双曲线知识点归纳与例题分析.doc

双曲线
基本知识点
双曲线
标准方程（焦点在轴）

标准方程（焦点在轴）

定义
第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
P

P

第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。
P

P

P

P

范围
，
，
对称轴
轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标

焦点在实轴上，；焦距：
顶点坐标
（,0） (,0)
(0, ,) (0，)
离心率
1)
准线方程

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点（）到准线（）的距离为
顶点（）到准线（）的距离为
焦点到准线的距离
焦点（）到准线（）的距离为
焦点（）到准线（）的距离为
渐近线
方程

共渐近线的双曲线系方程
（）
（）
直线和双曲线的位置
双曲线与直线的位置关系：
利用转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长
通径：

补充知识点：
等轴双曲线的主要性质有：
（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；
（2）其标准方程为x^2-y^2=C，其中C≠0；
（3）离心率e=√2；
（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；
（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；
（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；
（7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2；
（8）等轴双曲线x^2-y^2=C绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。
例题分析：
例1、动点与点与点满足，则点的轨迹方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为，则离心率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．
例2、已知双曲线的离心率为，则的范围为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
同步练习二:双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为　　　　　．
例3、设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为　　　　　．
同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为　　　　。
例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是
(A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1
(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1
同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
例5、与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
同步练习五:以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为（ ）
例6、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是
(A)
同步练习六:双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是(0，3)，那么k的值是
例7、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB，
（1）求|AB|.
（2）F1是双曲线的左焦点，求△F1AB的周长．

同步练习七过点（0，3）的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程。
高考真题分析
1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）

【答案】C
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，∵=，∴=，解得=2，
∴的实轴长为4，故选C.
2.【2012高考山东文11】已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为
(A) 　(B) 　　(C)　　(D)
【答案】D
考点：圆锥曲线的性质
解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知，此题应注意C2的焦点在y轴上，即（0，p/2）到直线的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。
3.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知，，设，则，故，，利用余弦定理可得。
4.（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
5.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.
【答案】
【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。
【解析】由双曲线的方程可知

【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。
6.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ．
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由得。
∴，即，解得。
课后作业
1．双曲线的实轴长和虑轴长分别是( )
A. ，4 B.4， C.3，4 D. 2，
2．双曲线的焦点到它的渐近线的距离等于( )
A. B. C. D.
3．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
4．双曲线的渐近方程是，焦点在坐标轴一，焦距为10，其方程为( )
A. B. 或 C. D.
5．双曲线的右准线与渐近线在第一象限的交点和右焦点连线的斜率是( )
A. B. C. D.
6．双曲线的两条渐近线所成的角是( )
A. B. C. D.
7．双曲线与其共轭双曲线有( )
A.相同的焦点 B. 相同的准线 C. 相同的渐近线 D. 相等的实轴长
8．已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的 （ ）
A．焦距为10 B．实轴长与虚轴长分别为8与6
C．离心率只能是或 D．离心率不可能是或
9．等轴双曲线的一个焦点是F1（4，0），则它的标准方程是 ，渐近线方程是
10．若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为_____________
11．若双曲线上的一点P到它的右焦点的距离是8，则到它的右准线之间的距离为
12．若双曲线的一条渐近线方程为，左焦点坐标为，则它的两条准线之间的距离为_______________
13．写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点，双曲线的两条准线经过这个椭圆的两个焦点：______________________
（2）双曲线的渐近线方程为，两顶点之间的距离为2:____________________
14．双曲线的其中一条渐近线的斜率为，求此双曲线的离心率___________
15．已知双曲线的右顶点为A，而B、C是双曲线右支上的两点，如果是正三角形，则的取值范围是_____________________
16．设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_____________________
17．已知双曲线上一点M到左焦点F1的距离是它到右焦点距离的5倍，则M点的坐标为_________________
18．已知直线过定点（0，1），与双曲线的左支交于不同的两点A、B，过线段AB的中点M与定点的直线交轴于，求的取值范围.

19．已知双曲线
（1）过右焦点F2作一条渐近线的垂线（垂中为A），交另一渐近线于B点，求证：线段AB被双曲线的左准线平分；
（2）过中心O作直线分别交双曲线于C、D两点，且的面积为20，求直线CD的方程。

20．P为双曲线（）上一点，轴于M，射线MP交渐近线于Q。求证：是定值。

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