2018年全国高考新课标2卷文科数学试题(解析版).doc

高考真题 高三数学2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1i(2+3i)=( ) A3-2iB3+2iC-3-2iD-3+2i解析：选D2已知集合A=1,3,5,7，B=2,3,4,5，则AB=( ) A3B5C3,5D1,2,3,4,5,7解析：选C3函数f(x)= 的图像大致为 ( )解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x0,f(x)0,排除D,取x=2,f(2)= 1,故选B4已知向量a，b满足|a|=1，ab=-1，则a(2a-b)= ( )A4B3C2D0解析：选B a(2a-b)=2a2-ab=2+1=35从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A0.6B0.5C0.4D0.3解析：选D 5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。6双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为( )Ay=xBy=xCy=xDy=x解析：选A e= c2=3a2 b=a 7在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= ( )A4BCD2解析：选A cosC=2cos2 -1= - AB2=AC2+BC2-2ABBCcosC=32 AB=48为计算S=1- + - + - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )Ai=i+1 Bi=i+2 Ci=i+3 Di=i+4解析：选B9在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )ABC D解析：选C 即AE与AB所成角，设AB=2,则BE=,故选C10若f(x)=cosx-sinx在0,a是减函数，则a的最大值是( )ABC D解析：选C f(x)= cos(x+),依据f(x)=cosx与f(x)= cos(x+)的图象关系知a的最大值为。11已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F1=600，则C的离心率为( )A1- B2- C D-1解析：选D 依题设| PF1|=c,| PF2|=c,由| PF1|+| PF2|=2a可得12已知f(x)是定义域为(-,+ )的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= ( )A-50B0C2D50解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=f(1)+f(2)=2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为_解析：y=2x-214若x,y满足约束条件 ,则z=x+y的最大值为_解析：915已知tan(- )=，则tan=_解析：由两角差的正切公式展开可得tan=16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为300，若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_解析：设母线为2a，则圆锥高为a，底面半径为a,依题2a2a=8,a=2 V=(2)2=8三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=-7，S3=-15（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值解：（1）设an的公差为d，由题意得3 a1+3d=-15,由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9.（2）由（1）得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时, Sn取得最小值,最小值为16.18（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,17）建立模型：=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,7）建立模型：=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 解：（1）利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.519=226.1 (亿元).利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.59=256.5 (亿元).（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：（）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠. （）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离（1）证明：因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP=2.连结OB.因为AB=BC=AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知OPOB.由OPOB,OPAC知OP平面ABC.（2）解：作CHOM，垂足为H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OC=AC =2，CM=BC=，ACB=45所以OM=，CH=所以点C到平面POM的距离为也可用等积法求20（12分）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160，故x1+x2=.所以|AB|= x1+x2+2=+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.因此l的方程为y=x-1.（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.21（12分）已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1)（1）若a=3，求f(x)的单调区间；（2）证明：f(x)只有一个零点解：（1）当a=3时，f（x）=x3-3x2-3x-3)，f （x）=x2-6x-3令f （x）=0解得x=3-2或x=3+2当x（，3-2）（3+2，+）时，f （x）0；当x（3-2，3+2）时，f （x）0，所以f(x)=0等价于 - 3a=0设g(x)= - 3a，则g （x）= 0，仅当x=0时g （x）=0，所以g（x）在（，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点 又f（3a1）=-6a+2a- =-6(a- )2- 0，故f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为+=1当cos0时，l的直角坐标方程为y=tanx+2-tan，当cos=0时，l的直角坐标方程为x=1（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0又由得2cos+sin=0，于是直线l的斜率k=tan=-223选修45：不等式选讲（10分）设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|（1）当a=1时，求不等式f(x)0的解集；（2）若f(x)1，求a的取值范围【解析】（1）当a=1时， 可得f(x)0的解集为x|-2x3（2）f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4而|x+a|+|x-2|a+2|，且当x=2时等号成立故f(x)1等价于|a+2|4得a-6或a2，所以a的取值范围是(-,-62,+)绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1D2C3B4B5D6A7A8B9C10C11D12C二、填空题13y=2x214915168三、解答题17解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为1618解：（1）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=30.4+13.519=226.1（亿元）利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.59=256.5（亿元）（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分学科网19解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP=连结OB因为AB=BC=，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=2由知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足为H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OC=2，CM=，ACB=45所以OM=，CH=所以点C到平面POM的距离为20解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x1）（k0）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得，故所以由题设知，解得k=1（舍去），k=1因此l的方程为y=x1（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或21解：（1）当a=3时，f（x）=，f （x）=令f （x）=0解得x=或x=当x（，）（，+）时，f （x）0；当x（，）时，f （x）0故f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）由于，所以等价于设=，则g （x）=0，仅当x=0时g （x）=0，所以g（x）在（，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点学科网又f（3a1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点22解：（1）曲线的直角坐标方程为当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，则又由得，故，于是直线的斜率23解：（1）当时，可得的解集为（2）等价于而，且当时等号成立故等价于由可得或，所以的取值范围是第 10 页 共 10 页