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2021年高考数学三轮冲刺训练 圆锥曲线中的综合性问题

2021年高考数学三轮冲刺训练 圆锥曲线中的综合性问题

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圆锥曲线中的综合性问题
考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.

1、直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2、弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝ |x1－x2|＝ ·
或|AB|＝ ·|y1－y2|
＝ ·.
3、中点弦所在直线的斜率
圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k，其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．

圆锥曲线方程
直线斜率
椭圆：＋＝1(a＞b＞0)
k＝－
双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)
k＝
抛物线：y2＝2px(p＞0)
k＝

1、 直线方程的设法技巧：根据题目需要设消x还是消y;合理是的设方程为：y=kx+b,或x=my+n；
2、 点的求法：（1）、已知一个点求另外一个点可以运用韦达定理的两根的关系求出另外一个跟，（2）若两条直线的斜率互为相反数或者互相垂直，求另外一个点是可以运用代换法求出。

1、已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
所以以为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D．
2、若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B．
3、设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为
A．4 B．8
C．16 D．32
【答案】B
【解析】，
双曲线的渐近线方程是，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限，
联立，解得，
故，
联立，解得，
故，
，
面积为：，
双曲线，
其焦距为，
当且仅当取等号，
的焦距的最小值：.
故选：B．
4、设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线
A． 经过点 B． 经过点
C． 平行于直线 D． 垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B．

5、已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数图象上的点，则|OP|=
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D．
6、设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．

7、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．②
C．①② D．①②③
【答案】C
【解析】由得，，，
所以可取的整数有0，−1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.
由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.
如图所示，易知，
四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.

故选C.
8、已知直线与圆和圆均相切，则_______，b=_______．
【答案】；
【解析】由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
故答案为：
9、斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.

故答案为：
10、在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是 ▲ ．
【答案】
【解析】
设圆心到直线距离为，则
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
11、已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
【答案】
【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，
由中位线定理可得，设，可得，
与方程联立，可解得（舍），
又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.

方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，
由中位线定理可得，即，
从而可求得，所以.
12、已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【答案】2
【解析】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即
由，得∴，，
又OA与OB都是渐近线，∴
又，∴
又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．
13、已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【解析】（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.
则，=（a，–1）.由=8得a2–1=8，即a=3.
所以E的方程为+y2=1．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.
若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–3<n<3.
由于直线PA的方程为y=（x+3），所以y1=（x1+3）.
直线PB的方程为y=（x–3），所以y2=（x2–3）.
可得3y1（x2–3）=y2（x1+3）.
由于，故，可得，
即①
将代入得
所以，．
代入①式得
解得n=–3（含去），n=.
故直线CD的方程为，即直线CD过定点（，0）．
若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（，0）.
综上，直线CD过定点（，0）.
14、已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
【解析】 (1)设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
故椭圆方程为：.
(2)设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，
则：.
直线MA的方程为：，
令可得：，
同理可得：.
很明显，且：，注意到：
，
而：

，
故.
从而.
15、如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

【解析】（Ⅰ）由得的焦点坐标是．
（Ⅱ）由题意可设直线，点．
将直线的方程代入椭圆得，
所以点的纵坐标．
将直线的方程代入抛物线得，
所以，解得，
因此．
由得，
所以当，时，取到最大值．
16、已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【解析】（1）由题设得，，解得，．
所以的方程为．
（2）设，．
若直线与轴不垂直，设直线的方程为，
代入得．
于是．①
由知，故，
可得．
将①代入上式可得．
整理得．
因为不在直线上，所以，故，．
于是的方程为.
所以直线过点.
若直线与轴垂直，可得.
由得.
又，可得.解得（舍去），.
此时直线过点.
令为的中点，即.
若与不重合，则由题设知是的斜边，故.
若与重合，则.
综上，存在点，使得为定值.
17、已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
18、已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
【解析】（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．
由得．
记，则．
于是直线的斜率为，方程为．
由得
．①
设，则和是方程①的解，故，由此得．
从而直线的斜率为．
所以，即是直角三角形．
（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．
设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．
因此，△PQG面积的最大值为．
19、已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【解析】（1）设，则.
由于，所以切线DA的斜率为，故 .
整理得
设，同理可得.
故直线AB的方程为.
所以直线AB过定点.
（2）由（1）得直线AB的方程为.
由，可得.
于是，
.
设分别为点D，E到直线AB的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则.
由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.
当=0时，S=3；当时，.
因此，四边形ADBE的面积为3或.
20、已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【解析】（1）由抛物线经过点，得.
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）抛物线的焦点为.
设直线的方程为.
由得.
设，则.
直线的方程为.
令，得点A的横坐标.
同理得点B的横坐标.
设点，则，

.
令，即，则或.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.
21、设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．
所以，椭圆的方程为．
（2）由题意，设．设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，
与椭圆方程联立整理得，
可得，代入得，
进而直线的斜率．
在中，令，得．
由题意得，所以直线的斜率为．
由，得，化简得，从而．
所以，直线的斜率为或．
22、如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记的面积分别为．
（1）求p的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点G的坐标．

【解析】（1）由题意得，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x=−1.
（2）设，重心.令，则.
由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得
，
故，即，所以.
又由于及重心G在x轴上，故，得.
所以，直线AC方程为，得.
由于Q在焦点F的右侧，故.从而
.
令，则m>0，
.
当时，取得最小值，此时G（2，0）．

一、 单选题
1、已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】
因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离
所以过焦点作直线的垂线
则到直线的距离为的最小值，如图所示：

所以
故选：B
2、已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
双曲线的焦点坐标为
由，又，可得双曲线的渐近线方程为：
则焦点到渐近线的距离为，由
所以
故选：C
3、已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，，A为垂足.若直线AF的斜率为，则的面积为( )
A． B． C．8 D．
【答案】B
【解析】
由题意，抛物线的焦点为，
设抛物线的准线与轴交点为，则，
又直线AF的斜率为，所以，因此，；
由抛物线的定义可得：，所以是边长为的等边三角形，
所以的面积为.
故选：B.

4、已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
取的中点，连接 ,由条件可知，
是的中点，
又，
,
根据双曲线的定义可知，
，
直线的方程是： ，即 ，
原点到直线的距离，
中，，
整理为： ，
即 ，
解得： ，或（舍）
故选：C
5、已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线左支上位于第二象限的一点，且满足，若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设直线与圆相切，切点为，可得，从而可得，再由即可求解.
【详解】
设直线与圆相切，切点为，

连接，则，因为，所以，
所以， 且，所以，
由双曲线的定义可得，
又，则，
整理可得，所以，
解得，解得.
故选：C
6、在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．7
【答案】C
【解析】
由可知圆心，半径为，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，
所以直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或（舍）.
故选：C
7、已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
延长交于点，∵是的平分线，∴，，
又是中点，所以，且，
又，∴，
，∴．
故选：B．

8、已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
不妨设点在第一象限，的角平分线交轴于点，因为点是线段的中点，所以，根据角平分线定理可知，又因为，所以，，由余弦定理可得，所以，所以.

二、多选题
9、已知抛物线的准线与轴交于，其焦点为.过点的直线与抛物线交于、两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若在准线上存在一点，使为等边三角形，则的周长为
C．若在准线上存在一点，使为直角三角形，则的内切圆的面积可能为
D．若在准线上存在一点，使直线与轴的交点为且的重心在轴上，则当取得最小值时，
【答案】AB
【解析】
已知抛物线的准线与轴交于，所以，解得，
所以抛物线，焦点，
设，，

对于选项A：，

同理：，
故， A正确；
对于选项B： ，直线的中点为，则准线上任意一点 满足

所以，周长为，故B正确；
对于选项C： 若，所以内切圆半径，
而直角三角形ABC内切圆半径最小为，故C错误；
对于选项D:设重心G,
令，，
又

令
当且仅当取最小值，

（此时C在直线AB上）
故D 错误.
故选：AB
10、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时， D．的最小值为4
【答案】ACD
【解析】
对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，
，所，.
故选:ACD.
11、在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】

由抛物线的定义，，A正确；
∵，是的平分线，∴，∴，B正确；
若，由是外角平分线，，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，，也即有，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；
连接，由A、B知，又，是平行四边形，∴，显然，∴，D正确．
12、已知抛物线的焦点到准线的距离是2，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4
C．的坐标可能是（4，2） D．存在直线，使得与垂直
【答案】AB
【解析】
由题意，所以准线方程为，A正确；焦点为，
当直线斜率不存在时，方程为，则，此时，中点为，，与不垂直．
当直线斜率存在时，设方程为，设，
由得，，，
，
所以的最小值为4，B正确；
若，则，此时，因此中点不可能是，C错；
，即，（显然在轴两侧），
则，与不垂直．D错．
故选：AB．

三、填空题
13、双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.
【答案】
【解析】
设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，
由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，
又PF1＝PF2，
∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，
由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，
故而a＝PQ，又c＝2，
∴双曲线的离心率为e．
故答案为：．

14、已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.
【答案】2
【解析】
由题意，一条渐近线方程为，即，
∴ ，由得，
∴，，∴．
故答案为：2.
15、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，过点F且平行于OA的直线交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率为____________.
【答案】
【解析】
解：设双曲线半焦距为，双曲线的渐近线方程为，则，
设直线的方程为，
由，得，所以，
所以直线的斜率为，
因为，所以，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故答案为：
16、双曲线的左焦点为F，A､B分别为C的左，右支上的点，O为坐标原点，若四边形为菱形，则C的离心率为______.
【答案】.
【解析】
设右焦点为，连接，过作轴于，

因为双曲线关于轴对称，四边形为菱形，
所以，，
所以，所以，所以，
根据双曲线的定义可得，
所以，
故答案为：.
17、已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，离心率为.若动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，满足恒成立，则双曲线的渐近线的方程为_________.
【答案】
【解析】

如图：因为恒成立，取特殊位置轴时，此时，所以，
在中，，
双曲线中，，
将代入双曲线方程得，整理可得：，
取点位于第一象限，所以，
则，
所以，
当时，，，此时不符合题意，故不成立，
当时，，，此时不符合题意，故不成立，
当时，，
所以，即，可得，所以，
所以，，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：
四、解答题
18、已知椭圆长轴的左､右端点分别为，点是椭圆上不同于的任意一点，点满足，,为坐标原点.
（1）证明：与的斜率之积为常数，并求出点的轨迹的方程；
（2）设直线与曲线交于，且，当为何值时的面积最大?
【解析】
（1）设，由已知，
，，即，
，
，
设，，
即，∴轨迹的方程为.
（2）将直线代入曲线中整理得，，
到的距离，
，
此时，满足.
19、已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．

(1)求椭圆E的方程；
(2)证明：为定值．
【解析】
（1）由解得或（舍去），
∴，又，
，
又，
，，
椭圆E的方程为；
（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
设，
由得，
∴，
=
，
∴，
=，
直线BP的方程为，令解得，则，
同理可得，
=
==，
为定值．
20、已知椭圆：的左、右顶点分别为，且左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点，在点的运动过程中，有且只有个位置使得为直角三角形，且的内切圆半径的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线交椭圆于，两点，记的中点为，求点到直线的距离的最大值.
【解析】
点为椭圆上的动点，当或时，为直角三角形.
此时满足条件的点有4个，根据满足条件的点有6个.
则满足条件的点的另2个位置位于椭圆的上下顶点处.
当点位于椭圆的上下顶点处时，为等腰直角三角形，即
的内切圆半径我为 ，则
即，所以
当点位于椭圆的上下顶点处时，的的内切圆半径的最大值.
所以，即，由 ，即
解得 ，所以椭圆的标准方程为：
（2）由条件，设 ，设直线的方程为
由，得
所以
据条件直线，的斜率存在，由条件可得
即，即
所以
则
化简可得，即或
当时，直线过点，不满足条件.
所以 ，则
由的中点为，则
所以
所以
所以直线的方程为，即
所以点到直线的距离为

当且仅当,即时取等号.
所以点到直线的距离的最大值为
21、已知椭圆：经过点，且离心率为，直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）求椭圆的方程;
（2）若的角平分线与轴垂直，求长度的最小值．
【解析】
解：（1）因为椭圆经过点且离心率为，
所以其中，解得所以椭圆方程为．
（2）因为的角平分线与轴垂直，所以．
设直线的斜率为，则直线的方程为：，
设，
由得．
则，
所以，代入得．
即，同理可得．
所以．
则在直线上，所以的最小值为到直线的距离．
即，此时在椭圆内，
所以的最小值为．