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2022版高考物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 第3节 圆周运动学案

2022版高考物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 第3节 圆周运动学案

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第3节　圆周运动

一、圆周运动及其描述
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是做匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2．描述圆周运动的物理量
物理量
意义、方向
公式、单位
线速度(v)
①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
①v＝＝
②单位：m/s
角速度(ω)
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量
②中学不研究其方向
①ω＝＝
②单位：rad/s
周期(T)和转速(n)或频率(f)
①周期是物体沿圆周运动一周的时间
②转速是物体单位时间转过的圈数；频率是单位时间内运动重复的次数
①T＝
单位：s
②n的单位：r/s、
r/min，f的单位：Hz
向心加速度(a)
①描述速度变化快慢的物理量
②方向指向圆心
①a＝＝rω2
②单位：m/s2
二、圆周运动的向心力
1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2．大小
F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
3．方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
三、离心现象
1．现象
做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
2．受力特点及轨迹

①当Fn＝mω2r时，物体做匀速圆周运动。
②当Fn＝0时，物体沿切线方向飞出。
③当Fn＜mω2r时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。
④当Fn＞mω2r时，物体逐渐靠近圆心，做近心运动。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动。 (×)
(2)做匀速圆周运动的物体的向心加速度与半径成反比。 (×)
(3)做匀速圆周运动的物体所受合外力为变力。 (√)
(4)做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力。 (√)
(5)做离心运动的物体是由于受到离心力的作用。 (×)
(6)赛车转弯时冲出赛道是因为沿转弯半径向内的静摩擦力不足以提供向心力。 (√)
2．(人教版必修2P25T3改编)如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是(　　)

A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
[答案]　C
3．(粤教版必修2P37T2)如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图象可以知道(　　)

A．甲球运动时，线速度的大小保持不变
B．甲球运动时，角速度的大小保持不变
C．乙球运动时，线速度的大小保持不变
D．乙球运动时，角速度的大小逐渐增加
A　[题图的图线甲中a与r成反比，由a＝可知，甲球的线速度大小不变，由v＝ωr可知，随r的增大，角速度逐渐减小，A正确，B错误；题图的图线乙中a与r成正比，由a＝ω2r可知，乙球运动的角速度大小不变，由v＝ωr可知，随r的增大，线速度大小增大，C、D错误。]
4．(人教版必修2P25T2改编)如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)

A．A、B球受到的支持力之比为∶3
B．A、B球的向心力之比为∶1
C．A、B球运动的角速度之比为1∶1
D．A、B球运动的线速度之比为1∶1
D　[设小球受到的支持力为FN，向心力为F，则有FNsin θ＝mg，FNA∶FNB＝∶1，选项A错误；F＝，FA∶FB＝3∶1，选项B错误；小球运动轨道高度相同，则半径R＝htan θ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，选项C错误；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，选项D正确。]

描述圆周运动的物理量　
1．(2020·石嘴山三中期中)质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是(　　)
A．速度的大小和方向都改变
B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动
D．向心加速度不变
C　[质点做匀速圆周运动时，线速度大小始终不变，速度方向为质点运动轨迹的切线方向，时刻在改变，故A错误；做匀速圆周运动的物体的加速度始终指向圆心，即方向在时刻改变，则匀速圆周运动是非匀变速曲线运动，故B、D错误；当质点所受合力全部用来提供向心力时，质点的线速度的大小不变，做匀速圆周运动，故C正确。]
2．(2018·江苏高考改编)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车(　　)
A．运动位移为600 m
B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s
D．转弯半径约为3.4 km
D　[圆周运动的弧长s＝vt＝60×10 m＝600 m，选项A错误；火车转弯是圆周运动，圆周运动是变速运动，所以合力不为零，加速度不为零，故选项B错误；由题意得圆周运动的角速度ω＝＝×3.14 rad/s＝ rad/s，又v＝ωr，所以r＝＝×180 m＝3 439 m，故选项C错误，D正确。]
3．如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则(　　)

A．A点与C点的角速度大小相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶2
B　[处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等。对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确。根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，选项A错误。根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，选项C错误。根据ωB＝及关系式a＝ω2R，可得aB＝，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D错误。]

常见的三种传动方式及特点
类型
模型
模型解读
皮带传动

皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
摩擦(或齿
轮)传动

两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
同轴传动

绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比

水平面内的圆周运动　
1．水平面内的匀速圆周运动轨迹特点
运动轨迹是圆且在水平面内。
2．匀速圆周运动的受力特点
(1)物体所受合外力大小不变，方向总是指向圆心。
(2)合外力充当向心力。
3．解答匀速圆周运动问题的一般步骤
(1)选择研究对象，找出匀速圆周运动的圆心和半径。
(2)分析物体受力情况，其合外力提供向心力。
(3)由Fn＝m或Fn＝mrω2或Fn＝mr列方程求解。
4．六种常见的向心力实例
运动模型
①飞机水平转弯
②火车转弯
③圆锥摆
向心力的来源图示

运动模型
④飞车走壁
⑤汽车在水平路面转弯
⑥光滑水平转台
向心力的来源图示

5．水平面内圆周运动的三种临界情况
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离的临界条件是：弹力FN＝0。
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0。
[典例示法]　(2020·兰州质检)如图所示，转动轴垂直于光滑水平面，交点O的上方h(A点)处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长l大于h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动。当转动的角速度ω逐渐增大时，下列说法正确的是(　　)

A．小球始终受三个力的作用
B．细绳上的拉力始终保持不变
C．要使球不离开水平面，角速度的最大值为
D．若小球飞离了水平面，则角速度可能为
思路点拨：(1)当转动的角速度较小时，水平面对小球有支持力作用；当转动的角速度较大时，小球将离开水平面。
(2)小球做匀速圆周运动的半径r与绳长l之间的关系，可由几何形状来确定。
(3)小球对水平面的压力为零，是小球将离开水平面的临界条件，此时，小球的合力由自身的重力及细绳的拉力合成来确定。
C　[小球可以在水平面上转动，也可以飞离水平面，飞离水平面后只受重力和细绳的拉力两个力作用，故选项A错误；小球飞离水平面后，随着角速度增大，细绳与竖直方向的夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得Tsin β＝mω2lsin β可知，随角速度变化，细绳的拉力T会发生变化，故选项B错误；当小球对水平面的压力为零时，有Tcos θ＝mg，Tsin θ＝mlω2sin θ，解得临界角速度为ω＝＝，若小球飞离了水平面，则角速度大于，而<，故选项C正确，D错误。]

“一、二、三、四”求解圆周运动问题

[跟进训练]
1．(2019·江苏省如东县第一次检测)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　)

A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
B　[火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得r＝，故选项A错误；根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故选项B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故选项C错误；当火车速率小于v时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，故选项D错误。]
2．(2020·湖南邵阳高三模拟)如图甲所示，杂技表演“飞车走壁”的演员骑着摩托车飞驶在圆台形筒壁上，筒的轴线垂直于水平面，圆台筒固定不动。现将圆台筒简化为如图乙所示，若演员骑着摩托车先后在A、B两处紧贴着内壁分别在图乙中虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法不正确的是(不计摩擦)(　　)

甲　　　　　　　　乙
A．A处的线速度大于B处的线速度
B．A处的角速度小于B处的角速度
C．A处对筒的压力大于B处对筒的压力
D．A处的向心力等于B处的向心力
C　[对A、B两处演员和摩托车进行受力分析如图所示，两个支持力与竖直方向的夹角相等，均为θ，由于FN1cos θ＝mg，FN2cos θ＝mg，可知FN1＝FN2，根据牛顿第三定律，可知演员和摩托车对筒的压力相等，故C错误；两处支持力的水平分力等于向心力，因此两处向心力F也相等，D正确；根据F＝m可知F一定时，半径越大，线速度越大，故A处的线速度比B处的线速度大，A正确；根据F＝mω2r可知，半径越大，角速度越小，故A处的角速度比B处的角速度小，B正确。]
3．如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线对小球的拉力为FT。(g取10 m/s2，结果可用根式表示)

(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω为多大？
[解析]　(1)若要小球刚好离开锥面，此时小球只受到重力和细线拉力，如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得

mgtan θ＝mω2lsin θ
解得ω2＝
即ω＝＝ rad/s。
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan α＝mω′2lsin α
解得ω′2＝
即ω′＝＝2 rad/s。
[答案]　(1) rad/s　(2)2 rad/s
竖直平面内的圆周运动　
1．竖直面内圆周运动的两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法

“轻绳”模型
“轻杆”模型
图示

受力特征
物体受到的弹力方向为向下或等于零
物体受到的弹力方向为向下、等于零或向上
受力示意图

力学方程
mg＋FN＝m
mg±FN＝
临界特征
FN＝0
mg＝m
即vmin＝
v＝0
即F向＝0
FN＝mg
过最高点的条件
在最高点的速度v≥
在最高点的速度v≥0
[典例示法]　(2020·湖北重点中学模拟)如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F­v2图象如图乙所示，g取10 m/s2，则(　　)

甲　　　　　　乙　
A．小球的质量为4 kg
B．固定圆环的半径R为0.4 m
C．小球在最高点的速度为4 m/s时，小球受圆环的弹力大小为20 N，方向向上
D．若小球恰好做圆周运动，则其承受的最大弹力为100 N
思路点拨：解此题关键有两点
(1)做好小球在某一位置的动力学分析。
(2)将小球的动力学方程与F­v2图象对应找出已知物理量。
D　[对小球在最高点进行受力分析，速度为0时，F－mg＝0，结合图象可知：20 N－m·10 m/s2＝0，解得小球质量m＝2 kg，选项A错误；当F＝0时，由重力提供向心力可得mg＝，结合图象可知mg＝，解得固定圆环半径R为0.8 m，选项B错误；小球在最高点的速度为4 m/s时，设小球受圆环的弹力方向向下，由牛顿第二定律得F＋mg＝m，代入数据解得F＝20 N，方向竖直向下，所以选项C错误；小球经过最低点时，其受力最大，由牛顿第二定律得F－mg＝m，若小球恰好做圆周运动，由机械能守恒得mg·2R＝mv2，由以上两式得F＝5 mg，代入数据得F＝100 N，选项D正确。]

分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路

[跟进训练]
　竖直平面内轻“绳”模型
1．如图所示，杂技演员表演水流星节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．
B　[杯子在竖直平面内做半径为的圆周运动，使水不流出的临界条件是在最高点重力提供向心力，则有mg＝，可得ω＝，故B正确，A、C、D错误。]
　竖直平面内轻“杆”模型
2．如图所示，轻杆长为L，一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球(可视为质点)。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度。下列说法正确的是(　　)

A．小球通过最高点时速度可能小于
B．小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零
C．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大
D．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小
A　[小球在最高点时，杆对球可以表现为支持力，由牛顿第二定律得：mg－F＝m，则得v<，故A正确。当小球速度为时，由重力提供向心力，杆的作用力为零，故B错误。轻杆在最高点可以表现为拉力，此时根据牛顿第二定律有mg＋F＝m，则知v越大，F越大，即随小球速度的增大，杆的拉力增大；小球通过最高点时杆对球的作用力也可以表现为支持力，当表现为支持力时，有mg－F＝m，则知v越大，F越小，即随小球速度的增大，杆的支持力减小，故C、D错误。]
　竖直平面内“管状”模型
3．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是(　　)

A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
C　[在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，故A错误，B错误；小球在水平线ab以下管道中运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；小球在水平线ab以上管道中运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，可能外侧壁对小球有作用力，也可能内侧壁对小球有作用力，故D错误。]