基于伺服电机驱动的进给传动系统扭转振动的Lie群分析方法.pdf
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1、TheoreticalandAiieaMecnanics,zozs,55(9):2000-2009XuHong,FuJingli.Liegroupanalysisfortorsibnalvibration of servemotordrivenfeeder drive system.Chinese Journalof引用格式:徐宏,傅景礼.基于伺服电机驱动的进给传动系统扭转振动的Lie群分析方法.力学学报,2 0 2 3,55(9):2 0 0 0-2 0 0 9动力学与控制Sep.,20232023年9 月Chinese Journal ofpplied MechanicseoeueaiVo
2、l.55,No.9第55卷第9 期力报学学基于伺服电机驱动的进给传动系统扭转振动的Lie群分析方法徐宏傅景礼2)(山东外事职业大学信息与控制工程学院,山东威海2 6 450 0)摘要激光切割机进给传动系统是一个伺服电机驱动的进给传动系统,其传动部件在高速和高加速度进给过程中,因外部激励或系统的自激振荡产生振动,影响数控设备的定位精度和表面加工质量,降低数控设备使用效率和使用寿命,甚至会对数控系统造成损坏.文章引入变换Lie群,以江苏亚威机床股份有限公司生产的HLH2040激光切割机进给传动系统为例研究伺服驱动的进给传动系统扭转振动问题的Noether对称性理论,并给出了该问题的运动规律和状态响
3、应特性.通过寻找激光切割机伺服电机驱动的滚珠丝杆进给传动系统扭转振动的动能与势能,构造Lagrange函数,建立系统的Lagrange方程.引入关于时间和广义坐标的无限小变换,提出并证明伺服电机驱动的滚珠丝杆进给传动系统扭转振动的Noether定理,发现系统存在的守恒量,且在得到的守恒量中存在对称关系.根据该系统扭转振动存在的守恒量给出了运动规律,分析该进给传动系统扭转振动的动态响应特性,并数值模拟了动态响应,得出系统在给定具体的技术参数之后,文章所用的对称性方法的加入使得在极短的时间,约1 0 ms,系统能够迅速稳定,效果显著.这项研究有效地降低及控制伺服电机驱动的进给过程中扭转振动问题,对
4、提高数控设备的加工质量和效率以及提高数控设备的使用寿命具有十分重要的意义.关键词伺服电机,激光切割机,传动系统,Noether对称性,守恒量中图分类号:0 3 2文献标识码:Adoi:10.6052/0459-1879-23-186LIE GROUP ANALYSIS FOR TORSIBNAL VIBRATION OF SERVE MOTORDRIVENFEEDERDRIVE SYSTEMI)Xu HongFu Jingli 2)(College of Information Engineering,Shandong Vocational University of Foreign Affa
5、irs,Weihai 264500,Shandong,China)AbstractThe laser cutting machine feed drive system is a servo motor-driven system,where its transmissioncomponents generate vibrations during high-speed and high-acceleration feeding processes due to external excitation orself-induced oscillations of the system.Thes
6、e vibrations adversely affect the positioning accuracy and surfaceprocessing quality of the CNC equipment,decrease the operational efficiency and lifespan of CNC equipment,and mayeven result in damage to the CNC system.In this paper,the transformation Lie group is introduced to study the Noethersymm
7、etry theory of torsional vibration problem using the HLH 2040 laser cutting machine manufactured by JiangsuYawei Machine Tool Co.,China as an example.In addition,the motion law and state response characteristics of the2023-05-17收稿,2 0 2 3-0 8-0 9录用,2 0 2 3-0 8-1 0 网络版发表.1)国家自然科学基金(1 1 8 7 2 3 3 5)和山
8、东省自然科学基金(ZR2023MA070)资助项目.2)通讯作者:傅景礼,教授,主要研究方向为分析力学、动力学与控制.E-mail:2001第9 期徐宏等:基于伺服电机驱动的进给传动系统扭转振动的Lie群分析方法problem are given.The Lagrange equation of the system is established by finding the kinetic and potential energies oftorsional vibration of the servo-driven ball screw feed transmission system a
9、nd constructing the Lagrange function.Byintroducing infinitesimal transformations about time and generalized coordinates,Noethers theorem of torsionalvibration of the system is proposed and proved.The conserved quantities of the system are found to exist,and symmetryrelations exist in the obtained c
10、onserved quantities.The principle behind movements is given according to theconserved quantities existing in the torsional vibration of the system.The dynamic response characteristics of thesystem are analyzed,and the dynamic response is numerically simulated.In conclusion,results prove that,after t
11、hesystem is supplied with specific technical parameters and the effect is remarkable,along with using the symmetrymethod in this study,the system can able to stabilize rapidly in about 10ms.This study effectively reduces and managesthe torsional vibration issue in the servo motor-driven feeding proc
12、ess,which holds significant importance in enhancingthe machining quality and efficiency of CNC equipment,as well as extending the operational lifespan of CNC systems.Keywordsservo motor,laser cutting machine,drive system,Noether symmetry,conservation quantity引言伺服驱动的数控机床中,进给系统的定位精度高低决定了零部件的加工精度、表面质量
13、1-3 ,且进给动作进行时,其运动平稳性还直接影响机床的刀具寿命,故现代加工与制造业对进给传动系统有更高的速度与定位精度要求 4-5,以使数控设备具有更高性能.激光切割机具有典型的进给传动系统在校准后能够保证加工精度,但是,一段时间过后,其精度无法满足加工需要.若重新校准需要大量的工作步骤,使激光切割机的加工效率大大降低,还会带来成本问题 6-8 .因此,本文对激光切割机伺服电机驱动的滚珠丝杠进给传动系统进行动力学建模,研究其动态特性,成为有效地降低及控制伺服电机驱动的进给过程中扭转振动的关键技术,分析力学选择坐标,基于理想约束的概念,从能量的角度提出动力学系统的基本原理,建立系统的动力学方程
14、,适合解决质点系和多刚体系统的机械装置的复杂问题 9,在约束力学系统和机械动力系统的建模方面得到广泛应用 1 0-1 1 .通过构造系统的Lagrange函数,写出其Lagrange方程,从能量的角度建立系统的运动方程Lagrange方程 1 2-1 3 .1 91 8 年Noether提出了著名的Noether定理,描述了动力学系统的某种对称性和守恒量之间一一对应的关系.近年来,Noether对称性已被推广应用到多种约束力学系统(例如非保守系统、非完整系统、Birkhoff系统和机电耦合系统等)中 9,1 4-2 1 ,理论趋于完善.事实上,不论是机械系统、机电耦合系统还是一般电路系统,都可
15、用Noether 对称性理论得到系统的解 2-2 4.本文将Noether对称性理论应用于激光切割机伺服电机驱动的滚珠丝杆传动系统扭转振动问题.给出该系统的动能、势能和Lagrange函数;建立该系统的第二类Lagrange方程和约束方程;引入关于时间和广义坐标的变换Lie群,给出该系统的Noether定理和守恒量;利用得到的守恒量给出激光切割机传动系统的动态响应,并对动态响应进行数值模拟.1激光切割机进给传动系统扭转振动的模型及其动力学方程本文以具有3 个方向自由度的激光切割机为研究对象,如图1 所示的激光切割机是由直线模组搭建的示意图.该切割机以X,Y,Z轴三分方向进行进给传动运动,各轴传
16、动均采用滚珠丝杠进行动作 2 5,并且X,Y,Z轴均由伺服电机进行驱动,表1 列出了以江苏亚威机床股份有限公司生产的HLH2040激图1 激光切割机示意图Fig.1Schematic of a laser cutting machine力20022023年第55卷报学学表1 HLH2040激光切割机技术参数Table 1Technical parameters of HLH2040 laser cuttingmachineParameterValueXaxis stroke/mm4040Yaxis stroke/mm2050Zaxis stroke/mm120X/Yacceleration1.
17、2gpositioningaccuracy/mm0.03光切割机为研究对象的技术参数.下面给出激光切割机的进给传动系统主要部件的组成示意图,如图2 所示.在传动进给过程当中,轴向载荷引起该系统的轴向变形和振动,在此振动过程中,可等效为激光切割机滚珠丝杠和伺服电机系统发生的振动位移 2 6 ,本文将带负载沿X轴方向一侧的传动系统作为研究对象.因激光切割机在传动进给过程中沿该方向的移动运行次数是最多的,且负载相对较大,运行速度相对较快,故此方向传动系统动态特性对激光切割机在运行过程中的定位精度影响最大 2 7 ,现对滚珠丝杠进给系统的轴向进行集中质量建模,滚珠丝杠传动系统的2 个自由度将被保留.滚
18、珠丝杠进给系统简化后的等效轴向振动模型如图3 所示.般机电系统Lagrange方程 2 8 为(LDL(之sQs+As,s=1,2,.,n(1)+之szsdLDL:Ek,k=1,2,.,m(2)十dtqk式中,Zs,qs为系统相互独立的机械与电气广义坐标,D为耗散函数,Q.和Ek为对应广义坐标的广义力和电源电压,为非完整约束力.其中A,=pzsaf,s=1,2,.,n(3)为约束乘子,系统的非完整约束为fe(t,zs,2s)=0(4)L=T+Wm-V-We为系统Lagrange函数,T为系统动能,Wm为系统磁余能,V为系统势能,We为系统电能,本文只考虑机械部分。在简化动力学模型中,假设激光切
19、割机作X轴方向一侧的传动进给产生振动.系统中等效的伺服电机质量ms、滚珠丝杠质量为mg,伺服电机驱动位移x、滚珠丝杠的位移xg,滚珠丝杠转动惯量为Jg,伺服电机转动惯量为Js,,和g分别是伺服电机和滚珠丝杠的转动角度,k1和k为伺服电机和滚珠丝杠的等效刚度.C1和c2是伺服电机和滚珠丝杠的等效阻尼,系统中的耗散函数为servomotorcoupleball screwworking platformbearing7slidingmodule图2 进给系统示意图Fig.2Schematic of feed drive systemXklkball screwworking platformMWe
20、quivalentmservo motorcenter of massmms图3 进给系统等效轴向振动模型Fig.3Equivalent axial vibration model of feed system2003第9 期徐宏等:基于伺服电机驱动的进给传动系统扭转振动的Lie群分析方法1.212D(5)=C1=C22S2故x,与xg为广义坐标,则激光切割机进给系统扭转振动的动能为111T.2.22(6)-ms+一m2822S22不计激光切割机在传动进给过程负载重量的影响,势能为存储于变形的弹簧中的势能,则11kixsk2Xg2(7)一22假设伺服电机与滚珠丝杠转动的角度与位移之间的系数为E
21、i与E2,有如下的约束关系0,=E1xs,0g=E2g(8)那么,此系统存在非完整约束.故系统的Lagrange函数可表示为11L=T-V一-mm一J.0222211122(9)k1xs2Xg222因激光切割机床的激光器不直接与工件接触,在加工过程中,没有外力的作用,系统广义坐标对应的广义力为Q=0.考虑系统耗散公式D,将式L方程和广义力方程代入一般Lagrange方程,可以得到系统运动微分方程为(ms+J,EF)x,+c1xs-kixs=A1(10)(mg+JgE2)xg+C2tg-2xg=A2)2激光切割机进给传动系统扭转振动的Noether对称性与守恒量引进群关于时间、坐标的无限小变换
22、2 9t*=t+8to(t,xs,Xg,xs,tg)xs(t)=X,(t)+8ti(t,xs,Xg,xs,xg)(11)xg*(t)=Xg(t)+8t2(t,xs,Xg,xs,tg)其中,8 为无限小参数,50,$1,52 为无限小变换的生成元.引入激光切割机进给传动系统扭转振动Hamilton作用量 3 0 ,若表示某曲线,则S(M)=J(t.xs xg,xs,xe)dt(12)在变换式(1 1)下,曲线将变为,那么此时系统的Hamilton作用量表示为S(y)=J L(t,xs,xg,x,)dt(13)作用量S的变分S为S(*)-S()的相对的主线性部分,有AS=S+SAt(14)以及S=
23、JiLL+L(T)d t,因此可以得到cti8LLSx+Sxdt+Ltxsxsxgxgto(15)t1厂,dLASL.(t)t+x s+Jtodtot7sx+dt(16)xsXgxg5将无线小变换代入变分公式,并注意到Sxs=x s -Xs t =8(S1 -x s s 0)(17)Sxg=xg-XgAt=8(52-Xg50)得到品ct1LAS=L0+(51-xs50)+8Jtoxs8LdoL(51-x,50)+oxsdtxsL0 xgdtxg.0/dt(18)8式(1 6)和式(1 8)为该系统Hamilton作用量变分的基本公式.定义1 如果激光切割机进给传动系统扭转振动的Hamilton
24、作用量是无限小变换下的不变量,即无限小变换满足AS=0(19)则无限小变换是完整激光切割机进给传动系统的Noether对称性变换定义2 如果系统Hamilton作用量是无限小群变换的广义准不变量,即对每一个无限小变换,始终存在1dAS=(G)+(Q 1 +A 1)8 x s +(Q 2 +A 2)8 x gdtdt(20)其中,G为规范函数,Q1和Q2为广义力,本系统中的两个广义力为0,1 和2表示广义非完整约束力,则2004力2023年第55卷报学学称变换式(1 1)为系统广义准对称变换.由上述定义公式(1 9)和系统Hamilton作用量变分的基本公式可以得到完整系统的如下判据1:对于无限
25、小群变换式(1 1),若满足条件d8LdtL0+xs(51-)xs50)+xgLdL(51-Xs50)+xsdtoxsLdL0 xgdtxg(52-x:50)=0(21)则变换式(1 1)为完整激光切割机进给传动系统扭转振动的Noether对称性变换,由于独立性可以得到完整激光切割机进给传动系统扭转振动的Noether恒等式LL5051+$2S18xs$2+txsL50=0(22)L+xg二axsNoether定理1:假设无限小变换式(1 1)是完整激光切割机进给传动系统扭转振动的Noether对称变换,则该系统存在如下形式的守恒量LLI=LSo+(51-Xs9(52-xg:5o)=const
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