导数及其应用.板块三.导数应用最值.学生(高中数学选修题库).doc
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板块三.导数的应用 典例分析 题型四:函数的最值 【例1】 函数在闭区间上的最大值和最小值分别是( ) A. B. C. D. 【例2】 已知(是常数)在上有最大值,那么在上的最小值是( ) A. B. C. D. 【例3】 设函数 则的最大值为 . 【例4】 函数的最大值是( ) A. B. C. D. 【例5】 设函数,则( ) A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 【例6】 对于函数,在使恒成立的所有常数中,我们把中的最大值称为函数的“下确界”,则函数的下确界为 . 【例7】 设函数在内有定义.对于给定的正数,定义函数, 取函数,若对任意的,恒有,则( ) A.的最大值为 B.的最小值为 C.的最大值为 D.的最小值为 【例8】 下列说法正确的是( ) A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C.满足的点可能不是函数的极值点 D.函数在区间上一定存在最值 【例9】 函数在区间上的最大值是 ;最小值是 . 【例10】 对于函数,有下列命题: ①过该函数图象上一点的切线的斜率为; ②函数的最小值为; ③该函数图象与轴有个交点; ④函数在上为减函数,在上也为减函数. 其中正确命题的序号是 . 【例11】 已知函数的定义域是,关于函数给出下列命题: ① 对于任意,函数是上的减函数; ② 对于任意,函数存在最小值; ③ 存在,使得对于任意的,都有成立; ④ 存在,使得函数有两个零点. 其中正确命题的序号是_____.(写出所有正确命题的序号). 【例12】 已知在区间上是减函数,那么( ) A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值 【例13】 求在上的最大值和最小值. 【例14】 已知函数. ⑴ 求函数的单调递减区间; ⑵ 当时,求函数的最大值和最小值. 【例15】 已知函数的最大值为,最小值为,求、的值. 【例16】 已知函数,其中.若在区间上的最小值为,求的值. 【例17】 已知,函数,当为何值时,取得最小值? 【例18】 设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为. ⑴求,,的值; ⑵求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值. 【例19】 设,函数. ⑴若是函数的极值点,求的值; ⑵若函数在处取得最大值,求的取值范围. ⑶若函数在时的最大值为,求的值. 【例20】 已知函数, ⑴ 求的单调递减区间; ⑵ 若在区间上的最大值为,求它在该区间上的最小值. 【例21】 已知. ⑴ 当时,讨论的单调性、极值; ⑵ 是否存在实数,使的最小值是,如果存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【例22】 设,函数. ⑴ 当时,求曲线在处的切线方程; ⑵ 当时,求函数的单调性; ⑶ 当,时,求函数的最小值. 【例23】 设是函数的一个极值点. ⑴求与的关系式(用表示),并求的单调区间; ⑵设,.若存在使得成立, 求的取值范围. 【例24】 已知函数,. ⑴求的单调区间和值域; ⑵设,函数,.若对于任意,总存在,使得成立,求的取值范围. 【例25】 已知函数,,且有极值. ⑴求实数的取值范围; ⑵求函数的值域; ⑶函数,证明:,,使得成立. 【例26】 已知函数. ⑴ 当时,讨论的单调性; ⑵ 设.当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围. 【例27】 设函数 ⑴当时,求的单调区间; ⑵若在上的最大值为,求的值. 【例28】 已知函数. ⑴当时,求函数的单调区间; ⑵若函数在上的最小值是求的值. 【例29】 已知是实数,函数. ⑴若,求的值及曲线在点处的切线方程; ⑵求的极值. ⑶求在区间上的最大值. 【例30】 已知函数,. ⑴ 讨论的单调性; ⑵ 设,求在区间上的值域,其中是自然对数的底数. 【例31】 已知为实数,. ⑴求导数; ⑵若,求在上的最大值和最小值; ⑶若在和上都是递增的,求的取值范围. 【例32】 已知函数, ⑴ 若在上是减函数,求的最大值; ⑵ 若的单调递减区间是,求函数图像过点的切线与两坐标轴围成图形的面积. 【例33】 设曲线在点处的切线与轴,轴所围成的三角形的面积为, ⑴求切线的方程;⑵求的最大值. 【例34】 已知函数,, ⑴ 若在区间上的最大值为1,最小值为,求、的值; ⑵ 在⑴的条件下,求经过点且与曲线相切的直线的方程; ⑶ 设函数的导函数为,函数,试判断函数的极值点个数,并求出相应实数的范围. 【例35】 在实数集上定义运算,若,,若. ⑴求的解析式; ⑵若在上是减函数,求实数的取值范围; ⑶若,的曲线上是否存在两点,使得过这两点的切线互相垂直,若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由. 【例36】 已知函数,,且. ⑴若,求的值; ⑵当时,求函数的最大值; ⑶求函数的单调递增区间. 【例37】 已知函数 ⑴若为的极值点,求的值; ⑵若的图象在点处的切线方程为, 求在区间上的最大值; ⑶当时,若在区间上不单调,求的取值范围. 【例38】 已知函数 ⑴若为的极值点,求的值; ⑵若的图象在点处的切线方程为, ①求在区间上的最大值; ②求函数的单调区间. 【例39】 已知函数,其中. ⑴求函数的零点; ⑵讨论在区间上的单调性; ⑶在区间上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由. 【例40】 已知函数,其中. ⑴若函数存在零点,求实数的取值范围; ⑵当时,求函数的单调区间,并确定此时是否存在最小值,如果存在,求出最小值;如果不存在,请说明理由. 【例41】 已知函数,.曲线在点处的切线与轴和轴分别交于、两点,设为坐标原点,求面积的最大值. 【例42】 已知函数. ⑴写出函数的定义域,并求函数的单调区间; ⑵设过曲线上的点的切线与轴、轴所围成的三角形的面积为,求的最小值,并求此时点的坐标. 【例43】 函数,该函数图象在点处的切线为,设切线分别交轴和轴于两点和. ⑴将(为坐标原点)的面积表示为的函数; ⑵若,函数的图象与轴交于点,则与的大小关系如何?证明你的结论; ⑶若在处,取得最小值,求此时的值及的最小值. 【例44】 如图,曲线段是函数的图象,轴于点,曲线段上一点处的切线交轴于点,交线段于点, ⑴若已知,求切线的方程;⑵求的面积的最大值.- 配套讲稿:
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