基于动力学平均场的光晶格超冷原子量子模拟.pdf
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1、国防科技大学建校 70 周年专题基于动力学平均场的光晶格超冷原子量子模拟*谭辉1)曹睿1)李永强1)2)1)(国防科技大学理学院,长沙410073)2)(国防科技大学,极端条件物理与应用湖南省重点实验室,长沙410073)(2023年 4月 29 日收到;2023年 6月 17 日收到修改稿)随着原子冷却技术与光晶格技术的发展,光晶格与超冷原子气体组成的量子系统已经成为量子模拟中的有力工具.光晶格纯净和高度可控的性质赋予其强大的调控能力,如今,人们可以模拟更复杂和有趣的物理现象,从而加深对量子多体物理的认识.本文综述了近年来本课题组利用玻色动力学平均场理论对强关联区间的光晶格玻色体系进行的一系
2、列研究,包括多组分玻色体系、高轨道玻色体系以及存在长程相互作用的体系等.通过玻色动力学平均场理论的计算,揭示了从弱相互作用区间到强相互作用区间出现的丰富物理现象,包括不同磁序的量子相、多步凝聚、超固体相以及高轨道体系中的自旋-角动量耦合和阻挫效应.关键词:冷原子量子模拟,玻色动力学平均场理论,量子相变PACS:37.10.JkDOI:10.7498/aps.72.202307011引言量子模拟简而言之就是利用其他可控的量子多体系统对真实复杂量子系统进行实验或理论研究的一种方法1.光晶格中的超冷原子气体由于系统参数可控和成熟的实验技术,已经成为了一个完善的量子模拟实验平台2,3.光晶格通常是由相
3、干激光束形成的,通过控制激光的数目和角度来实现不同维度46和不同结构711的周期性晶格结构,从而模拟固体中的晶格.在光晶格中,人们可以自由调节晶格深度6,可以研究晶格无序性,还可以设计出有等效磁场的系统,其磁场强度可以达到目前固体物理实验室中最大磁场的数百倍12.除此之外,人们可以精确控制激光的相对相位,实现可编程的连续可调晶格系统,这些实验技术大大拓展了光晶格的调控和模拟能力13,14.中性原子在激光的交变电场中被极化,从而受到偶极力被陷俘在这样的周期性光晶格中15.根据激光波长的不同,光晶格中的原子被陷俘在波结或波腹,这种相干激光束产生的周期性晶格势会产生一系列布洛赫能带.一般而言,原子在
4、转移到光学晶格之前就被冷却到了足够低的温度,因此在绝热地装载在光晶格后只有最低的布洛赫带被填充,当晶格势足够深时,该体系可以用一个简单的单能带紧束缚模型描述16,该模型主要包含原子在格点上的相互作用以及在格点间的跃迁振幅,通过调节晶格深度或者通过费什巴赫(Feshbach)共振1719改变跃迁振幅与原子间相互作用的比值大小可以观察到丰富的量子相.1995 年,玻色-爱因斯坦凝聚首次在实验中被观察到20,21,六年后 Greiner 研究组6成功将原子装载在光晶格中并观察到了著名的莫特绝缘相,莫特绝缘相是一个典型的强关联相,由于原子间的相互作用非常强,原子局域在各个格点上,每个格点上的粒子数都是
5、整数.这一想法最开始来自 Jaksch和他的同事22,他们提出光晶格中的原子可以模*国家自然科学基金(批准号:12074431,12374252)和湖南省杰出青年科学基金(批准号:2021JJ10044)资助的课题.通信作者.E-mail:li_2023中国物理学会ChinesePhysicalSocietyhttp:/物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-1拟固体材料中的电子行为,并模拟哈伯德模型.在Greiner 等的实验之后,利用光晶格中的超冷原子进行量子模拟的实验和理论研究如雨后春笋般大量涌现.基于光晶格中超冷原子的量子模拟也成
6、为了现代物理中不可或缺的一部分2331.随着实验技术的发展,人们开始对自旋玻色体系进行研究32,这里的自旋可以是原子不同的超精细态,也可以是不同种类的原子.在这样的体系中,自旋关联起着重要作用,并且会带来不同于标量玻色子体系的物理现象.在最近的实验中,旋量超冷玻色体系已经被实现了3337,并出现了非常广泛的研究,如自旋混合38,39、自旋波40,41、自旋动力学4246、自旋图案4749以及相变5052.这些实验为研究自旋关联凝聚体中的量子现象提供了新的路径,也激起了对光晶格中旋量玻色气体的进一步研究5358.此外,研究表明:在外加磁场下,体系基态的简并被打破,自旋相互作用与原子间短程相互作用
7、的竞争会引起丰富的强关联量子相31,32,59,60.除了原子间的短程相互作用,长程相互作用也是强关联体系中的一个重要组成部分,具有长程相互作用的体系倾向于形成新的量子相61.长程相互作用通常出现在材料科学中,并与短程相互作用竞争导致空间调制相的出现62.在光晶格超冷原子体系中有两种方式可以带来长程相互作用:一是利用超冷原子间的偶极力61;二是将原子与高精细腔耦合,腔场自洽地将所有原子耦合在一起,可以等效地认为原子间具有长程相互作用6366.偶极玻色-爱因斯坦凝聚体67、极性分子68和耦合到光学腔63,69的玻色-爱因斯坦凝聚体的实验实现,为具有长程相互作用的量子气体的研究开辟了新的道路,也为
8、研究具有新奇性质的量子相提供了更多的途径.此外,轨道自由度也是量子材料中重要的组成部分,其与自旋自由度、电荷自由度等一起构成了量子材料的物理特性.对于轨道自由度的研究,极大地丰富了人们对于基础物理机制的认知.在冷原子量子模拟中,这种高轨道原子系统具有的空间各向异性,带来了丰富的物理现象7079.在实验方面,随着技术的不断提高,高轨道冷原子的相关实验也取得了丰硕的成果.最早在实验室观测到 p 能带现象是 2007 年由 Bloch 研究组80实现的,之后汉堡大学的 Hemmerich 小组81,82利用二分晶格px+ipy(bipartitelattice)实现了正方晶格的 p 轨道玻色凝聚,并
9、观测到 p 能带玻色系统中存在 的手征超流.近年来,随着实验技术的不断提高,三角晶格、六角晶格的 p 轨道玻色系统和高轨道费米系统83,84也已经被实现,并观察到了非常有趣的物理现象75,8589.总的来说,光晶格中的超冷原子为量子多体问题的模拟提供了理想的平台,在凝聚态物理、统计物理、量子化学、高能量物理等领域中都起着重要作用90.第 2 部分详细介绍玻色动力学平均场理论,该理论对于研究高维强关联体系是非常有效的.第 3,4,5 部分分别介绍了我们近几年在旋量玻色体系、存在长程相互作用体系、高轨道玻色体系的研究.最后是总结和展望.2玻色动力学平均场理论在多体系统中,由于粒子间复杂的相互作用,
10、整个体系是密切关联在一起的,因此理论求解是非常困难的.要处理多体系统,只能采取近似处理、数值求解的方法.目前研究多体系统的方法有平均场理论、密度矩阵重整化群、量子蒙特卡罗方法、动力学平均场理论(dynamicalmean-fieldtheory,DMFT)、精确对角化等.本文主要介绍玻色动力学平均场理论(Bosonicdynamicalmean-fieldtheory,BDMFT).动力学平均场理论的研究始于 1989 年,Vollh-ardt 和 Metzner91研究发现无穷维度下 Fermion-Hubbard 模型可以进行简化.同年,Hartmann92,93指出在无穷维下关联将变得局
11、域,动量将不再重要,这种局域的关联具有动力学属性,任何非局域的关联效应都可以用一个静态的平均场描述.之后,1991 年,Jani94利用动力学干涉势近似理论给出了无穷维下 Hubbard 模型的格林函数和自能的泛函方程.在此基础上,Georges 与 Kotliar95利用 Anderson 杂质模型将 DMFT 的自洽方程推广到了 Hubbard 模型,DMFT 的基本框架构建完成.从 1989 年开始,到 1991 年结束,短短三年的时间,动力学平均场理论就建立完成,动力学平均场理论被广泛地用于材料计算、多体系统等,拓展了数值求解物理问题的计算方法,是处理多体问题的一种高效的计算手段.物理
12、学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-2动力学平均场的核心思想是无穷维极限下系统的局域性.在无穷维度下,自能是严格局域的,系统的空间涨落被冻结,只剩下了局域的量子涨落,此时就可以将多体系统解耦成单体问题,因此动力学平均场理论是一种考虑了局部量子涨落的数值方法,如图 196所示.在无穷维度下自能是严格局域的,因此动力学平均场理论对于低维度问题的计算误差比较大,但随着研究发现,二维、三维的多体系统中动力学平均场理论的结果也令人满意9799.因此,动力学平均场理论是计算二维及以上维度强关联、弱耦合区间的一个主要方法.Boson reservoir
13、(normal)Boson reservoir(BEC)TimeCorrelated latticebosons图1玻色动力学平均场示意图.通过与普通玻色子热库和玻色-爱因斯坦凝聚热库耦合96,多体格点问题退化为一个单格点问题Fig.1.Schematic picture of BDMFT.In BDMFT,themany-body lattice problem is reduced to a single latticeproblemcouplingwithnormalBosonicreservoirandreser-voirofBose-Einsteincondensate(BEC)96
14、.考虑一个一般的 Bose-Hubbard 模型,其哈密顿量可写为H=i,j,(tbi,bj,+H.c.)+12i,U ni,(ni,)i,ni,(1),bi,(bi,)ni,bi,bi,ti,jU其中 表示不同组分的玻色子,是格点 i 上 n 组分玻色子的产生(湮灭)算符,是格点 i 处 n 组分玻色子的粒子数算符,为跃迁振幅,表示最近邻格点,和 分别是相互作用和化学势,为克罗内克符号.在巨正则系综下,可以把系统的配分函数写为96,100,101Z=Db,beSb,b,(2)Db,b=i,dbi,dbi,bi,式中,此处的 是一个复数场.对应的作用量可写为S b,b=0d(i,bi,()bi
15、,()+H()=0di,bi,()()bi,()i,j,t(bi,()bj,()+c.c.)+12i,Uni,()(ni,(),(3)=ittH()=1/(kBT)kBS0SS(0)S0i=0式中,是根据时间 定义的虚时;为虚时下的体系哈密顿量;,其中 为玻尔兹曼常数,T 为体系的温度.可以将作用量分成 3 个部分 ,和 ,其中,是只有格点 的有效作用量,即S0=0db0,()()b0,()+12,Un0,()(n0,();(4)Si=0 是仅包含了 格点与其周围格点的跃迁过程的作用量,S=0di,t(b0,()bi,()+c.c.)0dS();(5)S(0)i=0最后的 则包含了所有跟 格点
16、无关的项,S(0)=0di=0,bi,()()bi,()i,j,t(bi,()bj,()+c.c.)+12i=0,Uni,()(ni,(),(6)式中的 是除了 0 格点外所有的最近邻的求和符号.因此,可以将系统的配分函数写成Z=Db0,b0,eS0(D(0)b0,b0,eSeS(0).(7)S(0)考虑到,描述的系综平均值可以写成A0=1Z(0)D(0)b0,b0,AeS(0),(8)物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-3代入(7)式,配分函数被写成Z=Db0,b0,eS0Z(0)eS0,(9)eS0i,()=bi,()0将 展开到
17、二阶,引入超流序参量 和连通格林函数G(0)i,j(1,2)=bi(1)bi(1)0bi(1)bi(1)0(bj(2)bj(2)0bj(2)bj(2)0)T,(10)最终可以将配分函数写成Z=Z(0)Db0,b0,eS0exp0di,tb0,()i,()+b0,(),i()+0d1d2i,j,ttG(0)i,j(1,2).(11)(i=0)观察(11)式的形式,可以定义一个有效的杂质格点 的配分函数ZimpZZ(0)=Db0,b0,eSimp,(12)其中杂质格点的作用量可写成Simp=0d1d2(b0(1)b0(1)TG10,(1 2)(b0(2)b0(2)+0d12Un0()(n0()i,
18、t(b0()i,()+c.c.),(13)(13)式中引入了 Weiss 格林函数,有G10,(1 2)=(1z)+G(0)i,j,(14)zt zt其中,是泡利矩阵.由于考虑的是高维情况,为了使得此时动能不发散,需要对跃迁项做变换,z 是配位数96,97,102.其原因是在计算最近邻跃迁的过程中,会多出一个配位数 z,因此在无穷维度下,会出现动能发散的情况,故需要在此处进行一个修正.上面的这种将杂质格点从整个多体系统中解耦出来,变成一个杂质格点与热浴耦合的方法,被称为“空腔方法”96,97,103.在松原频率的表象下,Weiss 格林函数可写成G10,(in)=(inz+)tti,jG(0)
19、i,j(in),(15)n=2n/其中,是松原频率.Weiss 格林函数满足 Dyson 方程:G10,=imp(in)+G1lat(in),(16)imp式中,是杂质格点的自能;杂质格点的格林函G1lat(in)数 满足G1lat(in)=k1inz+imp(in)k,(17)k(k,in)imp(in)impG10,(in)impG10,(in)其中,是色散关系.在这里,近似认为自能是个局域的量,即 .这个近似在系统处于无穷维度时是严格成立的,在高维下基本符合.但这种近似无法处理由空间关联所带来的物理现象,对于长程相互作用、自旋液体等物理问题无法得到很好的结果.现在,和 互相包含了对方,D
20、MFT 的自洽回路已形成.给 Weiss格林函数一个试探值,就可以求解作用量(13)式,之后就可求出自能 等物理量,利用 Dyson 方程(16),可以得到新的 ,构成一个自洽回路.在上面的自洽过程中,求解作用量是非常困难的,因此比较好的方法是将作用量映射到可以求解的模型上.这个可解的模型要能够较为完美地描述杂质格点与环境的物理状态,对于杂质格点不仅要物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-4考虑到单格点,还需要考虑到其和环境的关联,Georges 和 Kotliar95提出 Anderson 杂质模型的映射方法是现在 DMFT 广泛使用
21、的方法.Anderson杂质模型哈密顿量可写为103,104HA=zt(b+H.c.)+12U n(n)n+ll al al+l,(V,l alb+W,l alb+H.c.),(18)allV,lW,ll,Vl,Wl(18)式中,相互作用部分和化学势直接从 Hubbard 模型中得到.玻色-爱因斯坦凝聚的玻色子热库由超流序参量 描述,普通玻色子的热库由一定数目的轨道表示,其中 和 为轨道的产生算符和能量.杂质格点通过正常跃迁振幅 和反常跃迁振幅 与轨道耦合起来,因此 也被称为 Anderson 参数.哈密顿量(18)的作用量分别有杂质部分作用量Sloc=0db()()b()zt()b()+c.
22、c.)+,U2n()(n()(19)和轨道部分作用量SO=0dlal()(l+)al()+Vlal()b()+al()b()+Wlal()b()+al()b().(20)将轨道部分积出去,Anderson 杂质模型的有效作用量可以写成Seff=0d1d2,b(1)(1z)+,(1,2)b(2)+0d,12Un()(n()zt(b()()+c.c.),(21)其中,引入了南部表象b()=(b()b(),b()=(b()b(),(22)以及杂质函数矩阵,(1,2)=(1,(1,2)2,(1,2)(2,)(1,2)(1,)(1,2).(23)通过对比相互作用量,在松原频率表象下,有(in)=tti,
23、jG0i,j(in),(24)此时杂质函数为1(in)l(V,lV,ll in+W,lW,ll+in),2(in)l(V,lW,ll in+W,lV,ll+in).因此,可以得到 Weiss 格林函数新的表达方式如下:G1(in)=(inz+),(in).(25)对于 Anderson 杂质模型,可以利用数值的方式求解这个单体哈密顿量.在动力学平均场方法中,这种求解 Anderson 杂质模型所用不同的数值手段就叫做杂质求解器.常用的杂质求解器有精确对角化105,106、量子蒙特卡罗方法107、数值重整化群108等.对应于不同的物理系统,杂质求解器的选取非常重要.通过杂质求解器求解 Ander
24、son 杂质模型,就可以得到哈密顿量的本征态和本征能量,以及超物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-5流序参量等物理量.在 Lehmann 表象下,可以用本征态和本征能量表示局域格林函数G1imp,(in)=1Zmnm|b|nn|b|meEn eEmEn Em+in+,G2imp,(in)=1Zmnm|b|nn|b|meEn eEmEn Em+in+,(26)|mEm其中,为本征态,为对应的能量.因此,系统的自能可以写成imp(iwn)lat(iwn)=iwnz+G1imp(iwn),(27)imp(iwn)lat(iwn)此处,考虑了
25、自能近似,即认为自能是局域的,因此满足 .由 Dyson 方程(16),能够得到格点格林函数为Glat(k,in)=1/(inz+imp(in)k).(28)现在,利用 Anderson 杂质模型构造的动力学平均场方法的自洽循环便完成了.利用 Anderson杂质模型,成功绕开求解作用量来实现动力学平均场的自洽过程.在 Anderson 杂质模型中,动力学平均场的循环为:先给出 Anderson 参数的试探值,利用杂质求解器求解 Anderson 杂质模型哈密顿量,便能够得到系统的本征态和本征能量,进一步可以求得自能、超流序参量等物理量,然后利用(28)式求得新的格点格林函数.利用新求得的格点
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