解析】解：由题意得：S△BDF=S菱形ABCD+S菱形ECGF－S△BGF－S△EDF－S△ABD
菱形ECGF边CG边上的高为：GF·sin60°=，
菱形ECGF边CE边上的高为：EF·sin60°=，
∴S△BDF=
=，
故答案为：.
2..汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，中间的小正方形 ABCD 的边长为 1，分别以A，C为圆心，1为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为

【答案】.
【解析】解：连接BD，
S阴影=2（S扇形BAD－S△ABD）
=2（）
=，
故答案为：.
3..如图，正方形ABCD 中，AB=1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段CE，线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BF，连接 EF，则图中阴影部分的面积是

【答案】－.
【解析】解：

过F作FM⊥BE于M，则∠FME=∠FMB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=1，∠DCB=45°，
由勾股定理得：BD=，
由旋转性质得：
∠DCE=90°，BF=BD=，∠FBE=90°－45°=45°，
∴BM=FM=1，即C点与M点重合，ME=1，
∴阴影部分的面积：S=S△BCD+S△BFE+S扇形DCE－S扇形DBF
=+1+－
=－，
故答案为：－．
4..如图，已知矩形 ABCD 的两条边 AB=1，AD=，以B为旋转中心，将对角线BD顺时针旋转60°得到线段BE，再以C为圆心将线段CD顺时针旋转90°得到线段CF，连接EF，则图中阴影部分面积为 ．

【答案】.
【解析】解：连接CE，
由CD=AB=1，AD=，得：BD=2，
∴∠ADB=30°，
∴∠DBC=30°，
由旋转知∠DBE=60°，BE=BD=2，
∴∠DBC=∠EBC=30°，
此时D、C、E共线，
∴S阴影=S扇形DCF+S△BCD+S△BEF－S扇形DBE
=
=.
故答案为：.
5..如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（ ）
A． B． C． D．

【答案】B.
【解析】解：过O作OF⊥A’B’于F，

由旋转性质得：OA=OA’=3，OB=OB’=6，
∴F为A’E的中点，
∵E为OB中点，
∴OE=BE=3，
在Rt△A’OB’中，由勾股定理得：A’B’=，
∴OF=，
在Rt△A’OF中，由勾股定理得：A’F=，
∴A’E=
∴B’E=A’B’－A’E=，
故答案为：B.
6..如图，等腰直角三角形ABC，绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，AB′所在的直线经过A′C的中点时，若AB=2，则阴影部分的面积为_________．

【答案】.
【解析】解：延长AB’交A’C于E，

由题意知E为A’C的中点，
∵A’B’=B’C=AB=BC=2，
∴B’E⊥A’C，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=2，
∴CE=A’E=，
∴∠CAE=30°，∠ACE=60°，
∴S阴影=S扇形ACA’－S△ACE－S△A’B’E
=
=.
故答案为：.
7.如图，在扇形OAB中，∠O=60°，OA=4，四边形OECF是扇形OAB中最大的菱形，其中点E，C，F分别在OA，弧AB，OB上，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】8π﹣8.
【解析】解：连接EF、OC交于点H，

则OH=OC=2，∠FOH=∠AOC=30°，
在Rt△FOH中，FH=OH×tan30°=2，
∴菱形FOEC的面积=×4×4=8，
扇形OAB的面积==8π，
则阴影部分的面积为8π﹣8，
故答案为：8π﹣8.
8..如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，半径OA＝2，C为弧AB的中点，D为OA上任意一点（不与点O、A重合），则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】π．
【解析】解：连接OC，BC，

由题意知∠BOC＝∠AOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠OCB＝∠COA＝60°，
∴BC∥OA，
∴S△BOC=S△BCD，
∴S阴影＝S弓形BC+S△BCD
＝S弓形BC+S△BOC
＝S扇形BOC
＝π，
故答案为：π.
9..如图，在正方形ABCD中，AD=3，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，将线段AC绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接EF，则图中阴影部分的面积是___________．

【答案】.
【解析】解：由图知：
S阴影=S扇形ABE+S△BEF－S弓形AF
S弓形AF=S扇形ACF－S△ACF
由题意知，AD=3，AC=CF=3，AB=BC=BF=BE=3，∠EBA=∠ACF=90°，
∴S弓形AF=S扇形ACF－S△ACF
=－=－9，
S阴影=S扇形ABE+S△BEF－S弓形AF
=+－（－9）
=.
10..如图，将半径为1的半圆O，绕着其直径的一端点A顺时针旋转30°，直径的另一端点B的对应点为B'，O的对应点为O'，则图中阴影部分的面积是 ．

【答案】.
【解析】解：连接O′D、B′D，

∵∠B′AB＝30°，
∴∠AO′D＝120°，
∵AB′是直径，
∴∠ADB′＝90°，
由∠B′AB＝30°，得B′D＝AB′＝1，
在Rt△ADB’中，由勾股定理得，AD＝，
∴S阴影＝S扇形BAB’－S△AO’D－S扇形DO’B’+S扇形AO’D－S△AO’D
=
=
故答案为：．
11..如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若弧EF的长为，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】.
【解析】解：连接AC，

∵DC是⊙A的切线，
∴AC⊥CD，
∵AB＝AC＝CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∴∠FAD＝∠B＝45°，
∵弧EF的长为，
∴，
解得：r＝2，
∴S阴影＝S△ACD﹣S扇形ACE
＝
=．
故答案为：．
12..如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧CE交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作弧CD交AB于点D，则阴影部分的面积为 ．

【答案】π﹣2．
【解析】解：S阴影＝S△ABC﹣S空白，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×2×2＝2，
S扇形BCD＝＝π，
S空白＝2×（2﹣π）＝4﹣π，
S阴影＝S△ABC﹣S空白
＝2﹣4+π
＝π﹣2，
故答案为：π﹣2．
13..如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】4﹣π．
【解析】解：连接AD

∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，
∵∠EPF＝45°，
∴∠BAC＝2∠EPF＝90°．
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形AEF
＝×4×2﹣
＝4﹣π．
故答案是：4﹣π．
14..如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C为OB的中点，CD⊥OB交弧AB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．

【答案】．
【解析】解：连接DO，

则OD＝OA＝OB＝2，
∵CD∥OA，∠AOB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵C为OB的中点，
∴CO＝OB＝DO，
∴∠CDO=30°，∠COD＝60°，
则CD＝，
∴S阴影＝S扇形BOD－S△OCD
=
=，
故答案为：．
15..如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙O相交于点F．若弧EF的长为π，则图中阴影部分的面积为　 　．

【答案】8﹣2π．
【解析】解：连结AC，

∵CD是圆A的切线，
∴AC⊥CD，即∠ACD＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAF＝90°，∠FAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠FAE＝∠EAC＝45°，
∵弧EF的长为π，
设圆A的半径为r，
∴，得： r＝4，
∴S阴影＝S△ACD﹣S扇形CAE
=×4×4﹣
＝8﹣2π．
故答案为：8﹣2π．
16..如图，点C为弧AB的三等分点（弧BC<弧AC），∠AOB＝90°，OA＝3，CD⊥OB，则图中阴影部分的面积为　 　．

【答案】．
【解析】解：连接OC，AC，

由题意知：∠COD＝30°，∠AOC＝60°，
∵CD⊥OB，
∴S△OCD＝S△ACD，
∵∠CDO＝90°， OC＝OA＝3，∠COD＝30°，
∴CD＝，OD＝，
S阴影＝S△ACD+S弓形AC
＝S△OCD+S弓形AC
＝××+－×32
=.
故答案为：．
17..如图，长方形纸片ABCD的长AB＝3，宽BC＝2，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧；以点C为圆心，以BC的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积是　 　．

【答案】－6．
【解析】解：由图可知：
S阴影=+－S矩形ABCD
= +－6
=－6，
故答案为：－6．
18..如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为　 　．

【答案】．
【解析】解：过A作AF⊥BC于F，

∵∠ABC＝45°，
∴AF＝BF＝AB＝，
在Rt△AFC中，∠ACB＝30°，AC＝2AF＝2，FC＝，
由旋转的性质可知，S△ABC＝S△EDC，
S阴影＝S扇形DCB+S△EDC﹣S△ABC﹣S扇形ACE
＝S扇形DCB﹣S扇形ACE
＝
=,
故答案为：．
19..如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转 90°得到矩形 A′B′C′D，连接 A′B，则图中阴影部分的面积为 .

【答案】．
【解析】解：连接BD，B’D，

由题意知：∠BDB’=90°，A’C=A’D－CD=1，
由勾股定理得：BD=B’D=5，
∴S阴影=S扇形DBB’－S△BCD－S△A’B’D－S△A’BC
=
=.
故答案为：.
20..如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAC＝30°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转120°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′，点D的对应点为点D′，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】．
【解析】解：连接BD，与AC相交于点O，

则BD＝2BO＝2，AC＝AD＝2，
S扇形＝S扇形CAC′+S△ABC+S△AC′D′﹣S菱形ABCD﹣S扇形DAD′
＝S扇形CAC′﹣S扇形DAD′
＝
=．
故答案为：．
21..如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是__________．

【答案】3－．
【解析】解：∵∠A=30°，AD=2，
∴平行四边形AB边上的高为：AD·sin30°=，
∵AB=4，
∴BE=2，
S阴影=S平行四边形ABCD－S扇形AED－S△BEC
=4－－
=3－
故答案为：3－.
22..如图，PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A、B分别为切点，∠APB＝60°，OP与弦AB交于点C，与⊙O交于点D．阴影部分的面积是 （结果保留π）．

【答案】.
【解析】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，∠POA＝60°，
由AP=BP，OA=OB得：OP垂直平分AB，
∴AC=BC，
∴S△AOC＝S△BOC，
∴S阴影部分＝S扇形OAD＝．
故答案为：．