高中数学-第一章-解三角形-1.1-正弦定理和余弦定理-1.1.1-正弦定理导学案-新人教A版必修5.docx

高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理导学案 新人教A版必修5

高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理导学案 新人教A版必修5

年级：
姓名：

1.1.1　正弦定理(一)
教学目标　
1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
教学过程　
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1.1.1正弦定理（一）》课件“情景引入”部分，让学生与大家分享自己对正弦定理的了解。通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.
二、自主学习
1.＝______________＝______________＝2R(其中R是________________________)；
提示： 　　△ABC外接圆的半径
2．a＝＝＝2RsinA；
3．sinA＝，sinB＝________________，sinC＝____________________.
提示：　
4.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．
提示：元素　解三角形
三、合作探究　
探究点1：　正弦定理的证明
问题1　如图，在Rt△ABC中，、、各自等于什么？

提示：
＝＝＝c.
问题2　在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？
提示：在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本采用边AB上的高CD＝bsinA＝asinB来证明．
例1　在钝角△ABC中，证明正弦定理．
证明　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，

根据正弦函数的定义知：
＝sin∠CAD＝sin(180°－A)
＝sinA，＝sinB.
∴CD＝bsinA＝asinB.
∴＝.
同理，＝.
故＝＝.
名师点评：(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
(2)要证＝，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
探究点2：用正弦定理解三角形
例2　在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形．
解　根据三角形内角和定理，
C＝180°－(A＋B)
＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.
根据正弦定理，
得b＝＝≈80.1(cm)；
根据正弦定理，
得c＝＝≈74.1(cm)．
名师点评：(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，
所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：
①已知三角形的任意两角与一边；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．
探究点3：边角互化
例3　在任意△ABC中，求证：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0.
证明　由正弦定理，
令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，k>0.代入得：
左边＝k(sinAsinB－sinAsinC＋
sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－
sinCsinB)＝0＝右边，
所以等式成立．
例4　在△ABC中，A＝，BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解　设AB＝c，BC＝a，CA＝b.
由正弦定理，
得＝＝＝＝2.
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
a＋b＋c＝3＋2sinB＋2sinC
＝3＋2sinB＋2sin
＝3＋2sinB＋2
＝3＋3sinB＋3cosB
＝3＋6sin，
∴当B＝时，△ABC的周长有最大值9.
名师点评：利用＝＝＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化．
四、当堂检测
1.在△ABC中，一定成立的等式是(　　)
A．asinA＝bsinBB．acosA＝bcosB
C．asinB＝bsinAD．acosB＝bcosA
2．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
3．在△ABC中，已知BC＝，sinC＝2sinA，则AB＝________.
4．在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝________.
提示：1．C　2.B　3.2　4.或
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1.定理的表示形式：＝＝＝2R，
或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)．
2.正弦定理的应用范围：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
六、课例点评
本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。
本节课以实际问题作为驱动，创设了问题情境，明确了学习目标。从特殊到一般，猜想正弦定理，然后证明正弦定理。猜想、证明的流程自然、有序、明了，体现了学习的认知规律，进行了思想方法的渗透，展示了数学内在的逻辑力量。“先猜后证”是数学研究的一般模式，用之于数学教学也是合情合理的。在学生大胆猜测结论的过程中，还对定理的发现机制进行了设计，从形式美的角度大胆猜测，让学生学会欣赏数学结构之美、之称。然后回归引例，首尾呼应，通过两个例题，让学初步体会学有所成，能够及时应用，收获成就感。
课堂教学中，使用多媒体课件辅助于课堂教学，学生手脑并用，两者结合得恰到好处。
从整体上看，本节课以问题作为知识产生之源，在猜想证明中分析问题解决问题，在变式训练中巩固知识。从数学知识掌握的连续性上看，老师很善于做数学的“减法”，用已有的知识解决新的知识。提出问题是一门学科的真正进步。从育人的角度而言，本节课在问题作为引领的前提下，让学生充分参与课堂教学，经历探索、发现、解决问题的过程，从而体会数学的价值，享受数学学习的乐趣。可以看出本节课设计的理念是新的，符合新课程标准的理念倡导，是一节优秀的示范课。