-新人教版九年级上《21.2解一元二次方程》教案.doc

人教版义务教育教材◎数学九年级上册<>

21.2 解一元二次方程

教学目标
1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程．
2. 了解一元二次方程求根公式的推导过程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．
3. 了解一元二次方程的根与系数的关系．
4. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
教学重点
1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程，明确各种解法的来源和特点．
2. 一元二次方程求根公式的推导过程．
教学难点
1. 在具体问题时，如何根据方程的特点恰当选择解方程的基本方法．
2. 一元二次方程求根公式的推导过程．
课时安排
7课时．

教案A

第1课时

教学内容
21.2.1 配方法（1）．
教学目标
1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤．
3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．
教学重点
运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想．
教学难点
通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程．
教学过程
一、导入新课
问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
通过问题，导入新课的教学．
二、新课教学
1．解决问题．
学生思考、讨论，教师引导，汇报解题过程和步骤．
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2＝1 500．
整理，得
x2＝25．
根据平方根的意义，得
x＝±5，
即
x1＝5，x2＝―5
可以验证，5和―5是方程10×6x2＝1 500的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．
强调：用方程解决实际问题时，要考虑所得的结果是否符合实际意义．
根据解题过程，类似地，解下列方程：
x2＝5，x2＝0，x2＝―5．
2．归纳总结．
教师引导学生总结上述方程的共同点，归纳出一般形式x2＝p，并根据p的取值范围得到方程的解的三种情况．
一般地，对于方程
x2＝p，
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不等的实数根
x1＝―，x2＝；
（2）当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根．
3．巩固拓展．
思考：如果把上面的方程稍作变形，如(x＋3)2＝5你还会解吗？
学生独立思考，并给出解法．引导学生先把(x＋3)看看成一个数，对方程两边开平方，得x＋3＝±，把它转化成两个一元一次方程x＋3＝和x＋3＝―．
于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝―3＋和x2＝―3―．这种解法实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个我们会解的一元一次方程．
三、巩固练习
1．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2．
解：设每年人均住房面积增长率为x，则
10(1＋x)2＝14.4，
化简得
(1＋x)2＝1.44．
直接开平方，得
1＋x＝±1.2，
即
1＋x＝1.2，1＋x＝―1.2．
所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝―2.2．
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝―2.2应舍去．
答：每年人均住房面积增长率应为20%．
2．教材第6页“练习”．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有哪些收获？
五、布置作业
习题21.2第1题（1）（2）（3）．

第2课时

教学内容
21.2.1 配方法（2）．
教学目标
1．了解配方法的概念，掌握配方法的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．
2．在经历用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．
教学重点
用配方法解题的基本步骤．
教学难点
二次项次数为1时，配方要把方程两边同时加上一次项次数一半的平方；二次项次数不为1时，先把二次项次数化为1．
教学过程
一、导入新课
让学生复述将次解一元二次方程的步骤，导入新课的教学．
二、新课教学
1．用配方法解方程．
探究：怎样解方程x2＋6x＋4＝0？
我们已经会解方程(x＋3)2＝5．因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数．所以可以直接降次解方程．那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
教师先让学生观察、尝试，引导学生运用学过的知识解方程．
学生在教师的引导下解方程x2＋6x＋4＝0．解题过程和步骤如下：
x2＋6x＋4＝0→x2＋6x＝－4→x2＋6x＋9＝－4＋9→(x＋3)2＝5，通过降次可得x＋3＝±，即x＋3＝，或x＋3＝－．
解一次方程得
x1＝－3＋，x2＝－3－．
通过验证，可知－3±是方程x2＋6x＋4＝0的两个根．
教师引导学生总结解方程的基本步骤，让学生了解关键是把方程的左边配成完全平方式的形式，然后解方程．
归纳：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．
2．实例详解
例 解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0； （2）2x2＋1＝3x； （3）3x2－6x ＋4＝0．
分析：（1）方程的的二次项系数为1，直接运用配方法．（2）先把方程化成2x2－3x ＋1＝0，它的二次项系数为2，为了便于配方需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．
解：略．
3．总结解一元二次方程x2＋p x＋q＝0的基本思路和具体步骤．
结合这几个方程的求解，让学生总结解一元二次方程x2＋p x＋q＝0的基本思路和具体步骤．要注意什么问题？
学生独立思考、讨论、总结．最后师生共同归纳．
基本思路是将含有未知数的项配成完全平方式．
具体步骤：（1）将q 移到方程右边；（2）在方程两边加上一次项系数p的一半的平方；（3）根据－q的取值讨论解的情况．
在此过程中要注意保证变形的过程是恒等变形．
4．总结一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p时，方程的实数根情况．
教师引导学生总结p＞0，p＝0，p＜0时，方程根的情况．
（1）当p＞0时，方程(x＋n)2＝p有两个不等的实数根．
x1＝－n－，x2＝－n＋；
（2）当p＝0时，方程(x＋n)2＝p有两个相等的实数根．
x1＝x2＝－n；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x都有(x＋n)2≥0，所以方程(x＋n)2＝p无实数根．
三、巩固练习
教材第9页“练习”第1、2题．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题第21.2第3题．

第3课时

教学内容
21.2.2 公式法（1）．
教学目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．了解公式法的概念．
教学重点
一元二次方程求根公式的推导．
教学难点
一元二次方程求根公式的推导．
教学过程
一、导入新课
总结用配方法解一元二次方程的步骤：
1．移项；
2．化二次项系数为1；
3．方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
4．原方程变形为(x＋n)2＝p的形式；
5．如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、新课教学
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），能否也用配方法的步骤求出方程的解呢？
教师引导学生分析、讨论，然后师生共同推导一元二次方程的求根公式．
已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0），移项，得
ax2＋bx＝－c．
二次项系数化为1，得
x2＋x＝－．
配方，得
x2＋x＋＝－＋，
即
＝．
因为a≠0，所以4a2＞0，式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）b2－4ac＞0
这时＞0，由＝得
x2＋＝±．
方程有两个不等的实数根
x1＝，x2＝．
（2）b2－4ac＝0
这时＝0，由＝可知，方程有两个不等的实数根
x1＝x2＝．
（3）b2－4ac＜0
这时＜0，由＝可知＜0，而x取任何实数都不能使＜0，因此方程无实数根．
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac．
归纳：由上可知，当Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．
当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可写为
x＝
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
三、巩固练习
教材第12页练习1第（1）（2）题．
四、课堂小结
这节课你学习了什么？有什么收获？还有哪些问题？
五、布置作业
习题第21.2第4题．

第4课时

教学内容
21.2.2 公式法（2）．
教学目标
1．进一步认识一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法．
2．能熟练运用公式法解一元二次方程．
教学重点
用公式法解一元二次方程．
教学难点
用公式法解一元二次方程．
教学过程
一、导入新课
复习一元二次方程求根公式的推导过程，导入新课的教学．
二、新课教学
1．用公式法解决实际问题．
教师引导学生阅读教材本章引言中的问题，用公式法解一元二次方程．
设雕像下部高x m，得方程
x2＋2x―4＝0．
用公式法解这个方程得
x＝＝＝－1±．
即
x1＝―1＋，x2＝―1―．
如果结果保留小数点后两位，那么，x1≈1.24，x2≈―3.24．
这两个根中，只有x1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部的高度应设计为约1.24 m．
2．用公式法解下列方程．
（1）x2－4x―7＝0； （2）2x2－2x＋1＝0；
（3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x．
解：（1）根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0可知，在方程x2－4x―7＝0中a＝1，b＝－4，c＝－7．
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0．
方程有两个不等的实数根
x＝＝＝2±，
即
x1＝2＋，x2＝2―．
（2）（3）解题步骤见教材第11、12页．
（4）方程化为x2－8x＋17＝0．
a＝1，b＝－8，c＝17．
Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0．
方程无实数根．
三、巩固练习
教材第12页练习1第（3）～（6）题．
四、课堂小结
这节课你学习了什么？有什么收获？还有哪些问题？
五、布置作业
习题第21.2第5题．

第5课时

教学内容
21.2.3 因式分解法．
教学目标
1．掌握用因式分解法解一元二次方程．
2．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
教学重点
用因式分解法解一元二次方程．
教学难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
教学过程
一、导入新课
分别用配方法和公式法解下列方程．
（1）2x2＋x＝0； （2）3x2＋6x＝0
教师引导学生分别用配方法和公式法进行解方程，复习用配方法和公式法解方程的基本步骤，导入新课的教学．
二、新课教学
1．提出问题
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2．
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？
2．分析解答
教师引导学生审题，找出已知条件或所求问题，根据等量关系列出方程求解．
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即
10x－4.9x2＝0．
在列出方程后，教师引导学生思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解这个方程？
学生思考、讨论，寻找其他方法．
教师在学生充分思考的基础上用因式分解的方式解这个方程．
方程10x－4.9x2＝0的右边是0，左边可以因式分解，得
x(10－4.9x)＝0．
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0．我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．所以
x＝0或10－4.9x＝0．
所以，方程x(10－4.9x)＝0的两个根是
x1＝0，x2＝≈2.04．
这两个根中，x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而x1＝0表示物体被抛离开地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m．
3．概括总结．
思考：解方程x(10－4.9x)＝0时，二次方程是如何降为一次的？
可以发现，上述解法中，由x(10－4.9x)＝0到x＝0或10－4.9x＝0的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解．使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
三、巩固练习
1．用因式分解法解下列方程．
（1）x(x－2)＋x－2＝0； （2）5x2－2x－＝x2－2x＋．
教师引导学生掌握用因式分解法解方程的关键，要先将方程化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
学生掌握这个方法后，再解这两个方程就比较简单了．
2．教材第14页练习．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．
总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
五、布置作业
习题21.2第6题．

第6课时

教学内容
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系．
教学目标
1．了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用．
2．掌握不解方程，应用根与系数关系解题的方法．
3．了解根与系数系关系的推导过程，在元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律．
教学重点
应用根与系数关系解决问题．
教学难点
根系关系的推导过程．
教学过程
一、导入新课
师：一元二次方程的一般形式是什么？
生：方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
师：你知道它的求根公式吗？
生：求根公式是x＝．
过渡：方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式x＝，不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，那么一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？
复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，从而导入新课的教学．
二、新课教学
1．思考1．
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2＋p x＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
教师引导学生进行思考、讨论，明晰解题思路和过程．
把方程(x－x1)(x－x2)＝0的左边展开，化成一般形式，得方程
x2－(x1＋x2) x＋x1x2＝0．
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p＝－(x1＋x2)，常数项q＝x1x2．
于是，上述方程的两个根的和、积与系数分别有如下关系：
(x1＋x2)＝－p，x1x2＝q．
2．思考2．
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？
根据求根公式可知，
x1＝，x2＝．
由此可得
x1＋x2＝＋＝＝－，
x1x2＝·＝＝．
因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
三、巩固练习
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
（1）x2－6x－15＝0； （2）3x2＋7x－9＝0；
（3）5x－1＝4x2．
教师让学生独立计算．
教师在学生计算时要让学生注意以下问题：一是可能会出现先求出一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积的情况；二是要把方程化为一元二次方程的一般形式再求两根和与积．三是不要把两根之和与积的关系搞混．
四、课堂小结
今天你学习了什么，有什么收获？
五、布置作业
习题21.2 第7题．

第7课时

教学内容
解一元二次方程复习课．
教学目标
1. 能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点．
2. 会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法．
教学重点
会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理．
教学难点
通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想．
教学过程
一、导入新课
师：同学们好，我们学习了第21章第2节解一元二次方程，今天就对这一及的内容进行梳理与复习．
二、新课教学
师：一元二次方程有哪些解法？
生：有配方法、公式法和因式分解法．
师：这些解法分别在什么情况下适用？
生：方程左边可以写成完全平方式的情况下适用配方法；公式法适用方程的一般式；方程的左边能化为两个乘积等于0的情况可用因式分解法解方程．
师：什么是“降次”？
生：在解方程的过程中，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程的方法就叫做“降次”．
师：在什么情况下一元二次方程有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
生：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．
师：一元二次方程的判别式和求根公式分别是什么？
生1：式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即△＝b2－4ac．
生2：当△≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可写为
x＝
的形式，这个式子叫做叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．
师：一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？
生：方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1 x2＝．
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
三、课堂小结
通过对这一节的整理和复习，你有什么收获？还有什么问题吗？
四、布置作业
习题21.2 第8、9、12题．

教案B

第1课时

教学内容
21.2.1 配方法（1）．
教学目标
1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤．
3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．
教学重点
运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想．
教学难点
通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程．
教学过程
一、导入新课
师：同学们好，我们上节学习了一元二次方程，你能说出什么是一元二次方程吗？
生：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
师：很好．一元二次方程的一般形式是什么？
生：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
师：我们今天就学习解一元二次方程．
二、新课教学
问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
教师引导学生审题，然后找出等量关系，列方程求解．
学生思考、讨论．最后师生合作，共同完成解方程．
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2＝1 500．
整理，得
x2＝25．
讲到这里后，教师引导学生：什么数的平方等于25？
学生回答：5或者－5的平方都等于25．所以x＝±5，即x1＝5，x2＝―5．
方程解后应该怎么办？教师引导学生解方程后要进行检验．用方程解决实际问题时，要考虑所得的结果是否符合实际意义．
最后验证，5和―5是方程10×6x2＝1500的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．
解决这个问题后，教师让学生解方程x2＝0和x2＝―25．
学生很容易得出方程x2＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝0；方程x2＝―25无解．
通过这三个方程，教师引导学生对它们进行过归纳总结．
一般地，对于方程
x2＝p，
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不等的实数根
x1＝―，x2＝；
（2）当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根．
探究：解方程(x＋3)2＝5．
由方程x2＝25得x＝±5可知，方程(x＋3)2＝5可以化为
x＋3＝±，
即
x＋3＝，或x＋3＝―．
于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为
x1＝―3＋，x2＝―3―．
上面的解法中，由方程(x＋3)2＝5得到x＋3＝，或x＋3＝―，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程(x＋3)2＝5转化为我们会解的方程了．
三、巩固练习
教材第6页练习．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有哪些收获？
五、布置作业
习题21.2第1题（1）（2）（3）．

第2课时

教学内容
21.2.1 配方法（2）．
教学目标
1．了解配方法的概念，掌握配方法的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．
2．在经历用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．
教学重点
用配方法解题的基本步骤．
教学难点
二次项次数为1时，配方要把方程两边同时加上一次项次数一半的平方；二次项次数不为1时，先把二次项次数化为1．
教学过程
一、导入新课
解下列方程：
（1）3x2－1＝5 （2）4(x＋1)2－16＝0
点评：上面的方程都能化成x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的的形式，那么可得
x＝±或x＋n＝(p≥0)．
你能解方程x2＋6x＋4＝0吗？
二、新课教学
1．配方法．
教师引导学生思考、讨论，明确解题思路与过程．
由方程(x＋3)2＝5可直接降次解方程想到把x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解．
x2＋6x＋4＝0
↓移项
x2＋6x＝－4
↓两边加9，是左边配成x2＋2bx＋b2的形式
x2＋6x＋9＝－4＋9
↓左边写成完全平方形式
(x＋3)2＝5
↓降次
x＋3＝±
↓
x＋3＝，或x＋3＝－
↓解一次方程得
x1＝－3＋，x2＝－3－
可以验证，－3±是方程x2＋6x＋4＝0的两个根．
归纳：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．
2．解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0； （2）2x2＋1＝3x； （3）3x2－6x ＋4＝0．
分析：（1）方程的的二次项系数为1，直接运用配方法．（2）先把方程化成2x2－3x ＋1＝0，它的二次项系数为2，为了便于配方需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．
解：（1）移项，得
x2－8x＝－1．
配方，得
x2－8x＋42＝－1＋42．
(x－4)2＝15．
由此可得
x－4＝±，
x1＝4＋，x2＝4－．
（2）略．
（3）移项，得
3x2－6x＝－4．
二次项系数化为1，得
x2－2x＝－．
配方，得
x2－2x＋12＝－＋12，
(x－1)2＝－．
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
3．总结．
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p的形式，那么就有：
（1）当p＞0时，方程(x＋n)2＝p有两个不等的实数根
x1＝－n－，x2＝－n＋；
（2）当p＝0时，方程(x＋n)2＝p有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x都有(x＋n)2≥0，所以方程(x＋n)2＝p无实数根．
三、巩固练习
1．解方程x2＋2x－35＝0
分析：显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式．
解：移项，得
x2－2x＝35．
配方，得
x2－2x＋12＝35＋1．
(x－1)2＝36．
由此可得
x－1＝±6
x1＝7，x2＝－5
可以验证x1＝7，x2＝－5都是x2＋2x－35＝0的根．
2．教材第9页“练习”第1、2题．
学生独立完成，小组内订正．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题第21.2第3题．

第3课时

教学内容
21.2.2 公式法（1）．
教学目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．了解公式法的概念．
教学重点
一元二次方程求根公式的推导．
教学难点
一元二次方程求根公式的推导．
教学过程
一、导入新课
教师引导学生复习上节内容，导入新课的教学．
二、新课教学
探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
能否也用配方法的出这个方程的解呢？
教师引导学生思考、讨论，然后共同探究解题过程．
我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题．
移项，得
ax2＋bx＝－c．
二次项系数化为1，得
x2＋x＝－．
配方，得
x2＋x＋＝－＋，
即
＝．
因为a≠0，所以4a2＞0，式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）b2－4ac＞0
这时＞0，由＝得
x2＋＝±．
方程有两个不等的实数根
x1＝，x2＝．
（2）b2－4ac＝0时，方程有两个不等的实数根x1＝x2＝．
（3）b2－4ac＜0时，方程无实数根．
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac．
归纳：由上可知，当Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．
当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可写为
x＝
是形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
三、巩固练习
1．用公式法解下列方程．
（1）2x2－4x－1＝0 （2）5x＋2＝3x2
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
解：（1）a＝2，b＝－4，c＝－1
b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝24＞0
x＝
∴x1＝，x2＝
（2）将方程化为一般形式
3x2－5x－2＝0
a＝3，b＝－5，c＝－2
b2－4ac＝(－5)2－4×3×(－2)＝49＞0
x＝
x1＝2，x2＝－
2．教材第12页练习1第（1）（2）题．
四、课堂小结
本节课应掌握
1．求根公式的概念及其推导过程．
2．公式法的概念．
五、布置作业
习题第21.2第4题．

第4课时

教学内容
21.2.2 公式法（2）．
教学目标
1．进一步认识一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法．
2．能熟练运用公式法解一元二次方程．
教学重点
用公式法解一元二次方程．
教学难点
用公式法解一元二次方程．
教学过程
一、导入新课
复习一元二次方程求根公式的推导过程，导入新课的教学．
二、新课教学
1．用公式法解下列方程．
（1）x2－4x―7＝0； （2）2x2－2x＋1＝0；
（3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x．
解：（1）根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0可知，在方程x2－4x―7＝0中a＝1，b＝－4，c＝－7．
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0．
方程有两个不等的实数根
x＝＝＝2±，
即
x1＝2＋，x2＝2―．
（2）a＝2，b＝－2，c＝1．
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝0．
方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝＝―＝．
（3）方程化为5x2－4x－1＝0．
a＝5，b＝－4，c＝－1．
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0．
方程有两个不等的实数根
x＝＝＝，
x1＝1，x2＝－．
（4）方程化为x2－8x＋17＝0．
a＝1，b＝－8，c＝17．
Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0．
方程无实数根．
2．用公式法解决实际问题．
教师引导学生阅读教材本章引言中的问题，用公式法解一元二次方程．
设雕像下部高x m，得方程
x2＋2x―4＝0．
用公式法解这个方程得
x1≈1.24，x2≈―3.24．（结果保留小数点后两位）
这两个根中，只有x1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部的高度应设计为约1.24 m．
三、巩固练习
1．用公式法解关于x的方程：x2－2ax－b2＋a2＝0．
x＝＝a±│b│．
2．教材第12页练习1第（3）～（6）题．
四、课堂小结
本课应掌握：
1．应用公式法解一元二次方程．
2．初步了解一元二次方程根的情况．
五、布置作业
习题第21.2第5题．

第5课时

教学内容
21.2.3 因式分解法．
教学目标
1．掌握用因式分解法解一元二次方程．
2．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
教学重点
用因式分解法解一元二次方程．
教学难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
教学过程
一、导入新课
我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法——因式分解法．
二、新课教学
1．因式分解．
（1）x2－5x； （2）2x(x－3)－5(x－3)； （3）25 x 2－16；
（4）x2＋12x＋36； （5）4x2＋4x＋1
分析：复习因式分解知识，为学习本节新知识作铺垫．
2．若ab＝0，则可以得到什么结论？
分析：由积为0，得到a或b为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫．
3．试求下列方程的根：
（1）x(x－5)＝0； （2）(x－1)(x＋1)＝0； （3）(2x－1)(2x＋1)＝0；
（4）(x＋1)2 ＝0； （5）(2x－3)2＝0．
分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
4．试求下列方程的根．
①4x2－11x＝0；x(x－2)＋(x－2)＝0；(x－2)2－(2x－4)＝0．
②25y2－16＝0；(3x＋1)2－(2x－1)2＝0；(2x－1)2＝(2－x)2．
③x2＋10x＋25＝0；9x2－24x＋16＝0．
④5x2－2x－＝x2－2x＋；2x2＋12x＋18＝0．
分析：观察①②③三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.
④中的方程结构较复杂，需要先整理.
5．选用合适方法解方程．
x2＋x＋＝0；x2＋x－2＝0；(x－2)2 ＝2－x；2x2－3＝0．
分析：四个方程最适合的解法依次是利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.
归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
三、巩固练习
1．用因式分解法解下列方程．
（1）x(x－2)＋x－2＝0； （