浅谈数位类统计问题.ppt
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1、浅浅谈数位数位类统计问题山东省青岛第二中学刘聪2024/5/21 周二1引入在信息学竞赛中,有一类与数位有关的区间统计问题。例如:求1,n中所有数的各位数字之和。求1,n中各位数字之和为定值的数的个数。将m,n中的数字分组,每组包含连续的一段数,且数字之和不能超过定值,求分组数。如何求解?n1018!2024/5/21 周二2【例题1】Amount of degrees求给定区间X,Y中满足下列条件的整数个数:这个数恰好等于K个互不相等的B的整数次幂之和。例如,设X=15,Y=20,K=2,B=2,则有且仅有下列三个数满足题意:17=24+20,18=24+21,20=24+22。数据规模:1
2、XY2311,1K20,2B10。2024/5/21 周二3【例题1】Amount of degrees由于所求的幂互不相等,符合条件的数写成B进制一定只由0和1组成。因此我们只考虑B=2的情况。此处区间满足区间减法,即count(X,Y)=count(0,Y)-count(0,X-1)因此我们唯一需要求的就是,给定n,求出所有不超过n的正整数中,其二进制表示恰好含有K个1的有多少。2024/5/21 周二4【例题1】Amount of degrees这里,我使用一棵完全二叉树来代表一个区间内的数。例如右图中高度为4的完全二叉树就可以代表所有长度为4的二进制数。其范围为0,24-1每个叶子就代
3、表了一个数。2024/5/21 周二5【例题1】Amount of degrees假设K=3,n=13,其二进制为1101。我们从根走到n所在的叶子每次“向右走”时,左侧的子树都是完整的完全二叉树,且所有小于n的整数都包含在其中。2024/5/21 周二6【例题1】Amount of degrees因此,我们实际上只需对这三棵子树进行统计。当然,不能忘记n本身。这棵树中有多少数含3个1?这棵树中有多少数含2个1?(因为祖先已有1个1)这棵树中有多少数含1个1?2024/5/21 周二7【例题1】Amount of degrees很容易递推求出这个问题:设fh,s表示在高度为h的完全二叉树包含的
4、数中(范围是0,2h-1),二进制中恰含s个1的数有多少。fh,s=fh-1,s+fh-1,s-1左子树中的个数右子树中的个数2024/5/21 周二8【例题1】Amount of degrees剩下的问题就是,如何将任意进制问题转化为二进制问题。只需贪心将n的B进制表示转化为只含01:找到n的左起第一位大于1的数位,将它以及它右边所有数位赋为1。递推求f的时间复杂度为O(log2(n),每次询问的时间复杂度为O(log(n),因此总时间复杂度为O(log2(n)。问题得到完美解决!2024/5/21 周二9【例题1】Amount of degrees实际上,我们也可以只用“位”的思想来考虑这
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