上海市2021年高考数学压轴卷.doc

上海市2021年高考数学压轴卷

上海市2021年高考数学压轴卷

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姓名：

- 21 -

上海市2021年高考数学压轴卷（含解析）
第I卷（选择题）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．若集合，，则____.
2．若复数满足(其中为虚数单位)，则的虚部是___________.
3．行列式中，6的代数余子式的值是______．
4．已知球的体积为，则该球大圆的面积等于______.
5．在的二项展开式中，常数项等于____.
6．已知向量|，若，且，则的最大值为____.
7．若，则____.
8．函数的反函数的图象经过点，则实数=______.
9．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，､是以为直径的圆与双曲线渐近线的两个交点.若，则___________.
10．从以下七个函数：中选取两个函数记为和，构成函数，若的图像如图所示，则____.

11．小王同学有本不同的数学书，本不同的物理书和本不同的化学书，从中任取本，则这本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）．
12．已知､与､是4个不同的实数，若关于的方程的解集不是无限集，则集合中元素的个数构成的集合为___________.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．设，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为

①圆的面积为；
②椭圆的长轴为；
③双曲线两渐近线的夹角正切值为
④抛物线中焦点到准线的距离为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．在中，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
16．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足（其中为的前项和），则（ ）
A． B． C． D．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.

(1)求三棱锥的体积；
(2)求异面直线与所成的角的大小.
18．已知函数
（1）设是的反函数，当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.
19．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（2）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
21．若数列满足(，且为实常数)，，则称数列为数列.
（1）若数列的前三项依次为，，，且为数列，求实数的取值范围；
（2）已知是公比为的等比数列，且，记.若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围；
（3）记无穷等差数列的首项为，公差为，证明：“”是“为数列”的充要条件.
2021上海市高考压轴卷
数学参考答案
1．【答案】
【解析】解：，，
∴．
故答案为：．
【点睛】
集合基本运算的方法技巧：
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.
2．【答案】
【解析】由题意，复数满足，
可得，
所以复数的虚部为.
故答案为：.
3．【答案】6
【解析】由题意，可得6的代数余子式．
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查了三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．
4．【答案】
【解析】因为球的体积为，设球的半径为，
则，解得：，
因为球的大圆即是过球心的截面圆，
因此大圆的面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型.
5．【答案】240
【解析】解：在的二项展开式中，通项公式为 ，
令，求得，可得展开式的常数项为 ，
故答案为：240．
【点睛】
方法点睛：求二项展开式的某一项，一般利用二项展开式的通项研究求解.
6．【答案】
【解析】解：∵，且，
∴与的夹角为，
设，则，
∵，
∴，
又，
∴，化简得，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴．
故答案为：．
7．【答案】
【解析】因为，
所以．
故答案为：
8．【答案】2
【分析】
由反函数的图象经过点，得原函数的图象经过点，代入解出答案即可.
【详解】
解：因为函数的反函数的图象经过点
所以函数的图象经过点
所以，解得
故答案为2.
【点睛】
本题考查了函数与反函数图像的关系，属于基础题.
9．【答案】
【解析】
由已知可得，又点在渐近线 上，
又 ，
10．【答案】
【解析】由图象可知，函数的定义域为，故排除，，
又由的图象过定点，
由函数图象，可得当时，且为增函数，
当时， 大于0与小于0交替出现，
若时，此时函数的图象不过定点，
因为过，且当时，，当时，，
若包含，当时，，不满足过点，
若包含，此时函数不满足时，大于0与小于0交替出现，
若包含，此时函数不满足时，大于0与小于0交替出现，
所以只有满足条件．
故答案为：．
11．【答案】
【解析】共本不同的数，任取2本包含种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有，
所以这本书属于不同学科的概率.
故答案为：
12．【答案】
【解析】转化为和图像交点，
为了简化问题，我们可以研究，
，
设，，
设，，，，
①由图像易知，1个交点容易得到，
如时，可求得唯一一个交点为

而0个交点和2个交点都是不可能的.
②假设有0个交点，

由题意，，
∴，，
∴，
而由三角不等式，，
故矛盾，∴不可能有0个交点；
③假设有2个交点，

，，
∴，，
∴ ，明显矛盾，
∴不可能有2个交点.
其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类.
综上所述，解集不是无限集时，集合的元素个数只有1个.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数图像的交点个数，其中两个分段函数可以用特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况.
13．【答案】C
【解析】若，则根据不等式性质，两边同时减去1，不等式符号不变，所以，
成立，则成立，充分性成立；
成立，根据不等式性质，两边同时加上1，不等式符号不变，所以，
成立，则成立，必要性成立；
所以，是的充要条件
故选C
14．【答案】B
【解析】①点是母线的中点， 截面的半径，因此面积，故①正确；
②由勾股定理可得椭圆的长轴为，故②正确；
③在与底面、平面的垂直且过点的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为，则，即，把点代入可得，解得，设双曲线两渐近线的夹角为，，，因比双曲线两渐近线的夹角为，③不正确；
④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为,把点代入可得，解得，抛物线中焦点到准线的距离为，④不正确，
故选B .
【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
15．【答案】B
【解析】由题意，在中，若，
因为，可得或，
当时，可得，则，
可得，
因为，所以，所以；
当时，可得，则，
可得，
其中，
设在区间上单调递增，在上单调递减，
又由，，
所以，即，
综上可得，的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
解答与三角函数有关的范围问题的求解策略：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
16．【答案】C
【解析】对任意的，.
当时，，解得；
当时，由可得，
上述两式作差得，即，所以，，
所以，数列是首项为为首项，以为公比的等比数列，
所以，，即，，，
因为函数是定义在上的奇函数，则，
函数满足，，
所以，，，
因此，.
故选：C
【点睛】
方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
17．【答案】(1) (2).
【解析】（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．
由的长为，可知．
，
．
（2）设过点的母线与下底面交于点，则，
所以或其补角为直线与所成的角．
由长为，可知，
又，所以，
从而为等边三角形，得．
因为平面，所以．
在中，因为，，，所以，
从而直线与所成的角的大小为．

【考点】几何体的体积、空间角
【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.

18．【答案】（1）；（2）或；（3）.
【解析】（1）因为，所以，所以，
所以，
当时，，故解集为；
（2）方程即，
即的解集中恰好有一个元素，
当时，，符合题意，
当时，，解得，
综上所述，或；
（3）当时，设，则，，
所以在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值与最小值为，
所以，
所以
设，则，，
当时，，
当时，，
因为在上递减，所以，
所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
关键点睛：（1）解题关键在于利用反函数定义，得到，进而用单调性解不等式；（2）解题关键在于利用二次函数性质进行求解；（3）解题关键在于得出的单调性后，分类讨论，并利用均值不等式求解；本题难度属于中档题
19．【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，
【解析】证明：（1）任取正常数，存在，所以，
因为，
即不恒成立，
所以不是“同比不减函数”.
（2）因为函数是“同比不减函数”，
所以恒成立，即恒成立，
对一切成立.
所以.
（3）设函数是“同比不减函数”，
，
当时，因为成立，
所以，所以，
而另一方面，若，
（Ⅰ）当时，

因为，
所以，所以有成立.
（Ⅱ）当时，

因为，
所以，
即成立.
综上，恒有有成立，
所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.
20．【答案】（1）答案见解析；（2）存在，.
【解析】（1）如图1，设，，则由，且
可得，，所以，① ，
因为点在单位圆上运动，所以② ，
将①式代入②式即得所求曲线的方程为且，
因为，所以
当时，，曲线是焦点在轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为，；
当时，，曲线是焦点在轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为.
（2）存在，理由如下：

如图2､3，，设，，则，，
因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得
，③
依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，
故，于是由③式可得
，④
又，，三点共线，所以，即，
于是由④式可得，
而等价于，即，又，得，
故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.
21．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】（1）因为为（3）数列，所以，
则，解得，
即的取值范围是，；
（2）由数列为（4）数列，可得或，
当时，由，，所以．
则，
所以，即；
当时，由，，所以．
则，
所以，即，所以，
则的取值范围是；
（3）先证充分性．因为，所以，为等差数列，
所以当时，，此时，
由，所以成立，所以为数列；
当时，，
因为，所以，所以，
即有，
因为，所以
，
所以恒成立，所以为数列，
综上可得，为数列；
再证必要性．因为为数列，所以恒成立，所以，
当时，显然成立；
当时，因为，所以的每一项同号，所以与也同号，
所以，因为恒成立，所以时，成立，
因为为等差数列，，，
所以，即为，，
综上可得，“”是“为数列”的充要条件．
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是第3小问，证明“”是“为数列”的充要条件，先证明充分性，利用不等式证明恒成立，所以为数列；再证明必要性，证明成立.