考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料.doc
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1、78B持之以恒,厚积薄发第四章 不定积分79第一节 不定积分的概念与性质一、原函数的定义 原函数:若对于,有或,称为在区间内的原函数。原函数存在定理:连续函数必有原函数即若在上连续,则必存在,使得当时,。【例1】设是在上的一个原函数,则在上( )(A) 可导 (B)连续 (C)存在原函数 (D)是初等函数【答案】(C)【例2】(92二)若的导函数是,则有一个原函数为(A) . (B). (C). (D).【答案】(B)二、不定积分的定义不定积分:在区间内,的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分,记为:,即计算方法:求函数的不定积分,只要求得它的一个原函数,加上任意常数即可。不定积分的几
2、何意义:一个原函数对应于一条积分曲线;不定积分对应于积分曲线簇无穷多条积分曲线,被积函数对应于切线的斜率同一横坐标处切线平行。【例3】若的导函数是,则的原函数是【答案】【例4】某曲线过点,且其上任一点切线之斜率为该点横坐标之2倍,求此曲线方程。【答案】三、不定积分的性质(1) 或(2) 或(3)(4) 【例5】(90二)设函数在上连续,则等于(A) (B) (C) (D).【答案】(B)【例6】(89三)在下列等式中,正确的结果是( )(A). (B).(C). (D).【答案】(C)【例7】(95三)设,则 .【答案】四、基本积分表 (1) (2)(3) (4) ;(5)(6)(7) (8)
3、(9) (10)(11) (12)【例8】 求下列不定积分(1) ; (2);【答案】(1);(2)(3) (4);【答案】(3); (4)(5) ; (6)【答案】(5); (6);(7);【答案】(7)【例9】求下列不定积分:(1);(2)【答案】(1); (2)第二节 换元积分法 换元积分法是把复合函数的微分法反过来,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法。通常分为两类:第一换元积分法和第二换元积分法一、第一换元积分法(凑微分法) 定理1(第一类换元法):设具有原函数,可导,则有第一换元法换元公式: 应用方法:若求,如果的形式,则可利用:。【例1】求下列不定积分(1); (2);【答案
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