广东省汕头市2020届高三数学第二次模拟考试试题-理.doc
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1、广东省汕头市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理广东省汕头市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理年级:姓名:广东省汕头市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理(含解析)第卷 选择题一、选择题:本题共小题,每小题分,共分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合A,然后求出即可.【详解】由已知可得,则故选:C【点睛】本题考查了集合的运算以及二次不等式的求解,是一道基础题.2.已知,是虚数单位,若,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】整理为的形式,根据复数相等的充要条件
2、求出m、n,代入求模即可.【详解】,.故选:A【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模,属于基础题.3.数列中,首项,且点在直线上,则数列的前项和 等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】点的坐标代入直线方程可得,推出数列为等差数列,求出首项与公差代入等差数列的前n项和公式即可得解.【详解】因为点在直线上,所以,又,所以数列是以2为首项,为公差的等差数列,则,所以数列的前项和.故选:B【点睛】本题考查由递推公式证明数列为等差数列、等差数列的前n项和,属于基础题.4.已知椭圆的离心率为,直线与该椭圆交于、两点,分别过、向轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两
3、个焦点,则等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】联立直线方程与椭圆方程求出x即交点的横坐标,根据题意可得交点的横坐标为,由离心率可得,三式联立即可求出k.【详解】联立,则,由题意知,代入可得.故选:A【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质,属于基础题.5.已知非零向量,若,且,则与的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量垂直可得,结合数量积的定义表达式可求出,又,从而可求出夹角的余弦值,进而可求夹角的大小.【详解】解:因为,所以,因为,所以, .故选:B.【点睛】本题考查了向量的数量积,考查了向量垂直的关系,考查了向量夹角的求解
4、.本题的关键是由垂直求出数量积为0.6.“众志成城,抗击疫情,一方有难,八方支援”,在此次抗击疫情过程中,各省市都派出援鄂医疗队. 假设汕头市选派名主任医生,名护士,组成三个医疗小组分配到湖北甲、乙、丙三地进行医疗支援,每个小组包括名主任医生和名护士,则不同的分配方案有( )A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】C【解析】【分析】先求把6名医生平均分成3组的方法,再求将3组医生与3名护士进行全排列组成医疗小组的方法,最后求把3个医疗小组分到3个地方的方法,最后求积即可.【详解】解:分三步进行:(1)将6名医生分成3组,有种方法,(2)将分好的三组与三名女护士进行全排列,组成三个医疗小组有种方
5、法,(3)将分好的三个医疗小组进行全排列,对应于甲、乙、丙三地有种方法,则不同的分配方案有种方法,故选:C.【点睛】本题考查排列、组合的应用,重点考查分组分配问题,涉及分步计数原理的应用,属于基础题7.已知,则“”是“展开式各项系数和为0”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】令,即可求出展开式各项系数和,进而可以求出此时,然后利用充分条件、必要条件及充要条件的判断知识即可求解【详解】令,即可求出展开式各项系数和,因为该展开式的各项系数之和为0,即有,得,则有“”是“展开式各项系数和为0”的充分性条件成立,但是,当展开
6、式各项系数之和为0时,必要性条件不成立.故选:B【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.8.已知函数,则的大致图象为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果【详解】是偶函数,排除B,D,排除A故选:C【点睛】已知函数解析式判断图象的大体形状时,可根据函数的奇偶性,判断图象的对称性:如奇函数在对称的区间上单调性一致,偶函数在对称的区间上单调性相反,这是判断图象时常用的方法之一9.如图,在正四棱柱中,点为正方形的中心,点为的中点,点为的中点,则( )A. 、四点共面,且
7、.B. 、四点共面,且.C. 、四点不共面,且.D. 、四点不共面,且.【答案】B【解析】【分析】连接,由三角形的中位线定理知,从而可求出、四点共面. 以为原点,为轴建立坐标系,求出,,从而可求出,进而可选出正确答案.【详解】解:如图,连接,则在上且;连接.因为,所以由三角形的中位线定理可知,所以、四点共面.以为原点,为轴如图建立坐标系,则,,所以,故选: B.【点睛】本题考查了点是否共面的判定,考查了空间中线段长度的求解.本题的关键是证明.证明几点共面时,常用的思路是证明线段平行或者相交.10.梅赛德斯奔驰(Mercedes Benz)创立于1900年,是世界上最成功的高档汽车品牌之一,其经
8、典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化. 已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成(如图),点为圆心,若在圆内部任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理及三角形面积公式求出阴影部分面积,再结合几何概型中的面积型求概率即可.【详解】解:由图可知: ,不妨设,在中,由正弦定理可得,则,则阴影部分的面积为,则在圆内部任取一点,则此点取自阴影部分的概率为,故选:D.【点睛】本题考查了正弦定理及三角形面积公式,重点考查了几何概型中的面积型,属中档题.11.已知函数的最小正周期为,若,且,则的最大值为( )A. B. C. D.
9、【答案】C【解析】【分析】利用降幂公式进行化简根据最小正周期可得,根据余弦函数的有界性可得的值域为,将题意可转化为与是方程的根,解出方程根据的范围得出和,进而可得结果.【详解】由已知可得的最小正周期为,即,的值域为,故若,则,与是方程,即的根,所以,解得,的最大值为,故选:C.【点睛】本题主要考查了通过降幂公式化简三角函数式以及三角函数的有界性,将题意转化为关于余弦函数的方程是解题的关键,属于中档题.12.若函数,若有两个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性可知函数有两个零点等价于,解这个关于的不等式即可.【详解】解:由题意得,可得函数的
10、单调性如下:当时,单调递减,当时,单调递增,可知,当时,取得最小值,最小值为.当时,由于,故只有一个零点;当时,由于,即,故没有零点;时,由于,即,又,故在上有一个零点,令,则,当时,在上单调递增,故当时,即.设整数满足,则,故在内有一个零点.综上所述,的取值范围是答案选:A【点睛】本题考查函数零点问题,研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化,已知函数有两个零点求参数的取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数;第二种方法是直接对含参函数进行研究.第卷 非选择题二、填空题:本题共小题,每小题分,共分.13.若满足约束条件则的最大值是_【答案】6【解析】如图,作出不等式组
11、所表示的平面区域,可以理解为过可行域中一点与原点的直线的斜率,点在点处时取得最大值6.点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.14.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作渐近线的一条垂线,若该垂线恰好与以为圆心,为半径的圆相切,则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】设过作渐近线的一条垂线为:,根据该垂线恰好与以为圆心,为半径的圆相切,根据点到直线距离公式可得,由,即可求得答案.【详解】双
12、曲线的左、右焦点分别为,可得:,过作渐近线的一条垂线,不妨设与垂直设过作渐近线的一条垂线为:根据题意画出图象,根据图象可得存在由两条两条直线垂直可得:故又为圆心,为半径的圆根据与相切根据点到直线距离公式可得:整理可得:,即双曲线的离心率为故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围),常见有两种方法,方法一:求出 ,代入公式;方法二:只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程,即可得的值(范围)15.已知数列满足,则的最小值为_.【答案】.【解析】【分析】结合累加法可求出,进而可得,结合基本不等式可求出其最小值.【详解】
13、解:因,则当时, ,将个式子相加得,所以,当时,所以,则,当且仅当,即时等号成立,即的最小值为.故答案为: .【点睛】本题考查了应用累加法求通项公式,考查了等差数列的前项和,考查了基本不等式.本题的关键是求出通项公式.求数列的通项公式时,常用的方法有:累加法、累乘法、构造新数列法、公式法.16.已知三校锥的四个顶点在球的球面上,平面,是边长为的正三角形,、分别是、的中点,且,则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据已知条件,作图建立直角坐标系,利用求出,然后根据垂面模型构建出直角三角形求出外接球的半径,然后即可求解【详解】如图,根据题意,以A为原点,为轴方向,为轴方向,为轴方向,建立空间
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