初二奥数题及答案1.doc

初二数学奥数及答案 1、如图，梯形ABCD中，ADBC，DEEC，EFAB交BC于点F，EFEC，连结DF。(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；(2)若AD1，BC3，DC，试判断DCF的形状；(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿ABC向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图251，当点M在AB边上时，连接BN.求证：ABNADN；若ABC = 60，AM = 4，求点M到AD的距离；（2）如图252，若ABC = 90，记点M运动所经过的路程为x（6x12）试问：x为何值时，ADN为等腰三角形.3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OMON，且OMON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”正方形ABCD和点P，P点关于A左转弯运动到P1，P1关于B左转弯运动到P2，P2关于C左转弯运动到P3，P3关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5，（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置；（2）连接P1A、P1B，判断 ABP1与ADP之间有怎样的关系？并说明理由。(3)以D为原点、直线AD为轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限，A、P两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P4、P2009、P2010三点的坐标图1图24、如图1和2，在2020的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，RtABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，RtABC停止移动.设运动时间为x秒，QAC的面积为y.（1）如图1，当RtABC向下平移到RtA1B1C1的位置时，请你在网格中画出RtA1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在RtABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在RtABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图，ABC中，AB=AC，B、C的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由(2)如图，若ABAC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图，若ABC中B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。6、已知，如图，ABC中，BAC=90，AB=AC,D为AC上一点，且BDC=124，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点F，求E的度数。7、 如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。1、解：（1）证明：EF=EC，EFC=ECF， EFAB， B=EFC，B=ECF，梯形ABCD是等腰梯形；（2）DCF是等腰直角三角形， 证明：DE=EC，EF=EC，EF= CD，CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），梯形ABCD是等腰梯形， CF= （BC-AD）=1， DC= ， 由勾股定理得：DF=1，DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-，PB=3+2、证明：（1）四边形ABCD是菱形， AB=AD，1=2 又AN=AN， ABNADN解：作MHDA交DA的延长线于点H 由ADBC，得MAH=ABC=60在RtAMH中，MH=AMsin60=4sin60=2 点M到AD的距离为2 AH=2 DH=6+2=8（2）解：ABC=90， 菱形ABCD是正方形 CAD=45下面分三种情形： （）若ND=NA，则ADN=NAD=45此时，点M恰好与点B重合，得x=6；（）若DN=DA，则DNA=DAN=45 此时，点M恰好与点C重合，得x=12；（）若AN=AD=6，则1=2 ADBC， 1=4，又2=3，3=4 CM=CN AC=6 2 CM=CN=AC-AN=6 2-6故x=12-CM=12-（6 2-6）=18-6 2综上所述：当x=6或12或18-6 2时，ADN是等腰三角形。3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；（2）ABP1ADP，且ABP1可看成是由ADP绕点A顺时针旋转90而得理由如下：在ABP1和ADP中，由题意：AB=AD，AP=AP1，PAD=P1AB，ABP1ADP，又ABP1和ADP有公共顶点A，且PAP1=90，ABP1可看成是由ADP绕点A顺时针旋转90而得；（3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P1（-3，3），点P1（-3，3）关于点B（-4，4）左转弯运动到点P2（-5，3），点P2（-5，3）关于点C（-4，0）左转弯运动到点P3（-1，1），点P3（-1，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P4（1，1），点P4（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到点P5（-3，3），点P5与点P1重合，点P6与点P2重合，点P2009的坐标为（-3，3）点P2010的坐标为（-5，3）4、解：（1）如图1，A2B2C2是A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）当ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，y=S梯形QMBC-SAMQ-SABC=4+20）（x+4）- 20x- 44=2x+40（0x16）由一次函数的性质可知：当x=0时，y取得最小值，且y最小=40，当x=16时，y取得最大值，且y最大=216+40=72；（3）解法一：当ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时16x32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，y=S梯形BAQP-SCPQ-SABC= （4+20）（36-x）-20（32-x）- 44=-2x+104（16x32）由一次函数的性质可知：当x=32时，y取得最小值，且y最小=-232+104=40；当x=16时，y取得最大值，且y最大=-216+104=72解法二：在ABC自左向右平移的过程中，QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中QAC某一时刻的位置，使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称因此，根据轴对称的性质，只需考查ABC在自上至下平移过程中QAC面积的变化情况，便可以知道ABC在自左向右平移过程中QAC面积的变化情况当x=16时，y取得最大值，且y最大=72，当x=32时，y取得最小值，且y最小=405、解：（1）图中有5个等腰三角形，EF=BE+CF，BEOCFO，且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；（2）还有两个等腰三角形，为BEO、CFO，如下图所示：EFBC，2=3，又1=2，1=3，BEO为等腰三角形，在CFO中，同理可证EF=BE+CF存在（3）有等腰三角形：BEO、CFO，此时EF=BE-CF，如下图所示：OEBC，5=6，又4=5，4=6，BEO是等腰三角形，在CFO中，同理可证CFO是等腰三角形，此时EF=BE-CF，6、解：在ABD和ACE中，AB=AC，DAB=CAE=90AD=AE，ABDACE（SAS），E=ADBADB=180-BDC=180-124=56，E=567、解：OE=OF证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OA=OB，OAB=OBE=45，ACBDAOF+FOB=EOB+FOB=90，AOF=EOB在AOF和BOE中OAB=OBE，OA=OB，AOF=EOB，AOFBOE（ASA）OE=OF6