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2021-2022版高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换单元素养评价新人教B版必修第三册

2021-2022版高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换单元素养评价新人教B版必修第三册

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单元素养评价(二)(第八章)
(120分钟　150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.cos215°+cos275°+cos 15°cos 75°的值是 (　　)
A.　 B. C. D.
【解析】选D.原式=++
=.
2.若tan α=2,则的值等于 (　　)
A.- B. C.- D.
【解析】选B.====.
3.(2020·南宁高一检测)已知=5,则cos 2α+sin 2α= (　　)
A.- B.3 C.-3 D.
【解析】选D.因为=5,
所以=5⇒tan α=3,
cos 2α+sin 2α=
===,故选D.
4.(2020·长沙高一检测)已知sin =,cos β=,α,β为锐角,则sin 的值为 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选D.因为sin =,cos β=,α,β为锐角,因为cos 2β=2cos 2β-1=-<0,
所以α+2β大于90°,由同角三角函数关系,
可得cos =-,sin β=.
所以sin =sin
=sin cos β-cos sin β
=×-×=.
5.三角形ABC中,若C>90°,则tan A·tan B与1的大小关系为 (　　)
A.tan A·tan B>1　 B.tan A·tan B<1
C.tan A·tan B=1 D.不能确定
【解析】选B.在三角形ABC中,
因为C>90°,所以A,B都为锐角.
则有tan A>0,tan B>0,tan C<0.
又因为C=π-(A+B),
所以tan C=-tan(A+B)
=-<0,易知1-tan A·tan B>0,
即tan A·tan B<1.
6.若a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b ,则a与b的夹角θ是 (　　)
A.　 B. 　 C.　 D.
【解析】选B.因为a2-2a·b=0,b2-2a·b=0,
所以a2=b2=2a·b ,|a|=|b|,
所以cos θ===.所以θ=.
7.已知A,B,C是△ABC的三个内角,设f(B)=4sin B·
cos 2+cos 2B,若f(B)-m<2恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.m<1 B.m>-3 C.m<3 D.m>1
【解析】选D.f(B)=4sin Bcos 2+cos 2B
=4sin B+cos 2B
=2sin B(1+sin B)+(1-2sin 2B)=2sin B+1.
因为f(B)-m<2恒成立,即m>2sin B-1恒成立.
因为0<B<π,所以0<sin B≤1.
所以-1<2sin B-1≤1,故m>1.
8.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若m·n=1+cos(A+B),则C= (　　)
A.　 B. C. D.
【解析】选C.因为m·n=sin Acos B+sin B·
cos A=sin(A+B)=sin C=1-cos C,
所以sin=,又因为0<C<π,
所以C+=,故C=.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列计算正确的是 (　　)
A.=1
B.1-2sin275°=
C.cos4-sin4=
D.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°=
【解析】选ACD. 对于选项A,=tan 45°=1;对于选项B,1-2sin275°=cos 150°=-,对于选项C,cos4-sin4=
=cos=; 对于选项D,原式=sin215°+cos215°+
sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+=.
10.若函数y=sincos+cos·sin,则(　　)
A.函数的周期为2π 　　
B.函数的一个对称中心为
C.函数的一条对称轴为x=π 　
D.函数的值域为
【解析】选ACD.y=sin·cos-cossin=
sin
=sin=cos x,故周期为2π,x=π是函数y=cos x的一条对称轴,值域为.
11.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论不正确的是 (　　)
A.|b|=1 B.a⊥b
C.a·b=1 D.(4a+b)⊥
【解析】选ABC.在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2.又|a|=1,
所以a·b=|a||b|cos 120°=-1,所以(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,
所以(4a+b)⊥.
12.已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+
tan αtan β=,则 (　　)
A.<α<　 B.β<<α
C.<α<β 　 D.<β<α
【解析】选AB.因为α为锐角,sin α-cos α=>0,所以<α<.又tan α+tan β+tan αtan β=,
所以tan(α+β)==,
所以α+β=,又α>,所以β<<α.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.函数f(x)=sin2的最小正周期是　　　　. 
【解析】因为f(x)==(1-sin 4x),所以最小正周期T=.
答案:
14.(2020·上海高一检测)已知sin α=3cos α,则cos 2α=　　　　. 
【解析】因为sin α=3cos α,
又sin 2α+cos 2α=1,
解得cos 2α=,sin 2α=,
故cos 2α=cos 2α-sin 2α=-=-.
答案:-
15.(2020·重庆高一检测)若<α<π,0<β<,
且sin =,cos =-,则cos (α+β)=　　　. 
【解析】因为sin =,且<α<π,
所以cos =-.
因为cos =-,且0<β<,
所以sin =.因为α++β+
=α+β+,所以cos =sin ,
即cos =sin
=×-×=-.
答案:-
16.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°.如图,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是　　　　,最小值为　　　　. 

【解析】建立如图所示的坐标系,

则A(1,0),B(cos 120°,sin 120°),
即B.
设∠AOC=α,则=(cos α,sin α).
因为=x+y=(x,0)+
=(cos α,sin α),
所以所以
所以x+y=sin α+cos α=2sin (α+30°).
因为0°≤α≤120°,所以30°≤α+30°≤150°.
所以当α=60°时,x+y有最大值2.
当α=0°或120°时,x+y有最小值为1.
答案:2　1
四、解答题(共70分)
17.(10分)(1)求值:.
(2)已知sin θ+2cos θ=0,求的值.
【解析】(1)原式==
==2+.
(2)由sin θ+2cos θ=0,得sin θ=-2cos θ,
又cos θ≠0,则tan θ=-2,
所以=
===.
18.(12分)已知向量a,b不共线,c=ka+b,d=a-b.
(1)若c∥d,求k的值,并判断c,d是否同向;
(2)若|a|=|b|,a与b的夹角为60°,当k为何值时,c⊥d?
【解析】(1)因为c∥d,所以c=λd,即ka+b=λ(a-b).
又a,b不共线,所以得
即c=-d,故c与d反向.
(2)c·d=(ka+b)·(a-b)=ka2-ka·b+a·b-b2=(k-1)a2+(1-k)|a|2·cos 60°,
又c⊥d,故(k-1)a2+a2=0,
即(k-1)+=0,解得k=1.
19.(12分)已知函数f(x)=cos 2ωx+sin ωxcos ωx(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离为.
(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)设α是第一象限角,且f=,
求的值.
【解析】(1)f(x)=cos 2ωx+sin ωxcos ωx=+sin 2ωx,
所以f(x)=sin +的最小正周期T==3π,解得ω=,则f(x)=sin +.
令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),可得3kπ-π≤x≤3kπ+(k∈Z),即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为f=,
即sin +=cos α+=,
所以cos α=,
又α是第一象限角,所以sin α=,
所以=·
=
=-.
20.(12分)已知ω>0,a=(2sin ωx+cos ωx,2sin ωx-cos ωx),b=(sin ωx,cos ωx),f(x)=a·b,f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是.
(1)求ω的值.
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解析】f(x)=a·b=(2sin ωx+cos ωx)sin ωx+
(2sin ωx-cos ωx)cos ωx
=2sin2ωx+3sin ωxcos ωx-cos2ωx
=1-cos 2ωx+sin2ωx-(1+cos 2ωx)
=(sin 2ωx-cos 2ωx)+
=sin+.
(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是,所以函数f(x)的最小正周期T=π,则ω=1.
(2)f(x)=sin+.
因为x∈,所以∈,
则当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-1;当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值.
21.(12分)(2020·潍坊高一检测)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cos x,1),b=(cos x,sin 2x+m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间.
(2)当x∈时,-4<f(x)<4恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)f(x)=2cos 2x+sin 2x+m
=2sin +m+1.所以函数f(x)的最小正周期T=π,
在[0,π]上的单调递增区间为,.
(2)因为当x∈时,f(x)单调递增,
所以当x=时,f(x)的最大值等于m+3.
当x=0时,f(x)的最小值等于m+2.
由题设知解得-6<m<1.
22.(12分)如图,四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心,9为半径画弧,分别交AB,AD于点E,F,P为上一动点,过点P分别作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N,求矩形PMCN的面积的最小值.

【解析】连接PA,设∠PAE=θ,
如图所示.

设矩形PMCN的面积为S,延长NP交AB于点H,
则PM=HB=AB-AH=10-9cos θ,
PN=HN-HP=10-9sin θ.所以S=PM·PN
=(10-9cos θ)(10-9sin θ)
=100-90sin θ-90cos θ+81sin θcos θ.
设sin θ+cos θ=t.
则S=100-90t+(t2-1)=t2-90t+
=+.因为θ∈,
所以t=sin θ+cos θ=sin∈[1,],
所以当t=时,Smin=,
故矩形PMCN的面积的最小值为.