双曲线专题复习讲义及练习.doc

(完整版)双曲线专题复习讲义及练习双曲线专题复习讲义知识梳理1. 双曲线的定义（1）第一定义：当时， 的轨迹为双曲线; 当时， 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为以为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点与定直线（定点不在定直线上)的距离之比是常数（)的点的轨迹为双曲线2。 双曲线的标准方程与几何性质标准方程性质焦点， 焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线渐近线与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：与双曲线共轭的双曲线为等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.； 重难点突破1。注意定义中“陷阱问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支 ，的轨迹是双曲线的右支.其方程为2。注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为 点拨:当焦点在x轴上时,；当焦点在y轴上时，,热点考点题型探析考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置。(假定当时声音传播的速度为340m/ s ：相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解析如图，以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020,0），C（0，1020)设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得PA|=PC|，故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声,故PB PA|=3404=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,ABCPOxy依题意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得,|PB|PA|，答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”【新题导练】1。设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：PF2=3：2，则PF1F2的面积为（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故选B.2。如图2所示,为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ )A9 B16 C18 D27 解析 ，选C3。 P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A）（B）（C）(D）解析设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知， 题型2 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点,且过点（3，2）。求双曲线C的方程【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组解析 解法一：设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点(3，2），=1。又a2+b2=（2）2，a2=12,b2=8。故所求双曲线的方程为=1。解法二:设双曲线方程为1，将点（3，2)代入得k=4，所以双曲线方程为1.【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用。【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为 ； 解析设双曲线方程为，当时，化为，当时,化为，综上，双曲线方程为或5.以抛物线的焦点为右焦点，且两条渐近线是的双曲线方程为_.解析 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，双曲线方程为6.已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A BC（x 0） D解析，点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支，选B考点2 双曲线的几何性质题型1 求离心率或离心率的范围例3 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为 【解题思路】这是一个存在性问题,可转化为最值问题来解决解析(方法1）由定义知，又已知，解得，在中,由余弦定理，得,要求的最大值，即求的最小值，当时，解得即的最大值为(方法2) ，双曲线上存在一点P使，等价于 （方法3)设，由焦半径公式得，,，的最大值为【名师指引】（1)解法1用余弦定理转化,解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；（2)点P在变化过程中，的范围变化值得探究;（3）运用不等式知识转化为的齐次式是关键【新题导练】7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 解析当时，,，当时，或8. 已知双曲线的右顶点为E,双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若AEB=60，则该双曲线的离心率e是( ）A B2 C或2 D不存在解析设双曲线的左准线与x轴交于点D，则，题型2 与渐近线有关的问题例4若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A。 B。 C。 D.【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，所以【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程【新题导练】9。 双曲线的渐近线方程是 ( ）A. B。 C. D. 解析选C10.焦点为(0,6),且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ )A B C D解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选B基础巩固训练1。 以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 （A) （B） （C） （D）解析椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A 2.已知双曲线的两个焦点为、,是此双曲线上的一点，且满足，,则该双曲线的方程是（）A B C D 解析由 和得,选A3。两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为（ ） A B C D解析 ,选D4。设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ C )A B1C2D不确定解析 C. 设，,5。已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ）(A）. (B). (C)。 (D）.解析 ,选B6.曲线与曲线的（ ）A焦距相等 B焦点相同 C离心率相等 D以上都不对解析 方程的曲线为焦点在x轴的椭圆，方程的曲线为焦点在y轴的双曲线，故选A综合提高训练7. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程 解析（1)依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，(2）设渐近线与直线交于A、B,则，解得即，又，双曲线的方程为8。已知是双曲线的左，右焦点,点是双曲线右支上的一个动点,且的最小值为,双曲线的一条渐近线方程为. 求双曲线的方程;解析，.的一条渐进线方程为 ，又 由得9.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（)求双曲线C的方程()若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且(其中为原点），求k的取值范围解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得故双曲线的方程为。（2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且. 设，则，由得,而。于是，即解此不等式得 由+得故的取值范围为参考例题:已知双曲线C：的两个焦点为，点P是双曲线C上的一点，且(1)求双曲线的离心率；（2）过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于两点，若,，求双曲线C的方程（1）设，则，（2）由（1）知，故，从而双曲线的渐近线方程为，依题意,可设，由,得 由，得,解得点在双曲线上，又，上式化简得 由，得，从而得故双曲线C的方程为双曲线专题练习一一、填空题 1椭圆与双曲线的焦点相同，则k= .2双曲线的渐近线为 两渐近线夹角为 。 3已知为椭圆的两个焦点,为它的短轴的一个端点，若该椭圆的长轴长为，则面积的最大值为 4过点（-6,3)且和双曲线x22y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为 。 5过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是 6、若双曲线的一个焦点是(0，3），则k的值是 。7. 已知直线y=kx1与双曲线，试列出实数k需满足的不等式组，使直线与双曲线交同支于两点， 。8点P是双曲线上一点，F1、F2是双曲线焦点，若F1PF2=120o，则DF1PF2的面积 。9过点（，）的直线L与椭圆x22y22交于、两点,线段的中点为，设直线l的斜率为k1（k10）,直线的斜率为k2，则k1k2的值为_。10若对任意kR，直线与双曲线总有公共点，则b范围 。11若方程x+k=0只有一个解，则实数k的取值范围是_. 12给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上。若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由 |PF1|PF2|=8，即|9|PF2=8，得PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. 。二、选择题13。平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA+PB|是定值，命题乙是“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”,那么甲是乙的 ( ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件14。 经过双曲线的右焦点作直线交双曲线与、两点，若|AB|=4,则这样的直线存在的条数为 （ ）（A)；(B）3;（C）2；(D）15双曲线与其共轭双曲线有 （ ）A相同的焦点 B。 相同的渐近线 C.相等的实轴长 D。 相等的虚轴长16过点P（3，4）与双曲线只有一个交点的直线的条数为 （ ）A4 B。 3 C。2 D。 1三、解答题17已知动圆与圆C1：(x+5)2+y2=49和圆C2：(x5）2+y2=1都外切, （1）求动圆圆心P的轨迹方程。 (2）若动圆P与圆C2内切,与圆C1外切,则动圆圆心P的轨迹是 。 若动圆P与圆C1内切,与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是 。 若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹是 。（只需写出图形形状）18已知直线与双曲线交于、点。（1）求的取值范围；(2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。解：19（1)椭圆C:(ab0）上的点A(1，）到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程； （2）设K是(1)中椭圆上的动点， F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。20. 已知双曲线方程为,(1）求过点P（1，2）的直线的斜率的取值范围,使直线与双曲线有一个交点，两个交点,没有交点。 (2） 过点P(1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点,求直线AB的方程；（3）是否存在直线，使Q(1，1）为被双曲线所截弦的中点？若存在,求出直线的方程；若不存在，请说明理由.一、填空题 1 k= 2 。2 。 32 4 5.6、1 。7。 。8. 9 。 10 11 1，1)12 |PF2|=17。二、选择题13。 （ B )14 （ B ）15（ B ）16C三、解答题XOY5-5217已知动圆与圆C1:(x+5)2+y2=49和圆C2：(x5）2+y2=1都外切， （1）求动圆圆心P的轨迹方程。 解：（1）从已知条件可以确定圆C1、C2的圆心与半径。 两圆外切可得：两圆半径和圆心距 动圆半径r,依题意有 7r|PC1，1r|PC2|，两式相减得:|PC1PC2|6 C1C2|。 由双曲线定义得：点P的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支。(x3) （2）若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是 （双曲线右支） 若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是 （双曲线左支） 若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹是 。（两定圆连心线的垂直平分线）18已知直线与双曲线交于、点。（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称?若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。解：（1)由消去，得（1）依题意即且（2)(2)设，则 以AB为直径的圆过原点 但 由（3）（4），, 解得且满足（2）（3）假设存在实数，使A、B关于对称,则直线与垂直 ，即 直线的方程为将代入（3)得 AB中点的横坐标为2 纵坐标为 但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称.19(1)椭圆C:（ab0)上的点A（1，）到两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程; (2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。解:（1) (2）设中点为（x,y）, F1（1,0) K(-2-x,-y)在上 （3)设M（x1,y1)， N（x1，-y1), P(xo，yo), xox1 则 为定值。20。 已知双曲线方程为与点P（1，2),（1)求过点P(1，2)的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线有一个交点,两个交点，没有交点。 (2） 过点P(1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，求直线AB的方程；（3）是否存在直线，使Q（1，1)为被双曲线所截弦的中点？若存在,求出直线的方程；若不存在，请说明理由.解：（1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1），代入C的方程,并整理得(2k2）x2+2(k22k)xk2+4k6=0 ()(）当2k2=0，即k=时，方程(）有一个根，l与C有一个交点（)当2k20,即k时=2(k22k)24（2k2)（k2+4k6)=16(32k)当=0，即32k=0,k=时，方程(）有一个实根,l与C有一个交点.当0,即k,又k,故当k或k或k时，方程（*）有两不等实根，l与C有两个交点.当0，即k时，方程（)无解,l与C无交点。综上知：当k=,或k=,或k不存在时，l与C只有一个交点；当k，或k,或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C没有交点.（2)假设以P为中点的弦为AB，且A（x1,y1）,B(x2，y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得:2（x1x2)（x1+x2)=(y1y2)（y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2)=y1y1 即kAB=1但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：。（3）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2），则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得:2(x1x2）（x1+x2）=(y1y2)（y1+y2）又x1+x2=2，y1+y2=2 2（x1x2)=y1y1 即kAB=2但渐近线斜率为，结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在。21已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,离心率e=的双曲线过点P（6，6) （1)求双曲线方程 (2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 解 （1）如图,设双曲线方程为=1 由已知得,解得a2=9，b2=12 所以所求双曲线方程为=1 （2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、（3，0）、(3，0),其重心G的坐标为(2,2）假设存在直线l，使G（2,2）平分线段MN，设M（x1，y1)，N(x2,y2） 则有，kl=l的方程为y= (x2)+2，由,消去y，整理得x24x+28=0 =164280，所求直线l不存在 22 已知双曲线,问过点A（1,1）能否作直线，使与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线存在，并设、 则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将（4）、（5)代入(3）得 若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在. 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由（4)、（5）两式可推出（6）式，但由(6)式不能推出(4）(5）两式,故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的. 应在上述解题的基础上，再由 得 根据,说明所求直线不存在。双曲线专题练习二1。 过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是（ ）A. B. C. D. 2. 已知定点A、B，且|AB|=4，动点P满足|PA|PB|=3，则PA的最小值是( )A. B。 C. D。 53. 设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为( ）A. B. C. D。 4. 设A为双曲线右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连结AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点（ ）A。 B。 C。 （4，0)D. 5. 把曲线C1:按向量平移后得曲线，曲线有一条准线方程为,则的值为（ ）A。 B。 C。 3D. 6. 在中，若，则方程表示( ）A. 焦点在x轴上的椭圆B。 焦点在y轴上的椭圆C。 焦点在x轴上的双曲线D. 焦点在y轴上的双曲线7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点和,若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）A. B。 C. D。 8. 设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）A. 1B。 C。 2D. 不确定二. 解答题9。 已知双曲线M过点，且它的渐近线方程是.(1)求双曲线M的方程;（2)设椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，且N中斜率为的弦的中点轨迹恰好是M的一条渐近线在N内的部分，试求椭圆N的方程。10. 已知双曲线C的中心在原点,抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线C过点。（1）求双曲线C的方程；(2）设双曲线C的实轴左顶点为A，右焦点为F，在第一象限内任取双曲线C上一点P,试问是否存在常数，使得恒成立？并证明你的结论。11。 双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为,相应于焦点的准线与轴相交于点A,且，过点F的直线与双曲线交于P、Q两点。（1）求双曲线的方程及离心率；（2）若,求直线PQ的方程。【试题答案】一.1。 A解析：设与有公共渐近线的双曲线方程为，把点代入可求得。2。 C解析：P点轨迹是以A（左）、B(右）为焦点的双曲线的右支(如图）P与双曲线右支顶点M重合时最小,最小值为。3. C解析：椭圆的长轴两端点和焦点分别为（5,0），（4，0）,设双曲线的方程为，则有， ，故其渐近线为4. A解析:（特殊值法）取，则 直线AC与x轴相交于点,故选A5. C解析：无论曲线为椭圆还是双曲线都可得到,且由题意可知曲线中心由(0,0）（1，2)后,曲线的一条准线为，可判定为的右准线故，即，故6。 C解析:即，表示焦点在x轴上的双曲线，故选C.7。 D解析：由题意得由（2)(3）可得，代入（1）得椭圆的离心率，故选D。8. C解析：设设椭圆的长轴为，双曲线的实轴长为，则由此可得即将，代入,选C二. 9。 解析：（1）所求双曲线的方程为（2）由(1)知双曲线的焦点在x轴上 椭圆的焦点在y轴上由于双曲线M的实轴长为 设椭圆方程为（其中又设N中斜率为的弦的两端点为，其中点为则由（1）(2)得 N中斜率为的弦的中点的轨迹是直线在N内的部分。根据题意得 椭圆N的方程为10. 解析：（1)由题意设双曲线方程为,把代入得 又抛物线的焦点是（2，0）故 由得所以所求双曲线方程为（2)假设存在适合题意的常数，此时先来考虑特殊情形下的值；当轴时,将代入双曲线方程解得因为，所以是等腰直角三角形，此时以下证明当PF与x轴不垂直时,恒成立设，由于点P在第一象限内,所以直线PA的斜率存在，为因为PF与x轴不垂直，所以直线PF的斜率也存在，为所以因为所以将其代入上式并化简得因为，所以即因为，所以所以恒成立综合以上两种思路，得存在常数，使得双曲线C在第一象限内的任意一点P,使恒成立。11. 解:（1)由题意，设双曲线的方程为由已知 解得所以双曲线的方程为离心率（2）由（1）知A(1，0），F（3，0）当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为此时,应舍去当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为由方程组得由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则,即由于，即 且（*）设，则由直线PQ的方程得,于是 3 即 4由1234得整理得 满足（） 直线PQ的方程为或