陕西省商洛市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题-文.doc

陕西省商洛市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题 文

陕西省商洛市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题 文

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姓名：

12

陕西省商洛市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题 文
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.双曲线（）的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（ ）
A. B. C. D.
5.若，，则（ ）
A. B. C. D.
6.记为等差数列的前项和，已知，则数列的公差为（ ）
A.4 B.2 C.1 D.
7.函数在上的图象大致为（ ）
A.B.C.D.
8.在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失.2011~2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（ ）

A.自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加
B.自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年
C.2018年上半年的票房收入增速最大
D.2020年上半年的票房收入增速最小
9.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一，如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为（ ）

A. B. C. D.
10.函数（，），其图象相邻两条对称轴间的距离为，将其图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则下列点是图象的对称中心的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A.9 B.10 C.12 D.17
12.设直四棱柱的每个顶点都在球的球面上，底面为平行四边形，，侧面的面积为6，则球表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.
13.若，满足约束条件，则的最大值为______.
14.函数的图象在处的切线方程是______.
15.已知椭圆的离心率为，短半轴长为，则椭圆的焦距为______.
16.从1，2，6，0中任取三个互不相同的数字，随机组成一个三位数，则该三位数为偶数的概率是______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（125）
，，分别为内角，，的对边.已知，.
（1）求；
（2）若的周长为，求的面积（结果用小数表示，取）.
18.（12分）
随着网红经济的出现，短视频行业逐渐崛起一批优质的UGC制作者，抖音、秒拍、快手、小红书、今日头条等纷纷入驻短视频行业现有某视频号的粉丝数量与月份的统计数据如下表
月份
1
2
3
4
5
6
7
粉丝数量（单位：万）
24
28
31
39
43
47
54
（1）根据上表数据研究发现，与之间有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程
（2）若粉丝数量按照现有的变化趋势增长，试预测8月份的粉丝数量.
参考公式：，.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为的中点.

（1）证明：平面.
（2）求三棱锥外接球的体积.
20.（12分）
已知圆：，动圆与圆外切，且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程.
（2）若直线：与曲线交于，两点，分别过，作曲线的切线，交于点.证明：在一定直线上.
21.（12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知直线与曲线交于不同的两点，.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值是，且，求的最小值.

商洛市2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测
高三数学试卷参考答案（文科）
1.D
因为，，所以.
2.C
，其在复平面内对应的点位于第三象限.
3.A
因为，所以，故双曲线的渐近线方程为.
4.B
由题意可得，则向量，的夹角是.
5.C
因为若，，所以，
则.
6.A
记为数列的公差，因此，所以，则.
7.B
因为，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除C与D.因为，所以排除A，故选B.
8.D
由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A，B错误；2017年上半年的票房收入增速最大，故C错误；2020年上半年的票房收入增速最小，故D正确.
9.D
正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥，由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解.由边长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则其体积为，其表面积为，所以此正八面体的体积与表面积之比为.
10.C
因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以，所以.
因为的图象向右平移个单位长度后得到曲线，其图象关于轴对称，
所以，，即，.因为，所以，
故.令，，得，.当时，，所以点是图象的一个对称中心.
11.B
设等比数列的公比为，因为，所以，则.
12.A
因为底面为平行四边形，且球是直四棱柱的外接球，所以底面必为矩形，从而四棱柱长方体.设，，则，，
所以球的表面积，
当且仅当，即时，等号成立，故球表面积的最小值为.
13.15
作出可行域（图略），由图可知，当直线经过点时，取得最大值，且最大值为15.
14.（或）
由题意可得，则，，故所求切线方程为，即.
15.4
设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则，解得，所以椭圆的焦距为4.
16.
当个位数字为0时，这样的三位偶数有120，210，160，610，260，620，共6个；
当个位数字不为0时，这样的三位偶数有126，106，216，206，102，162，602，612，共8个.
而可组成的三位数有126，120，160，102，106，162，210，216，260，261，201，206，612，621，610，620，601，602，共18个，设“该三位数为偶数”为事件，则.
17.解：（1）因为，
所以.
（2）因为，所以.
由余弦定理得，
则.
因为的周长为，所以，
解得.
所以的面积为，
因为，所以的面积为3.8.
18.解：（1）由数据计算可得，，
，，
所以，，
故关于的线性回归方程为.
（2）当时，，
即预测8月份的粉丝数量为58万.
19.（1）证明：∵四边形为正方形，∴.
∵，，∴平面.
∵平面，∴.
∵，，，∴为等边三角形.
∵为的中点，∴.
∵，∴平面.
（2）解：记正方形的中心为，取的中点，连接，，.
∵为正方形的中心，为的中点，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，则.

由（1）知，.∵为的中点，∴.
∵，，，∴.
∵，∴为三棱锥外接球的球心.
故三棱锥外接球的体积为.
20.（1）解：设到直线的距离为，则，
所以到直线的距离等于到的距离，
由抛物线的定义可知，的轨迹的方程为.
（2）证明：设，，，
联立方程组，得，
则，，.
由，得，所以，
所以切线的方程为，①
同理切线的方程为.②
由①②，得，
所以点在直线上.
21.解：（1）函数的定义域为，且.
若，则当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
若，，函数在上单调递减.
（2）不等式在上恒成立，即恒成立，设，，令，则.
①当时，恒成立，所以单调递增，所以，
即符合题意；
②当时，恒成立，所以单调递增，
又因为，，
所以存在，使得，且当时，，
即在上单调递减，所以，即不符合题意.
综上，的取值范围为.
22.解：（1）由题意可得直线的普通方程为.
曲线的直角坐标方程为，即.
（2）直线的参数方程可化为（为参数）.
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得，
则，，
故.
23.解：（1）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，不等式的解集为.
（2）由（1）可知当时，，即，则.
因为，
所以，即（当且仅当时等号成立）.
故的最小值为.