2019-2020年中考数学试题及解析(I).doc

2019-2020年中考数学试题及解析(I)
参考公式：
直棱柱的体积公式：（S为底面积，为高）；
圆锥的全面积（表面积）公式：（为底面半径，为母线长）；
圆柱的全面积（表面积）公式：（为底面半径，为高）

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。
1. 下列“表情图”中，属于轴对称图形的是

A．

B．

C．

D．

2. 下列计算正确的是
A. B.
C. D.
3. 在□ABCD中，下列结论一定正确的是
A. AC⊥BD B. ∠A+∠B=180°
C. AB=AD D. ∠A≠∠C
4. 若，，则=
A. -10 B. -40 C. 10 D. 40
5. 根据2008~2012年杭州市实现地区生产总值（简称GDP，单位：亿元）统计图所提供的信息，下列判断正确的是
A. 2010~2012年杭州市每年GDP增长率相同
B. 2012年杭州市的GDP比2008年翻一番
C. 2010年杭州市的GDP未达到5500亿元
D. 2008~2012年杭州市的GDP逐年增长
6. 如图，设（），则有
A. B.
C. D.

7. 在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是
A. 若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直
B. 若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点
C. 若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点
D. 若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径

8. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是
A. B.
C. D.

9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于
A. B. C. D.

10. 给出下列命题及函数，和的图象
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么。
则
A. 正确的命题是①④ B. 错误的命题是②③④
C. 正确的命题是①② D. 错误的命题只有③
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案
11. =__________
12. 把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为__________
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是__________（只需填上正确结论的序号）
14. 杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表（单位：分），设4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为，，则=__________分

15. 四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则| S1-S2|=__________（平方单位）
16. 射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm。动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出可取的一切值__________（单位：秒）

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。
17.（本小题满分6分）
如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）。连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条。

18.（本小题满分8分）
当满足条件时，求出方程的根

19.（本小题满分8分）
如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF。
求证：△GAB是等腰三角形。

20.（本小题满分10分）
已知抛物线与轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与轴相交于点C，且点A，C在一次函数的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当随着的增大而减小时，求自变量的取值范围。

21.（本小题满分10分）
某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片
（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率
（2）若规定：取到的卡片上序号是（是满足1≤≤50的整数），则序号是的倍数或能整除（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；
（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的。

22.（本小题满分12分）
（1）先求解下列两题：
①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；
②如图②，在直角坐标系中，点A在轴正半轴上，AC∥轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求的值。
（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出。

23.（本小题满分12分）
如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1。
（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=，。
①求关于的函数解析式和自变量的取值范围，并求出的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求的值。

2013年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．
1．（3分）（2013•杭州）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
轴对称图形．
分析：
根据轴对称的定义，结合各选项进行判断即可．
解答：
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确；
故选D．
点评：
本题考查了轴对称图形的知识，判断轴对称的关键寻找对称轴，属于基础题．

2．（3分）（2013•杭州）下列计算正确的是（　　）

A．
m3+m2=m5
B．
m3•m2=m6
C．
（1﹣m）（1+m）=m2﹣1
D．

考点：
平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；分式的基本性质．
分析：
根据同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质即可判断．
解答：
解：A、不是同类项，不能合并，故选项错误；
B、m3•m2=m5，故选项错误；
C、（1﹣m）（1+m）=1﹣m2，选项错误；
D、正确．
故选D．
点评：
本题考查了同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质，理解平方差公式的结构是关键．

3．（3分）（2013•杭州）在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（　　）

A．
AC⊥BD
B．
∠A+∠B=180°
C．
AB=AD
D．
∠A≠∠C

考点：
平行四边形的性质．
分析：
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B=180°．
解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°．
故选B．
点评：
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

4．（3分）（2013•杭州）若a+b=3，a﹣b=7，则ab=（　　）

A．
﹣10
B．
﹣40
C．
10
D．
40

考点：
完全平方公式．
专题：
计算题．
分析：
联立已知两方程求出a与b的值，即可求出ab的值．
解答：
解：联立得：，
解得：a=5，b=﹣2，
则ab=﹣10．
故选A．
点评：
此题考查了解二元一次方程组，求出a与b的值是解本题的关键．

5．（3分）（2013•杭州）根据2008～2012年杭州市实现地区生产总值（简称GDP，单位：亿元）统计图所提供的信息，下列判断正确的是（　　）

A．
2010～2012年杭州市每年GDP增长率相同

B．
2012年杭州市的GDP比2008年翻一番

C．
2010年杭州市的GDP未达到5500亿元

D．
2008～2012年杭州市的GDP逐年增长

考点：
条形统计图．
分析：
根据条形统计图可以算2010年～2011年GDP增长率，2011年～2012年GDP增长率，进行比较可得A的正误；根据统计图可以大约得到2012年和2008年GDP，可判断出B的正误；根据条形统计图可得2010年杭州市的GDP，可判断出C的正误，根据条形统计图可直接得到2008～2012年杭州市的GDP逐年增长．
解答：
解：A、2010年～2011年GDP增长率约为：=，2011年～2012年GDP增长率约为=，增长率不同，故此选项错误；
B、2012年杭州市的GDP约为7900，2008年GDP约为4900，故此选项错误；
C、2010年杭州市的GDP超过到5500亿元，故此选项错误；
D、2008～2012年杭州市的GDP逐年增长，故此选项正确，
故选：D．
点评：
本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

6．（3分）（2013•杭州）如图，设k=（a＞b＞0），则有（　　）

A．
k＞2
B．
1＜k＜2
C．

D．

考点：
分式的乘除法．
专题：
计算题．
分析：
分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．
解答：
解：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，
乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），
则k====1+，
∵a＞b＞0，
∴0＜＜1，
故选B．
点评：
本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．

7．（3分）（2013•杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（　　）

A．
若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直

B．
若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点

C．
若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点

D．
若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径

考点：
直线与圆的位置关系；命题与定理．
分析：
根据直线与圆的位置关系进行判断即可．
解答：
解：A、圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故本选项错误；
B、当两圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；
C、两条平行弦所在直线没有交点，故本选项正确；
D、两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误，
故选C．
点评：
本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理，解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系．

8．（3分）（2013•杭州）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
由三视图判断几何体．
分析：
由三视图可看出：该几何体是﹣个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2．根据正六棱柱的体积=底面积×高即可求解．
解答：
解：由三视图可看出：该几何体是﹣个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，
所以该几何体的体积=6××62×2=108．
故选C．
点评：
本题考查了由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问题的关键．

9．（3分）（2013•杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
解直角三角形．
专题：
计算题．
分析：
在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高．
解答：
解：根据题意画出图形，如图所示，
在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，
∴BC=ABsinA=2.4，
根据勾股定理得：AC==3.2，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴CD==．
故选B

点评：
此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．

10．（3分）（2013•杭州）给出下列命题及函数y=x，y=x2和y=
①如果，那么0＜a＜1；
②如果，那么a＞1；
③如果，那么﹣1＜a＜0；
④如果时，那么a＜﹣1．
则（　　）

A．
正确的命题是①④
B．
错误的命题是②③④
C．
正确的命题是①②
D．
错误的命题只有③

考点：
二次函数与不等式（组）；命题与定理．
分析：
先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．
解答：
解：易求x=1时，三个函数的函数值都是1，
所以，交点坐标为（1，1），
根据对称性，y=x和y=在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），
①如果，那么0＜a＜1正确；
②如果，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故本小题错误；
③如果，那么a值不存在，故本小题错误；
④如果时，那么a＜﹣1正确．
综上所述，正确的命题是①④．
故选A．
点评：
本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标，并准确识图是解题的关键．

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案
11．（4分）（2013•杭州）32×3.14+3×（﹣9.42）=　0　．

考点：
有理数的混合运算．
分析：
根据32×3.14+3×（﹣9.42）=3×9.42﹣3×（﹣9.42）即可求解．
解答：
解：原式=3×9.42﹣3×（﹣9.42）=0．
故答案是：0．
点评：
本题考查了有理数的混合运算，理解运算顺序是关键．

12．（4分）（2013•杭州）把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为　　．

考点：
实数大小比较．
专题：
计算题．
分析：
先分别得到7的平方根和立方根，然后比较大小．
解答：
解：7的平方根为﹣，；7的立方根为，
所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为﹣＜＜．
故答案为：﹣＜＜．
点评：
本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．

13．（4分）（2013•杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是　②③④　（只需填上正确结论的序号）

考点：
特殊角的三角函数值；含30度角的直角三角形．
专题：
探究型．
分析：
先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．
解答：
解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA==，故①错误；
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴cosB=cos60°=，故②正确；
∵∠A=30°，
∴tanA=tan30°=，故③正确；
∵∠B=60°，
∴tanB=tan60°=，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

14．（4分）（2013•杭州）杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表（单位：分），设4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为，，则=　4.75　分
杭州市某4所高中最低录取分数线统计表
学校
2011年
2012年
杭州A中
438
442
杭州B中
435
442
杭州C中
435
439
杭州D中
435
439

考点：
算术平均数．
分析：
先算出2011年的平均最低录取分数线和2012年的平均最低录取分数线，再进行相减即可．
解答：
解：2011年的平均最低录取分数线=（438+435+435+435）÷4=435.75（分），
2012年的平均最低录取分数线=（442+442+439+439）÷4=440.5（分），
则=440.5﹣435.75=4.75（分）；
故答案为：4.75．
点评：
此题考查了算术平均数，掌握平均数的计算公式是解题的关键，是一道基础题，比较简单．

15．（4分）（2013•杭州）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|=　4π　（平方单位）

考点：
圆锥的计算；点、线、面、体；圆柱的计算．
分析：
梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差．
解答：
解：AB旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×3=12π；
AC旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×2=8π，
则|S1﹣S2|=4π．
故答案是：4π．
点评：
本题考查了图形的旋转，理解梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差是关键．

16．（4分）（2013•杭州）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值　t=2或3≤t≤7或t=8　（单位：秒）

考点：
切线的性质；等边三角形的性质．
专题：
分类讨论．
分析：
求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；
解答：
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．
∴N为BC中点，
∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分为三种情况：①如图1，
当⊙P切AB于M′时，连接PM′，
则PM′=cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，
∴QP=4cm﹣2cm=2cm，
即t=2；
②如图2，
当⊙P于AC切于A点时，连接PA，
则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，
∴PM=1cm，
∴QP=4cm﹣1cm=3cm，
即t=3，
当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，
则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，
∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；

③如图1，
当⊙P切BC于N′时，连接PN′3
则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，
即t=8；
故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．
点评：
本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．（6分）（2013•杭州）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．

考点：
作图—复杂作图．
分析：
根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出Q点位置，进而利用垂直平分线的作法得出答案即可．
解答：
解：如图所示：发现：DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等．

点评：
此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识，熟练应用其性质得出系等量关系是解题关键．

18．（8分）（2013•杭州）当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．

考点：
解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组．
分析：
通过解一元一次方程组求得2＜x＜4．然后利用求根公式x=求得方程程x2﹣2x﹣4=0的根，由x的取值范围来取舍该方程的根．
解答：
解：由求得
，
则2＜x＜4．
解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+，x2=1﹣，
∵2＜＜3，
∴3＜1+＜4，符合题意
∴x=1+．
点评：
本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法，解一元一次不等式组．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．

19．（8分）（2013•杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．
求证：△GAB是等腰三角形．

考点：
等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
专题：
证明题．
分析：
由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易证得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE=∠CBF，则可得∠GAB=∠GBA，然后由等角对等边，证得：△GAB是等腰三角形．
解答：
证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，
∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，
在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠DAE=∠CBF，
∴∠GAB=∠GBA，
∴GA=GB，
即△GAB为等腰三角形．
点评：
此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

20．（10分）（2013•杭州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

考点：
二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
专题：
分类讨论．
分析：
根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8，然后分①n=8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围；②n=﹣8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围．
解答：
解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8．
分类讨论：①n=8时，易得A（﹣6，0）如图1，
∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，
∴抛物线开口向下，则a＜0，
∵AB=16，且A（﹣6，0），
∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴直线x==2，
要使y1随着x的增大而减小，则a＜0，
∴x＞2；

（2）n=﹣8时，易得A（6，0），如图2，
∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，
∴抛物线开口向上，则a＞0，
∵AB=16，且A（6，0），
∴B（﹣10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴直线x==﹣2，
要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，
∴x＜﹣2．

点评：
本题考查了二次函数的性质，主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，难点在于要分情况讨论．

21．（10分）（2013•杭州）某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片
（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；
（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；
（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．

考点：
游戏公平性．
分析：
（1）由在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，而很明显抽到其他序号学生概率不为100%．可知此游戏不公平；
（3）可设计为：先抽出一张，记下数字，然后放回．若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取．不断重复，直至抽满10个不同的数字为止．
解答：
解：（1）∵在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），
∴是20倍数或者能整除20的数有7个，
则取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率为：；

（2）不公平，
∵无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，
而很明显抽到其他序号学生概率不为100%．
∴不公平；

（3）先抽出一张，记下数字，然后放回．若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取．不断重复，直至抽满10个不同的数字为止．
（为保证每个数字每次被抽到的概率都是）
点评：
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

22．（12分）（2013•杭州）（1）先求解下列两题：
①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；
②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．
（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．

考点：
等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：
（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；
②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．
（2）从数学思想上考虑解答．
解答：
解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，
∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，
根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，
又∵∠EDM=84°，
∴∠A+3∠A=84°，
解得，∠A=21°；

②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，
∴点B（3，），
∵BC=3，
∴点C（3，+2），
∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，
∴A（1，+2），
∵点A也在反比例函数图象上，
∴+2=k，
解得，k=3；

（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）
点评：
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题．

23．（12分）（2013•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．
（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

考点：
四边形综合题．
分析：
（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；
（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式．
①首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；
②注意中心对称、轴对称的几何性质．
解答：
（1）证明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；
而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，
则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．

（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CPF，则．
而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=AB=，
又∵P为对称中心，则AP=CP=，
∴AE===．
如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，

P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．
S△APE==×2×=，
∵阴影部分关于直线AC轴对称，
∴△APE与△APN也关于直线AC对称，
则S四边形AEPN=2S△APE=；
而S2=2S△PFC=2×=2x，
∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x，
∴y===+﹣1．
∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，
∴2≤x≤4．
令=a，则y=﹣8a2+8a﹣1，当a==，即x=2时，y取得最大值．
而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=4﹣2﹣1=1．
∴y关于x的函数解析式为：y=+﹣1（2≤x≤4），y的最大值为1．
②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，
而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，
则EB=BF，即AE=FC，
∴=x，解得x=，
代入x=，得y=﹣2．
点评：
本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错．

2013年杭州市各类高中招生文化考试
数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
A
D
B
C
C
B
A
选择题解析
1、 D
2、 D
3、 B
4、 A
5、 D
解析：由图得，A：2010年到2011年的GDP增长略大于1000亿元左右，但2011年到2012年的GDP增长小于1000亿元，故两次增长率必不相同。B：2012年的GDP为小于8000亿元，而2008年的GDP大于4000亿元，所以没有翻一番。C：2010年GDP接近6000亿元，图中很显然超过5500亿元
6、 B
解析：甲阴影部分面积，而乙阴影部分的面积，则，由图得出，所以，则
7、 C
解析：A：如图则A不正确；B：如图则B不正确
C：如图则C正确；D：如图则D不正确
8、 A
解析：由俯视图和主视图易得此图形为正六边形，根据主视图得其六边形的边长为6，而正六边形由6个正三角形所组成，，则，而通过左视图可得，所以

9、 B
解析：通过，，可得出，，如图，过点做边的垂线交边于点，则根据，，得出

10、 A
解析：如图分析：交点坐标已给出，由图得
① 描述正确。
② 如果，则根据图像可得或，所以②描述错误。
③ 如果，则根据图像没有这样的存在，所以③描述错误。
④ 描述正确。

二、填空题
11、0； 12、； 13、②③④； 14、4.75； 15、； 16、或或

填空题解析
11、 0
12、
解析：7的平方根有正负，需注意
13、 ②③④
解析：根据题意，因为，，则该直角三角形是含角的直角三角形，则，令，，，作出图形
①，②，③，④，则答案为②③④。

14、 4.75
解析：
15、
解析：由题意可知，与的面积差即为以为轴旋转图形的侧面积与以为轴旋转图形的侧面积的差值，所以
16、 或或
解析：因为该圆的半径为，圆心P从Q点开始运动时会与圆3次相切，而，，所以为正三角形的中位线，

图1 图2 图3
(1) 当圆与正三角形边相切时，如图1，则，易得，，则，则
(2) 当圆与正三角形边相切时，如图2，事实上圆的半径刚好等于与射线之间的距离，所以，则，，同理，，而在此之间圆始终与边相切，所以
(3) 当圆与正三角形边相切时，如图3，则，易