四川省内江市威远中学2020届高三数学5月月考试题-文.doc

四川省内江市威远中学2020届高三数学5月月考试题 文

四川省内江市威远中学2020届高三数学5月月考试题 文

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- 22 -

四川省内江市威远中学2020届高三数学5月月考试题 文（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1..已知集合，则= （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合,再根据交集运算法则求交集即可.
【详解】,
,
所以,
故选:B.
【点睛】本题考查了交集运算,考查了解不等式,属于简单题.
2.若复数满足，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到，再计算共轭复数得到答案.
【详解】，则，故.
故选：.
【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
3.2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI芯片,在业界标准的ResNet -50测试中,含光800推理性能达到78563lPS,比目前业界最好的AI芯片性能高4倍;能效比500 IPS/W,是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中,集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域,增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图,则下面结论中正确的是( )

A. 2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加
B. 2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降
C. 2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高
D. 2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110%
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条形统计图可以判断选项A,D的正误,根据折线图可以判断选项B,C的正误.
【详解】对于A,由图可得2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加,所以A正确;
对于B,2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高,所以B错误;
对于C,2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%),所以C错误;
对于D,2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率为,所以D错误.
故选:A.
【点睛】本题主要考查统计图的实际应用,考查学生的理解分析能力,难度不大.
4.在等差数列中，，则数列的前5项之和的值为（ ）
A. 108 B. 90 C. 72 D. 24
【答案】B
【解析】
由于，所以，应选答案A．
点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质，然后整体代换前项和中的，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．
5.已知b=log32，c=log2(cos)，则（ ）
A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. a>c>b
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.
【详解】对于，因为在上单调递增，
即
对于，因为在定义域内单调递增，
即
对于，因为在上单调递减，
则
则
综上，
故选：A
【点睛】本题较易。只需根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.注意自变量所在区间.
6.已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是
A. 24 B. 8 C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由∥得，因此，当且仅当时取等号，所以选B.
考点：基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
7.已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
先由函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，得到周期，求出，再由平移原则，即可得出结果.
【详解】因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，因此，
所以，
因此，为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.
故选D
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常考题型.
8.函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
易得函数为偶函数，排除部分选项，再采用特殊值法由，确定选项.
【详解】因为，
所以函数为偶函数，故排除D；
因为，故排除B；
因为，故排除C.
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的应用，特殊值法的应用，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.
9.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的， 若圆柱的表面积是现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，即可求出，从而得到圆柱的底面半径和高，最后由圆柱的体积减去球的体积即可；
【详解】解：设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，所以，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为.
故选：B
【点睛】本题考查圆柱和球的表面积和体积的相关计算，属于基础题.
10.已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是　　

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，根据的单调性得出结论．
【详解】解：令，则，
在上单调递增，
又，
，
即，即
故选：．
【点睛】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题．
11.若△ABC中，，则此三角形的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据不为0得到，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.
【详解】中，，
已知等式变形得：，即，
整理得：，即，
或（不合题意，舍去），

，
则此三角形形状为直角三角形．
故选：
【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
12.椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，若，是线段的三等分点，的周长为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义及的周长为，可求出，根据，是线段的三等分点，利用中点坐标公式可先求出点的横坐标，代入椭圆可求出纵坐标，再由中点坐标公式可求出点的坐标，代入椭圆的方程即可求出的值.
【详解】由椭圆的定义，得，
的周长，所以，
所以椭圆.
不妨令点C是的中点，点A在第一象限，因为，
所以点A的横坐标为c，所以，可得，所以，
由中点坐标公式可得，把点B的坐标代入椭圆E的方程，得
，，化简得，又，
所以，得，所以.
所以，椭圆的方程为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，中点坐标公式，关键是利用中点坐标求相应点的坐标，用点在曲线上求出.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.
13.若，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接把已知方程两边同时平方即得解.
【详解】由题得
故答案为：
【点睛】本题主要考查二倍角的正弦，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
14.已知，，，则向量在方向上的投影为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先求出的值，再由可得结果.
【详解】因为，，，
所以,
向量在方向上的投影为,故答案为3.
【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积的运算，属于中档题.平面向量数量积主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
15.已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆的标准方程可表示焦点，以及由定义转化，再由三角形成形原则构建不等式关系求最大值.
【详解】根据题意，设椭圆的左焦点为，椭圆的方程为，其中为椭圆上一点，则，则，则，则，且显然点A在椭圆内，
则，
分析可得：，(三角形成形原则)
当三点共线时，等号成立，则的最大值为
故答案：
【点睛】本题考查求椭圆中求距离的最值以及由椭圆的定义转化距离表达式，属于简单题.
16.已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据,可知△ 为直角三角形,其外接圆的圆心为AC的中点,连,可知平面,根据 为的中点可知 平面,所以 为四面体的高,根据四面体的体积可求得,在直角三角形 中由勾股定理可求得外接球的直径,从而可得球的半径,再由球的表面积公式可求得球的表面积.
【详解】如图:在三角形ABC中,因为,所以△ 为直角三角形,所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点,连,根据垂径定理,可得平面,因为 为的中点可知平面,所以 为四面体的高.
所以,解得.所以.
所以四面体的外接球的半径为2,表面积为=.

【点睛】本题考查了球与四面体的组合体,三棱锥的体积,球的表面积公式,利用垂径定理和中位线平行得到
平面是解题关键.属于中档题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.22题10分，17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）证明：；
（2）若，且的面积为，求.
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
试题分析：（1）由，根据正弦定理可得 ，利用两角和的正弦公式展开化简后可得，所以，；（2）由，根据余弦定理可得，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得，由 ，解得.
试题解析：（1）根据正弦定理，
由已知得： ，
展开得： ，
整理得：，所以，.
（2）由已知得：，∴ ，
由，得：，，∴，
由，得：，所以，，
由 ，得：.
18.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示．

（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”．

男
女
合计
网购迷

20

非网购迷
45

合计

100

附：观测值公式：．
临界值表：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）17.5千元．（2）见解析，有的把握认为“网购迷与性别有关”．
【解析】
【分析】
（1）计算面积确定中位数位于区间内，设中位数为，则，解方程即得解；

（2）根据已知补全列联表，再利用独立性检验判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”．
【详解】解：（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为，后2个小矩形的面积之和为，
所以中位数位于区间内．
设中位数，则，得，
所以该社区居民网购消费金额中位数估计为17.5千元．
（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，
所以“网购迷”共有35人．由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人，所以补全的列联表如下：

男
女
合计
网购迷
15
20
35
非网购迷
45
20
65
合计
60
40
100

因为，
查表得，所以有的把握认为“网购迷与性别有关”．
【点睛】本题主要考查频率分布直方图求中位数，考查独立性检验的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.如图，四边形为矩形，且平面为的中点.

（1）求证:；
（2）若为的中点，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）转化成证明平面即可得到
（2）取的中点，连接.可得
【详解】（1）连结，∵为的中点， ，又四边形是矩形，
∴为等腰直角三角形， 则，
同理可得，∴，∴， 又平面，且平面， ∴， 又∵，∴平面，又平面，∴
（2）取的中点，连接.又为的中点，，∴且

∵平面，平面∴∴
由（1）得平面，∴是三棱锥的高，
∴. ∴三棱锥的体积为
【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明以及三棱锥的体积公式，属于中等题.
20.已知点O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，△IOJ的边IJ上的中线长为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点H（－2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程．
【答案】（1）（2）x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0
【解析】
【分析】
(1)由直角三角形中线性质得到，再根据条件得到求解即可；（2）设出直线AB，联立直线和椭圆得到二次方程，由AF1⊥BF1，得到，整理得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0，代入韦达定理即可.
【详解】（1）由题意得△IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为，所以．
设椭圆C的半焦距为c，则
解得
所以椭圆C的标准方程为．
（2）由题知，点F1的坐标为（－1，0），显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝k（x＋2）（k≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立消去y，得（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－2＝0，
所以Δ＝（8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）＝8（1－2k2）＞0，所以．（*）
且，．
因为AF1⊥BF1，所以，
则（－1－x1，－y1）·（－1－x2，－y2）＝0，
1＋x1＋x2＋x1x2＋y1y2＝0，
1＋x1＋x2＋x1x2＋k（x1＋2）·k（x2＋2）＝0，
整理，得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0．
即．
化简得4k2－1＝0，解得．
因为都满足（*）式，所以直线AB的方程为或．
即直线AB的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0．
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21.已知函数为自然对数的底数.
(1)当时,试求的单调区间;
(2)若函数在上有三个不同的极值点,求实数的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为,单调减区间为；（2）
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进行分析探求.
试题解析：
（1）函数的定义域为
,.当时，对于
恒成立，所以，若，若，所以的单调增区间为，单调减区间为.
（2）由条件可知，在上有三个不同的根，即在上有两个不同的根，且，令，则，当单调递增，单调递减，的最大值为，而.
考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.
22.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点作倾斜角为的直线与圆交于，两点，试求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求出直线的参数方程，代入圆的方程可得：，利用根与系数的关系可得结果.
【详解】（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为
；
（2）直线的参数方程为：（为参数），
将其带入上述方程中得：，
则，
所以.
【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对于任意实数，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） (2)
【解析】
分析】
(1)先由，将原函数变为，将函数写出分段函数的形式，解不等式即可；
(2)先由题意可知，对于任意实数，，不等式恒成立，等价于，进而可求出结果.
【详解】（1）当时，
因为，所以或者或者
解得：或者，
所以不等式的解集为.
（2）对于任意实数，，不等式恒成立，等价于
因为，当且仅当时等号成立，
所以
因为时，
函数单增区间为，单间区减为，
所以当时，
所以，
所以实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式解法，以及不等式恒成立问题，属于中档试题.