初二数学-几何证明初步经典习题与答案).doc

几何证明初步练习题
编辑整理：临朐王老师
1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
推理过程：
作CM∥AB，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（ ，∴∠A+∠B+∠ACB=1800．
作MN∥BC，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800．

2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。
3、.如图，在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC。
4. 已知，如图，AE//DC，∠A=∠C，求证：∠1=∠B.
5. 已知：如图，EF∥AD，∠1 =∠2. 求证：∠AGD＋∠BAC = 180°.
反证法经典例题
6.求证:两条直线相交有且只有一个交点.
7.如图，在平面内，AB是L的斜线，CD是L的垂线。
求证：AB与CD必定相交。
8.求证：是无理数。
一．角平分线－－轴对称
9、已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD平分，BD⊥AD于D．AB＝9，ＡＣ＝13求ＤＥ的长

第9题图 第10题图 第11题图
分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．则BD＝DF．又BE＝EC，即DＥ为ΔBCF的中位线．∴DE=FC=(AC-AB)=2．
10、已知在ΔABC中，，AB＝AC，BD平分．求证：BC＝AB＋CD．　　　　　
分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：，，．∴，∴CD＝CE，∴BC＝AB＋CD．
11、如图，ΔABC中，Ｅ是BC边上的中点，DE⊥BC于E，交的平分线AD于D，过D作DM⊥AB于Ｍ，作DN⊥ＡC于N．求证：BM＝CN．
分析：连接DB与DC．∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC．易证ΔAMD≌ΔAND．
∴有DM＝DN．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴BM＝CN．
二、旋转
12、如图，已知在正方形ABCD中，Ｅ在BC上，Ｆ在DC上，BE＋DF＝EF．
求证：．

分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转得．∴．易证ΔAGE≌ΔAFE．
∴
13、如图，点E在ΔABC外部，D在边BC上，DE交AC于F．若，
ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC≌ΔADE．
分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转所得．则有．
∵，且．∴．又∵．
∴．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC≌ΔADE．
14、如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．
分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转即可．
∵．∴．
又∵，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．
平移

第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
三、平移
15、如图，在梯形ABCD中，BD⊥AC，AC＝８，BD＝１５．求梯形ABCD的中位线长．　　　　　
分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．
16、已知在ΔABC中，AB＝AC，D为AB上一点，Ｅ为AC延长线一点，且BD＝CE．求证：DM＝EM分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．
∴四边形ＤＣＥＦ为．∴ＤＭ＝ＥＭ．线段中点的常见技巧 --倍长
四、倍长
17、已知，ＡＤ为的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．　　　　
分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE≌ΔCDA．
∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．
18、如图，AD为ΔABC的角平分线且BD＝CD．求证：AB＝AC．　　　　
分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ．
∵．∴．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．
19、已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．　　
分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD≌ΔBCE．
∴．∴．
易证ΔBPQ≌ΔBFQ．得ＢＰ＝ＢＦ，又．∴ΔBPF为等边三角形．
∴ＢＰ＝２ＰＱ．
中位线
五、中位线、中线：
20、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，Ｅ和Ｆ分别为BD与AC的中点,
求证：．　　　　　　　　
分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD中位线，ＦＧ为ΔACD的中位线．
∴ＥＧ∥＝BC，FG∥＝AD．∵AD∥BC．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
21、已知，在中．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点． 求证：ＥＦ＝ＥＧ．　　　　　　　
分析：连接ＢE．∵，ＡＥ＝OＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．
∴．又ＥＦ为ΔAOD的中位线．∴．∴ＥＦ＝ＥＧ．
22、在ΔABC中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ．
求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）．　　　　
分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴RtΔCDG≌RtΔEDG（ＨＬ）．
∴ＥＧ＝ＣＧ．
∵ＤＥ＝ＢＥ．∴．
∵ＤＥ＝ＣＤ．∴．∴．
几何证明初步测验题（1）

一、选择题（每空3 分，共36 分）
1、使两个直角三角形全等的条件是（   ）
A、一组锐角对应相等 B、两组锐角分别对应相等
C、一组直角边对应相等 D、两组直角边分别对应相等
2、如图，已知AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝∠E．则∠C ＝（　　）
A．20°          B．25°    C．30°        D．40°

第2题图 第4题图 第6题图 第7题图
3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　）
A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角 C．有两个角是锐角   D．一个角是钝角，一个角是直角
4、如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOE，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是(   )
A．∠2=45°         B．∠1=∠3 C．∠AOD+∠1=180°        D．∠EOD=75°30’
5、下列说法中，正确的个数为（   ）
 ①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点
 ②三角形的中线都是过三角形的某一个顶点，且平分对边的直线
 ③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是直角三角形
 ④一个三角形的两边长分别是8和10，那么它的最短边的取值范围是2<b<18
A．1个 B．2个 C．3个   D．4个
6、如图，在AB=AC的△ABC中，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于F，E在AB边上，使ED⊥BC于D，∠AED=155°，则∠EDF等于（   ）
A、50°  B、65°    C、70°   D、75°
 7、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，则△DEC的周长为（   ）
A．8cm         B．10cm           C．12cm           D．14cm
8、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（    ）
A.      B.      C.5        D.4
9、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（    ）
A．仅小明对   B．仅小亮对  C．两人都对  D．两人都对  

第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10、如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（  ）．
①点P在∠A的平分线上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.
A．全部正确;               B．仅①和②正确; C．仅②③正确;            D．仅①和③正确
11、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是 （    ）
   ①∠1=∠   ②   ③∠+∠2=90° ④=3:4:5     ⑤
A．1      B．2       C．3        D．4
12、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　）
A．　　B．　　C．　　D．不能确定
二、填空题（每空3 分，共15 分）
13、命题“对顶角相等”中的题设是_________     ,结论是___________        。
14、请写出 “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：
15、如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：___________，使△ABD≌△ACD。

16、 对于同一平面内的三条直线、、，给出下列五个论断：①∥；②∥；③⊥；④∥；⑤⊥.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：_____.
17、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
① AD=BE；② PQ∥AE； ③ AP=BQ； ④ DE=DP；   ⑤ ∠AOB=60°．     
恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．
三、计算、简答题
18、 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足．
求证：AD垂直平分EF．
19、如图7，已知A、B、C在一条直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G。
求证：AE=DC，BF=BG；

第19题图 第20题图 第21题图 第22题图
20如果ABC三点不在一条直线上，那么AE=DC和BF=BG是否仍然成立明。                                       
21、已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
(1)求证：△CPB≌△AEB； (2)求证：PB⊥BE；
(3)图中是否存在旋转能够重合的三角形?若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
22、如图，已知：AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：∠3 =∠B．
23、如下图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，过D点作AB的垂线，交AC于E，交BC的延长线于F。
（1）∠1与∠B有什么关系？说明理由。
（2）若BC=BD，请你探索AB与FB的数量关系，并且说明理由。
24、阅读理解题
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识。请解决以下问题： 如图，我们把满足、且的四边形叫做“筝形”；
（1） 写出筝形的两个性质（定义除外）；
（2） 写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明；

参考答案

一、选择题
1、D    2、B 3、A 4、D 5、A 6、B  7、B 8、4 9、C
10、A  提示：连结AP．综合运用全等三角形、平行线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质证△PRA≌△PSA，AR=AS来解决问题．
11、C 12、B 
二、填空题
13、两个角是对顶角；它们相等；
14、有两个角相等的三角形是等腰三角形；　　　
15、∠B=∠C_或BD=CD等（答案不唯一）
16、答案不唯一，合理、正确即可；
17、①②③⑤
三、简答题
18、提示：由角平分线的性质定理，可得DE=DF，进而求得∠DEF=∠DFE，∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，所以AD垂直平分EF．
19、⑴提示：通过证明△ABE≌△DBC得出AE=DC；
通过证明△BFE≌△BGC得出BF=BG
⑵AE=DC仍然成立，但BF=BG不成立，证明略
20、(1)略；(2)略；(3)存在，把△CBP绕点B顺时针旋转90°就与△ABC重合
21、略
22、解：（1）∠1=∠B                                                
理由：由∠ACB=90°，知∠1+∠F=90°                     
又DF⊥AB，所以∠B+∠F=90°                     
则∠1=∠B                                                     
（2）AB=FB                                           
理由：在△ABC和△FBD中，
≌      
23、24．（1）= .
（2）=.
方法一：等边三角形中，

是等边三角形，

又

.
方法二：在等边三角形中，

而由是正三角形可得

24、

几何证明初步测验题（2）
一、选择题每空3分，共36 分）
1、等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其它两边长分别为（    ）
A．4cm，10cm   B．7cm，7cm   C．4cm，10cm或7cm，7cm      D．无法确定
2、若Ａ、Ｂ、Ｃ三点在同一条直线上，且AB=5，BC=3，那么AC=（     ）
A、8          B、2            C、２或８           D、4
3、如图，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若∠AOD=150°，则∠BOC等于               （    ）
    A．30°        B．45°    C．50°             D．60°
4、一架飞机向北飞行，两次改变方向后，前进的方向与原来的航行方向平行，已知第一次向左拐50°，那么第二次向右拐（     ）
A．40°；      B．50°；      C．130°；      D．150°．
5、 如图，AB∥EF，∠C=90°，则、、的关系为（    ）
A．       B． C．    D．
6、如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（     ）

第6题图 第7题图
7、如图，小明作出了边长为的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积。
然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了
正△A2B2C2的面积。用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的
面积……，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（    ）
A．        B．       C．        D．
8、如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，
若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为(    )
A．15°      B．20°     C．25°       D．30°

第8题图 第9题图 第10题图 第11题图
9、在等腰△ABC中，AB=AC，BE、CD分别是底角的平分线，DE∥BC，
图中等腰三角形有（      ） A、3个  B、4个 C、5个  D、6个
10、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD于点O，∠BAC=60°，若BC=，则此梯形的面积为(    )
A．2    B．   C．     D．
11、如图所示，在△ABC中∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于E点，则下列结论正确的是(    )
A．△AED∽△ACB  B．△AEB∽△ACD   C．△BAE∽△ACE   D．△AEC∽△DAC
12、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（     ）
A．对应点连线与对称轴垂直       B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分      D．对应点连线互相平行
二、填空题（每空3 分，共15 分）
13、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是_________°．

第13题图 第14题图
14、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ。则下列结论：① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ；④ DE=DP。其中正确的是                  。
15、如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,EF为中位线,若AB=2b,EF=a,
则阴影部分的面积______.                                                    
16、 如图，已知正方形 ABCD,E是BA延长上的点，且∠E=60°，现将△ADE绕点A顺时方向旋转到△AGF的位置，则当旋转角度∠EAF=_____________时，FG∥AB。
。

15题 16题 17题 18题
三、计算与简答题
17、如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC和EF的长。
18、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG=，求EB的长．
19、如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN。
（1）探究：之间的关系，并加以证明；    
（2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，在下图中画出相应的图形，并就结论说明理由。
 20、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上，并且EF＝AC． （1）求证：AF=CE；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论； （3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

参考答案

一、1、B 2、C 3、A 4、B； 5、D 6、C 7、A8、D9、D 10、D 11、C． 12、B
二、13、 130°.14、15、ab 16、60°
三、17、 4厘米和5厘米。
18、（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，
又∵AG=AE，AB=AD，
∴△GAD≌△EAB，
∴EB=GD；
（2）EB⊥GD，理由如下：连接BD，
由（1）得：∠ADG=∠ABE，则在△BDH中，
∠DHB=180°-（∠HDB+∠HBD）=180°-90°=90°，
∴EB⊥GD；
（3）设BD与AC交于点O，
∵AB=AD=2在Rt△ABD中，DB= ，
∴EB=GD= ．
19、（1）关系为MN=BM+NC。
（2）关系式：MN=CN—BM。
20、解：（1）∵∠ACB=900 ，BC⊥BC，∴DF∥AC，
又∵EF=AC，∴四边形EFAC是平行四边形，
∴AF=CE.                                                          
（2）当∠B=300时四边形EFAC是菱形.
（3）不可能.若四边形EFAC是正方形，则E与D重合，A与C重合，
不可能有∠B=30 0.                                                 

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