线性代数吴赣昌第二章.ppt

第二章 矩阵(Matrix)及其运算 第一节 矩阵的定义 一、矩阵的定义 在实际中，我们常常把 行 列的数据看作成一个整体，例如，某厂向三个商店发送四种产品的数量，可排列成以下的4行3列的数表这种数表就是我们所说的矩阵。定义1：由 个数 排成 的 行 列的数表称为 行 列矩阵矩阵，简称 矩阵，通常记作 ，以 为第 行 列元素的矩阵可简记作 或 ，矩阵 也记为 。元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵成为复矩阵。我们主要是讨论实矩阵。注意：矩阵与行列式的区别。定义2：两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵，如果 与 是同型矩阵，并且它们的对应 元素相等，即 则称矩阵 与矩阵 相等，记作 。称元素都是零的矩阵为零矩阵，记作 。二、特殊矩阵行数与列数都等于 的矩阵 称为 阶矩阵或 阶方阵。1、阶方阵2、行矩阵和列矩阵 称只有一行的矩阵 为行矩阵（又称行向量），称只有一列的矩阵 为列矩阵（又称列向量）。3、单位矩阵 称 阶方阵 为 阶单位矩阵，简记为 。4、对角矩阵 称 阶方阵 为对角矩阵，记作 。第二节 矩阵的运算一、矩阵的加、减法 1、定义定义1：设有两个 矩阵 和 ，规定 和 的和为 记作 。注意：只有两个矩阵是同型矩阵，才能进行加法运算。定义2：设矩阵 ，称矩阵 为 的负 矩阵，记作 。定义3：注意：2、运算法则（1）；（2）；二、数乘运算 1、定义 定义4：数 与矩阵 的乘积规定为记作 或 。2、运算法则（1）（2）（3）矩阵相加与矩阵数乘运算，统称为矩阵的线性运算。三、矩阵与矩阵相乘1、定义定义5：设 是一个 矩阵，是一个 矩阵，那么规定矩阵 与 矩阵的乘积是一个 矩阵 ，其中 记作 。注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第 二个矩阵（右矩阵）的行数时，才能进行矩 阵相乘。例1：求矩阵 ，的乘 积 。例2：已知 ，求 和 。注意：（1）由这个例子可知，矩阵的乘法不满足 交换律，即在一般情形下，要 使 成立，必须满足一定的条件。（2）由这个例子还可知，但却有 ，所以由所以由 ，不能得，不能得 出出 或或 的结论。若的结论。若 ，而，而 ，不能得出，不能得出 的结论的结论。例3：某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵 这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵 求 ，并指出 的含义。2、线性方程组的矩阵表示令对线性方程组利用矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵形式 称 为方程组的系数矩阵。3、线性变换的概念称为变量 到变量 的线性变换。则线性变换可表示为 变量 与变量 之间的关系式:4、运算法则（1）（2）（3）（4）5、方阵的幂运算设 是 阶方阵，定义：由矩阵乘法的结合律知：，（为正整数）注意：例4：设 ，求 。注意：由 ，不能得出 （例如 ）若 ,则四、矩阵的转置 1、定义 定义6：把矩阵 的行换成其对应的列所得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 。例如：，。2、运算法则（1）（2）（3）（4）例3：已知 ，求 ，。设 为 阶方阵，如果满足 ，那么称 为对称矩阵对称矩阵。五、方阵的行列式1、定义定义7：由 阶方阵 的元素所构成的行列 式（不改变各元素的位置），称为 方阵 的行列式，记作 或 。注意：方阵与行列式是两个不同的概念，阶方 阵是 个数按一定方式排成的数表，而 阶行列式则是这些数按一定的运算法 则所确定的一个数。2、运算规则（1）（2）（3）注意：（1）（2）一般来说，但总有 （只要 存在）六、共轭矩阵 1、定义定义7：当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，则称矩阵 为 的共轭矩阵，记作 。2、运算法则（1）（2）（3）第三节 逆矩阵一、定义定义1：对于 阶矩阵 ，如果存在一个 阶 矩阵 ，使得 则称矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵，记作 。注意：（1）如果矩阵 是可逆的，那么 的 逆矩阵一定是唯一的。（2）如果 是 的逆矩阵，则 是 的逆矩阵。定理1：若矩阵 可逆，则 。定义2：设 是 阶矩阵，把行列式 的各 个元素的代数余子式 所构成的 阶 矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵，记作 。例如 ，求 。定理2：若 ，实际上，这个结论对于 的矩阵也成立。定理3：若 ，则矩阵 可逆，且 ，其中 为矩阵 的伴随矩阵。这个定理告诉了我们一种求逆矩阵的方法。例如在上例中 的逆矩阵为 定义3：当 时，称 为奇异矩阵，否则 称 为非奇异矩阵。由定理1，3可知，是可逆矩阵的充分必要条 件是 为非奇异矩阵（即 ）。二、运算规律（1）若 可逆，则 也可逆，且 ；（2）若 可逆，数 ，则 可逆，且 ；（3）若 为同阶矩阵且都可逆，则 可逆，且 当 时，定义 ，（其中 为正整数）；则 ，（这里的 为整数，不再要求是正整数）。例1：已知 ,求 和 。例2：设 ，求矩阵 使满足 。例3：设 ，求 。注意：这里 例4:设 为三阶行列式，是 的伴随 矩阵，（1）化简 ；（2）求 。例5、设矩阵 满足 ，证明 及 都可逆。例6、设矩阵 ，矩阵 满足 其中 为 的伴随矩阵，是单位矩阵，求 。第四节 矩阵分块法一、分块矩阵的定义对行数和列数较高的矩阵进行运算时，我们可以采用分块的方法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。将矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。例如 将 矩阵 ，分成子块的分法有很多，如 第一种分法所得到的分块矩阵为 ，其中 二、分块矩阵的运算1、分块矩阵的加法设矩阵 与 的行数和列数相同，采用相同的分块法，它们的分块矩阵分别为 ，则 。2、分块矩阵的数乘设 ，为数，则 3、分块矩阵的转置 设 是一个分块矩阵，则 设 ，是两个分块矩 阵，其中 的列数分别等于 的行数，则 4、分块矩阵的乘法 ，其中 （）例1 ，求 。注意：用分块矩阵做乘法运算，分块时一定要保证 的列数分别等于 的行数。5、分块对角矩阵的行列式和逆矩阵 设 为 阶矩阵，若 的分块矩阵只有在主对角线上的子块非零，其它子块都为零子块，且主对角线上的非零子块都是方阵，即 其中 都是方阵，则称为分块对角矩阵。（1）若 为分块对角矩阵，则 ；（2）若 为分块对角矩阵，且 （），则 可逆，且（3）若 为分块对角矩阵，则 例2：，求 和 。例3：设 均为可逆方阵，求分块矩阵 的逆阵。第五节 矩阵的初等变换一、初等变换的定义举例：求解线性方程组 所以 在解方程组的过程中，我们一般是采用以下三种变换：（1）将某一个方程的两边同时乘（除）以一个非 零常数；（2）交换两个方程的次序；（3）将某一个方程的两边同乘（除）一个数后，与另一个方程相加。定义1:下面三种变换称为矩阵的初等行变换:（1）对调两行(对调 两行,记作 );（2）以数 乘某一行中的所有元素(第 行乘 ,记作 );（3）以数 乘某一行中的所有元素加到另 一行对应的元素上去(第 行乘 加到 第 行上,记作 );我们把初等行变换和初等列变换统称为初等变换。类似地,可以定义初等列变换,并分别记作 ,;二、等价的定义 定义2：如果矩阵 经有限次的初等变换变 成矩阵 ，就称矩阵 与矩阵 等 价，记作 或 。矩阵之间的等价关系具有以下性质：（1）（反身性）；（2）若 ，则 （对称性）；（3）若 ，则 （传递性）。所以对应的方程组为 矩阵 ，的特点是：可划一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行。将这类矩阵称为行阶梯形矩阵。另外，矩阵 还有以下的特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其它元素都为0。称这类矩阵为行最简形矩阵。任何矩阵 总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。对行最简形矩阵再进行初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵。例如 任何矩阵 ，总可以经过初等变换把它化为 矩阵 ，称矩阵 为矩阵 的标准形。所有与矩阵 等价的矩阵组成一个集合，称为一个等价类。在一个等价类中，标准型 是形状最简单的矩阵。三、初等矩阵的定义定义1：由单位矩阵 经过一次初等变换所得 到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵。1、对调两行或两列 例如 一般情况下，对调第 行（列）和第 行（列）所得到的初等矩阵记作为 。2、将某一行（列）乘一个数例如 将第 行（列）乘一个数 所得到的初等矩阵记作为 。3、将某一行（列）乘一个数加到另一行（列）中去例如 将第 行（列）乘一个数 加到第 行（列）中去，所得到的初等矩阵记作为 。四、初等变换的性质设 ，则 定理1：设 是一个 矩阵，对 施行一次 初等行变换就相当于在 的左边乘以相 应的 阶初等矩阵；对 施行一次初 等列变换就相当于在 的右边乘以相应 的 阶初等矩阵。注意：初等矩阵都是可逆矩阵 并且 所以初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。例1：设 是 阶可逆方阵，将 的第 行和 第 行对换后得到的矩阵记为 ;（1）证明:可逆；（2）求 。定理2：设 为可逆矩阵，则存在有限个初 等矩阵 ，使得 推论1：矩阵 的充分必要条件是：存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩 阵 ，使得 。接下来，介绍另一种求逆矩阵的方法。设 ，则 ，因此 即对 矩阵 施行初等行变换，当把 变成单位矩阵 时，原来的 就变成 ，这是另一种求逆矩阵的方法。例2：设 ，求 。解：所以 注意：这里是利用初等行变换，也可对 采用初等列变换求得 的逆矩阵。若已知 和 ，可以用类似的方法求出 和 。因为 ，所以 因为 ，所以 。例3：已知 ，求矩阵 ，使得 。解：所以 第六节 矩阵的秩一、矩阵秩的定义定义1：在 的矩阵 中，任取 行 列 ，位于这些行列交叉处 的 个元素，不改变它们在 中的次 序，而得到的 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式。注意：（1）的矩阵 一共有 个 阶子式；（2）要注意它与余子式的区别。定义2：如果在矩阵 中至少有一个不等于0的 阶子式 ，且所有 阶子式（如 果存在的话）全为0，则称 为矩阵 的最高阶非零子式，称数 为矩阵 的秩，记作 ，并规定 。注：（1）若 的所有 阶子式全为零，则 的所有高于 阶的子式也全为 零，因此 就是 中不等于0的 子式的最高阶数。（2）。（3）矩阵 的最高阶非零子式不一定是唯一的。（4）若矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 ；（5）若 中所有 阶子式全为0，则 则 ；（6）若 为 矩阵，则 。例1：设 ，利用定义求 。直接利用矩阵秩的定义来求矩阵的秩，一般都很困难，下面的定理告诉我们一种很好的求矩阵秩的方法。二、矩阵秩的求法定理1：若 ，则 。根据这个定理，为求一个矩阵的秩，只要把矩 阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩。例1：设 ，求 和矩阵 的一个最高阶非零子式。解：由于 的子式 ，所以是 的一个最高非零子式。所以 对于 阶可逆矩阵 ，因为 ，所以 ，因此 的标准形为单位矩阵，即 ，通常我们将这种矩阵称为满秩矩阵。例2：设 为 阶非奇异矩阵，为 矩阵，试证：（1）；（3）；（2）；（4）若 ，则 。三、矩阵的秩有以下性质：例3：设 为 阶矩阵，试证：