集合知识点总结及习题.doc

集合

一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3．元素与集合的关系——（不）属于关系
（1）集合用大写的拉丁字母A、B、C…表示
元素用小写的拉丁字母a、b、c…表示
（2）若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A;
若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作aA;
4.集合的表示方法：列举法与描述法。
（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法
格式：{ a,b,c,d }
适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示
（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
格式：{x |x满足的条件}
例如：{xÎR| x-3>2} 或{x| x-3>2}
适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示
u 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N={0,1,2,3，…}
正整数集 N*或 N+ = {1,2,3，…}
整数集Z {…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…}
有理数集Q
实数集R
有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示
例如：语言描述法： {不是直角三角形的三角形}
Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合　　例：{x∈R|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
定义：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，
记为（或BA）
注意：①有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
②符号∈与的区别
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2．“相等”关系：A=B
定义：如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
3.真子集:如果AÍB,且存在元素x∈B,但xA,那么就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
4.性质
① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC
③ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B
5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交 集
并 集
补 集
定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
S
A
记作，即
CSA=
韦
恩
图
示

S
A

性

质
AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
AÍB﹤＝﹥AB=A
AA=A
AΦ=A
AB=BA
ABＡ
ABB
AÍB﹤＝﹥AB=B
(CuA) (CuB) = Cu (AB)
(CuA) (CuB) = Cu(AB)
A (CuA)=U A (CuA)= Φ．

第一章：集合与函数的概念
第一课时：集合
1.1集合的含义与表示
1.1.1集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素a属于集合A，记做a∈A，反之，元素a不属于集合A，记做aA。
1.1.2集合中的元素的特征：
①确定性：如世界上最高的山；
②互异性：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}；
③无序性：如集合{a、b、c}和集合{b、a、c}是同一个集合。
1.1.3集合的表示方法：①列举法；②描述法；③Venn图；④用数轴表示集合。
常用数集及记法有
非负整数集（即自然数集）
正整数集
整数集
有理数集
实数集
N
N+或N*
Z
Q
R
1.1.4集合的分类：
①根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。
②根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。
本节精讲：
一. 如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。
例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。
（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；
（2）方程x2=4的实数根；
（3）平面内所有的直角三角形；
（4）正方形的全体；
（5）∏的近似值的全体；
（6）平面集合中所有的难证明的题；
（7）著名的数学家；
（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。
解：
练习：
考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：
（1） 平面直角坐标系内x轴上方的一些点；
（2） 平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；
（3） 一元二次方程x2+bx-1=0的根；
（4） 平面内两边之和小于第三边的三角形
（5） x2,x2+1,x2+2；
（6） y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0)；
（7） 2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；
（8） 新华书店中意思的小说全体。

二．有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。
例：集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)| y=x2+1},(A、B中x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（ ）
A、2∈A，且2∈B B、（1,2）∈A，且（1,2）∈B
C、2∈A，且（3,10）∈B D、（3,10）∈A，且2∈B
解：C
练习：
3.1415 Q； ∏ Q； 0 R+； 1 {（x,y）|y=2x-3}； -8 Z；

三．有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是①确定性②互异性③无序性
例：集合A是由元素n2-n，n-1和1组成的，其中n∈Z，求n的取值范围。
解：n是不等于1且不等于2的整数。
练习:
1. 已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},a≠0,且M与N中的元素完全相同，求d和q的值。
2. 已知集合A={x，,1},B={x2,x+y,0}，若A=B，则x2009+y2010的值为 ，A=B= .
3. (1)若-3∈{a-3,2a-1,a2-4}求实数a的值； (2)若 ∈{m},求实数m的值。
4.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b2}，且M=N,求a,b的值。
5.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}，(1)若A中只有一个元素，求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围。

四．集合的表示法：三种表示方法
练习；
1. 用列举法表示下列集合。
（1） 方程 x2+y2=2d的解集为 ；
x-y=0
（2）集合A={y|y=x2-1,|x|≤2,x∈Z}用列举法表示为 ；
（3）集合B={∈Z|x∈N}用列举法表示为 ；
（4）集合C={x|=+，a，b是非零实数}用列举法表示为 ；
2.用描述法表示下列集合。
（1）大于2的整数a的集合；
（2）使函数y=有意义的实数x的集合；
（3）{1、22、32、42、…}
3.用Venn图法表示下列集合及他们之间的关系：
（1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；
（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ，用Venn图表示为： 。

五．有关集合的分类：

六．集合概念的综合问题：
练习
1. 若，则t的值为 _____________；
2. 设集合A={y|y=x2+ax+1，x∈R},B={(x,y)|y= x2+ax+1, x∈R },试求当参数a=2时的集合A和B；
3. 已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},求（1）若集合A为空集，则a的取值范围；（2）若集合A中只有一个元素，求a的值，并写出集合A；（3）若集合A中至少有一个元素，则a的取值范围。

1.1课后作业：
1.判断下列各组对象能否组成集合：
（1）不等式的整数解的全体；
（2）我班中身高较高的同学；
（3）直线上所有的点；
（4）不大于10且不小于1的奇数。
2.用符号或填空：
（1）2______ （2）______ （3）0______
（4）______ （5）0______（6）
（7）（8）
（9）
3.写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：
（1）既是素数又是偶数的整数组成的集合
（2）大于10而小于20的合数组成的集合
4.用适当的方法表示：
（1）(x＋1)2＝0的解集；
（2）方程组的解集；
（3）方程3x－2y＋1＝0的解集；
（4）不等式2x－1≥0的解集；
（5）奇数集；
（6）被5除余1的自然数组成的集合。
5.集合{1，a2}中a的取值范围。
1.2集合间的基本关系
1.2.1子集：一般地，两个集合A和B，如果
集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，
我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记做AB（或BA）,读作“A包含于B”（或“B包含A”） 。如右图示。比如说，集合A={1、2、3}，集合B={1、2、3、4、5}，那么，集合A中的元素1、2、3都属于集合B，所以，集合A为集合B的子集，记做AB（或BA）。
1.2.2集合相等：如果集合AB且BA时，集合A中的元素与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记做A=B。或AB。
1.2.3真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集。记作：AB（或BA） 也可记作：（或）
1.2.4空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做，并规定：空集是任何非空集合的子集（当然是真子集）
本节精讲：
一． 集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手：
① 若集合AB且BA时，则A=B；反之，如果A=B，则集合AB且BA。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲要证明A=B，只需要证明AB和BA都成立就行了。
② 两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。
③ 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。
例：若集合，，且满足，求实数的取值范围.
解：
练习：
1.已知，且，求实数p、q所满足的条件.
2. 若，则（ ）.
A. B.
C. D.
3. 已知集合P＝｛x|x2＋x－6＝0｝与集合Q＝｛x|ax＋1＝0｝，满足QP，求a的取值组成的集合A。
二． 有关子集以及子集个数的问题：
例1：判定以下关系是否正确
(2){1，2，3}＝{3，2，1}
(4)0∈{0} （5）={0} （6）∈{0}
解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．
例2：列举集合{1，2，3}的所有子集．
分析：子集中分别含1，2，3三个元素中的0、1、2或者3个．
解：含有0个元素的子集有：
含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；
含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；
含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．
例3：已知{a、b}A{a、b、c、d},则满足条件集合A的个数为________．
分析：A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}子集，所以满足条件的A有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a、b、c、d}。
解：共3个．
例4：设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是 。

解：A
例5：已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．
分析:逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7．
答:C＝{4}或{7}或{4，7}．
练习：

A．1个 B.2个 C.3个 D.4个

是
A．8个 B.7个 C.6个 D.5个
4．设I={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3，5}，B={0},则:
①0________A ②{0}________B ③CIA________CIB

5．已知A={x|x=(2n＋1)π， n∈Z}，B={y|y=(4k±1)π，k∈Z}，那么A与B的关系为 ．
6.已知集合A={1,3，a},B={1,a2-a+1},且AB，求a的值。
7．已知集合A={x∈R|x2＋3x＋3=0}，B={y∈B|y2－5y＋6=0}，

8．已知集合A={x|x=a2＋1，a∈N}，B={x|x=b2－4b＋5，b∈N}，求证：A=B。

课后作业：
A组
1.写出集合{1，2，3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
2.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则。其中正确的有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
3.设，则A，B的关系是_____________
4.已知，，，求实数的取值范围。
5.已知集合,集合，若，则实数的值。
6.设集合，，若A是B的真子集，求实数的取值范围。
7.用适当的符号填空：
① ② ③ ______
④ ⑤ ⑥
8.判断下列两个集合之间的关系：
①,是8的约数 _________________
②， __________________
③,是4与10的公倍数 __________________
9.设集合，，若，求实数的值。
10.下列选项中的M与P表示同一集合的是（ ）
A、，
B、，
C、，
D、，
11.试写出满足条件Æ的所有集合M
12.写出满足条件的所有集合M
13.已知，求
14.已知集合,，若A=B，求的值。
15.已知集合,，求满足AB的实数的取值范围。
16.设集合,,且BA，求的值。

B组
1.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若ÆA，则Æ其中正确的是（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
2.已知集合，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有（ ）
A、13个 B、12个 C、11个 D、10个
3.设集合，，则（ ）
A、M=N B、MN C、 D、NM
4.已知集合,，且BA，则实数的取值范围是_________________。
5.已知集合,若集合A有且仅有2个子集，则的取值是（ ）
A、1 B、 C、0，1 D、，0，1
6.设，集合，则（ ）
A、1 B、 C、2 D、
7.已知,,则_________________
8.已知,,则_________________
9.已知集合,，若Æ且BA，求实数的值。
10.如果数集中有3个元素，那么不能取哪些值？
11.不等式组的解集为，，试求及
12.已知集合,
（1）、若，求实数的取值范围。
（2）、若，求A的非空真子集的个数。

1.3集合的基本运算
1.3.1并集：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作“A并B”).即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}。如图1-3-1所示。
例如，设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.
解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}
U
CUA
再比如说，设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3}，求A∪B.
A
解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3}={x|-1<x<3}

图1-3-1 图1-3-2 图1-3-3
1.3.2交集：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。如图1-3-2所示。
例如，设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∩B.
解: A∩B.={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5 ,8}
再比如说，新华中学开运动会,设A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}
B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求A∩B.
解:A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.
1.3.4补集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集. ，如图1-3-3所示。
例如，设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}，B={3,4,5,6},求CuA,CuB
解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以 CuA={4,5,6,7,8}； CuB={1,2,7,8} .
1.3.5集合中，一些常用的运算性质：

本节精讲
一． 有关两个集合的并集、交集的问题
1．已知集合M＝{直线}，N＝{圆}，则M∩N的元素个数为(　　)个．(　　)
A．0　　 B．1 C．2 D．不确定
2．(2010·江西理，2)若集合A＝{x}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅
3．(09·山东文)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
4．(2010·福建文，1)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩B等于(　　)
A．{x|2<x≤3} B．{x|x≥1} C．{x|2≤x<3} D．{x|x>2}
5．设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　)
A．a＜2 B．a＞－2 C．a＞－1 D．－1＜a≤2
6．(08·山东文)满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．(09·全国Ⅱ理)设集合A＝{x|x>3}，B＝，则A∩B＝(　　)
A．∅ B．(3,4) C．(－2,1) D．(4，＋∞)
8．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{x|x＝a＋b，a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{－1,1,6}，则P＋Q中所有元素的和是(　　)
A．9 B．8 C．27 D．26
9．已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈N*}，B＝{x|x＝k＋3，k∈N}，则A∩B等于(　　)
A．B B．A C．N D．R
10．当x∈A时，若x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝(　　)
A．{0,1,3,4} B．{1,4} C．{1,3} D．{0,3}
二、填空题
11．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.
12．已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋1}，当A＝{2}时，集合B＝________.
13．(胶州三中2009～2010高一期末)设A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，则p＝______；q＝______；r＝______.
三、解答题
14．已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}
(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
(2)若A∪B＝B，a的取值范围又如何？
15．设集合M＝{1,2，m2－3m－1}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，求m.
16．已知A＝{1，x，－1}，B＝{－1,1－x}．
(1)若A∩B＝{1，－1}，求x.
(2)若A∪B＝{1，－1，}，求A∩B.
(3)若B⊆A，求A∪B.
当x＝时，A∪B＝{1，，－1}．
17．某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？

18．已知集合A＝{x|3x－7>0}，B＝{x|x是不大于8的自然数}，C＝{x|x≤a，a为常数}，D＝{x|x≥a，a为常数}．
(1)求A∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值集合；
(3)若A∩C＝{x|<x≤3}，求a的取值集合；
(4)若A∩D＝{x|x≥－2}，求a的取值集合；
(5)若B∩C＝∅，求a的取值集合；
(6)若B∩D中含有元素2，求a的取值集合．
二． 有关全集、补集、空集的问题
例1 判定以下关系是否正确
；(2){1，2，3}＝{3，2，1}；；(4)0∈{0}
例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．
________．

[ ]

例5 设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是
[ ]

M与P的关系是
[ ]
A．M＝UP　　B．M＝P
例7 下列命题中正确的是
[ ]
A．U(UA)＝{A}

例8 已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．
例9 设S＝{1，2，3，4}，且M＝{x∈S|x2－5x＋p＝0}，若SM＝{1，4}，则p＝________．
例10 已知集合S＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|，2}，SA＝{a＋3}，求a的值．
则

[ ]
A．M＝N

D．M与N没有相同元素

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