2023年全国中学生数学奥林匹克%28预赛%29暨2023年全国高中数学联合竞赛.pdf
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1、2023(6):30-37.引用格式:2 0 2 3 年全奥林匹克(预赛)暨2 0 2 3 年全国高合竞赛.中等数学文章编号:10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 6-0 0 3 0-0 8中图分类号:G424.79文献标识码:A竞赛之窗中等数学302023年全国中学生数学奥林匹克(预赛)暨2 0 2 3 年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题(每小题8 分,共6 4分)1.设复数z=9+10i.若正整数n满足1z|2023,则n的最大值是2.若正实数a、b 满足alb=2,algb=5,则(ab)gab的值是3.将一枚均匀的色子独立投掷三次,所得的点数依次记为xy、z.事件“CCC”
2、发生的概率是4.若平面上非零向量、满足工,.=2ll,.=3 1l,则1l的最小值是5.方程sinx=cos2x的最小的2 0 个正实数解之和等于6.设、b、c 是正数,b0)内,且Q与有唯一的公共点(8,9).则厂的焦距是8.八张标有A、B、C、D、E、F、G、H的正方形卡片构成图1.现逐一取走这些卡片,要求每次取走一张卡片时,该卡片与剩下的卡片中至多有一张有公共边(如可按D、A、B、E、C、F、G、H的次序ABCDEFGH图1取走卡片,但不可按D、B、A、E、C、F、G、H的次序取走卡片).则取走这八张卡片的不同次序的数目是二、解答题(共56 分)9.(16 分)平面直角坐标系x0y中,抛
3、物线:y=4x,F 是的焦点,AB是上的两个不重合的动点,使得线段AB的一个三等分点P位于线段OF(含端点)上,记Q为线段AB的另一个三等分点.求点Q的轨迹方程.10.(20分)已知三棱柱Q:ABC-A,BC)的9条棱长均相等.记底面ABC所在平面为.若Q的另外四个面(即面ABC、A BB,A、ACC,A、BCC,B,)在上投影面积从小到大重排后依次为2 V3、3 V 3、4V 3、5V 3.求Q的体积.11.(20分)求出所有满足下面要求的不小于1的实数t:对任意a、b E-1,订,总存在c、d E-1,t ,使得(a+c)(b+d)=1.加试一、(40 分)如图2,Q是以AB为直径的固定的
4、半圆弧,是经过点A及Q上另一定2sinx代人方程,整理得将cos 2x=15.130元,312023年第6 期点T的定圆,且的圆心位于ABT内.设P是Q的弧TB(不含端点)上的动点,C、D 是上的两动点,满足:点C在线段AP上,点C、D 在直线AB的异侧,且CD工AB.记CDP的外心为K.证明:PTABD图2(1)点K在TDP的外接圆上;(2)K是定点.二、(40 分)正整数n称为“好数”:若对2”2m任意不同于n的正整数,均有nm这里1=x-,x 表示不超过实数的最大整数.证明:存在无穷多个两两互素的合数都是好数.三、(50 分)求具有下述性质的最小正整数k:若将1,2,h中的每个数任意染成
5、红色或蓝色,则或者存在9个互不相同的红色的数x,x,x,满足x+x+xx,或者存在10 个互不相同的蓝色的数yi,y2,Yio满足yi+y2+.+yy1o.四、(50 分)设a=1+10-4.在2 0 2 3 2 0 2 3的方格表的每个格中填人区间1,a中的一个实数.设第i行的总和为x,第i列的总和为y,2 023.求2 的最大值(答XjX2 X2023案用含的式子表示).参考答案第一试注意到,注意到,1z2/=1z/=(V92+10)=(V181).由1z?/=181132 023,知n的最大值是2.2.20.由6 lga=10/galg62g6=2一a=(ab)g ab=(ab)g a+
6、lg b gIgaa=522=20.13.27由C,=CC,=CC,=C4,知当xyzE1,2,6时,事件“CC 0,并设=(x,y).由=31l=ax=3b.故1y/=/?+y?/2xy36.20=2/3.a6取a=3,b=V2,此时x=y=V6,1yl取到最小值2/3.(2sin x-1)(sin x+1)=0元53x=2k元+=2k元+=元,2 k元+=元(kEZ).6622k元上述解可写成x=会元+兰(kEZ),其中36k=0,1,,19对应最小的2 0 个正实数解,它们的和为192k21920元+.20元元+一二一元=0363260即中等数学32=130元.56.一18由条件知ax?
7、-bx+c=a(x-a)(x-b)=ax-(a+ab)x+ab.比较系数得b=a?+ab,c=a?b.24aa于是,b=一a1-a24a则a+b-c=a+a23=a+a+a1-a2a由0 ab=,知二 ac0.从而,、b、c 是一个三角形的三边长当且仅当a+cb,即42aaa+1-a1-a结合a0时,f(x)连续且严格递增.故a+b-c的取值范围是27即-187.10.根据条件,设圆Q的圆心为P(r,r).则(r-8)2+(r-9)2=r2r=5或r=29.因为点P在厂内,所以,r=5.记点A为Q与厂的公共点.如图3,重新标记原图中的八张卡片,现将每张卡片视为顶点,有公共边的两张卡片所于是,椭
8、圆厂在点A处的切线为8x9y891,其法向量可取为n=622a由条件知1也是圆Q的切线.则n/PA.32 27而 PA=(3,4),故622a6481又1,解得=160,62=135.a因此,的焦距是2 V/a2-62=10.8.392.-3-2-13P012图3对应的顶点之间连一条边,得到一个八阶图,该图可视为图4中的m+n+2阶图G(m,n)在m=3,n=3时的特殊情况.一m-2-1012nG(m,n)P图4取卡片(顶点)的规则可解释为:(1)若顶点P已取走,则以下每步取当前标号最小或最大的顶点,直至取完;(2)若顶点P未取走,则必为某个C(m,n)(m、n 0)的情况,此时若m=0,则将
9、P视为-1号顶点,归结为(1)的情况;若m0,n=0,则将P视为1号顶点,归结为(1)的情况;若m、n 1,则当前可取P或-m号顶点或n号顶点,分别归结为(1)或G(m-1,n)或G(m,n-1)的情况.设G(m,n)的符合要求的顶点选取次序数为f(m,n),本题所求即为f(3,3).由(1)(2)知f(m,0)=2m*(m0),f(0,n)=2*(n0),AD=V5.故Q的高h=VAA不妨设AP=PQ=QB.332023年第6 期且f(m,n)=2m+n+f(m-1,n)+f(m,n-1)(m、n l).由此可依次计算得:f(1,1)=12,f(1,2)=f(2,1)=28,f(1,3)=f
10、(3,1)=60,f(2,2)=72,f(2,3)=f(3,2)=164,f(3,3)=392.故所求数目是3 92.二、9.设 A(x,y),B(x2,y2).2x+x22221+2则P33易知F(1,0).由于点P位于线段OF上,于是,2*2 0.1,22=0.33设yi=t,y2=-2t.则=%,*2=2=t?.42x+x22此时,E0,1,且由点A与32B不重合知t0,从而,t?E(0,2 .设Q(x,y0).2+2x23则x一34yo=4+22=一t.34因此,一33注意到,0,,故点Q的轨2二4243迹方程是?3210.设点A、B、C,在平面上的投影分别是D、E、F.则面A,BC/
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