2022版高考数学一轮复习-第三章-三角函数、解三角形-第六讲-解三角形学案新人教版.doc
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1、2022版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第六讲 解三角形学案新人教版2022版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第六讲 解三角形学案新人教版年级:姓名:第六讲解三角形知识梳理双基自测知识点一正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_2R(其中R是ABC外接圆的半径)a2_b2c22bccos A_b2_a2c22accos B_c2_a2b22abcos C_常见变形a_2Rsin A_,b_2Rsin B_,c_2Rsin C_sin A_,sin B_,sin C_abc_sin Asin Bsin C_asin Bbsin A,bsin Ccsin B,as
2、in Ccsin Acos A_cos B_cos C_解决解斜三角形的问题(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角知识点二在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabab解的个数无解一解两解一解一解无解知识点三三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)知识点四实际问题中的常用术语术语名称术语意义图形
3、表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角方位角的范围是0Babsin Asin Bcos AB必有sin Asin B()(2)在ABC中,若b2c2a2,则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c且a1,c,A,则b1或2.()(4)若满足条件C60,AB,BCa的ABC有两个,则实数a的取值范围是(,2)()(5)在ABC中,若bcos Bacos A,则ABC是等腰三角形()(6)俯角是铅垂线与视线所成的角,
4、其范围为.()(7)方位角大小的范围是0,2),方向角大小的范围一般是.()题组二走进教材2(理)(必修5P10A组T8改编)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a,c2,cos A,则b(D)ABC2D3(文)(必修5P10A组T2改编)在ABC中,a1,b2,cos C,则c(D)A1BCD2解析(理)由余弦定理,得4b222bcos A5,整理得3b28b30,解得b3或b(舍去),故选D(文)c214224,c2.故选D3(必修5P10A组T3改编)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C60,b,c3,则A(B)A45B75C105D60解析由题意:,即si
5、n B,结合bc可得B45,则A180BC75.4(必修5P18T1改编)在ABC中,A60,AC4,BC2,则ABC的面积等于_2_.解析设ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.由题意及余弦定理得cos A,解得c2.所以Sbcsin A42sin 602.5(必修5P14例5改编)如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是m米,BAC,ACB,则A,B两点间的距离为(C)ABCD解析ABC(),由正弦定理得AB,故选C题组三走向高考6(2020课标理,7,5分)在ABC中,cos C,AC4,BC3,则cos
6、B(A)ABCD解析由cos C得,AB3,cos B,故选A7(2019全国卷,5分)在ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin Aacos B0,则B_.解析解法一:依题意与正弦定理得sin Bsin Asin Acos B0,即sin Bcos B,则tan B1.又0B,所以B.解法二:由正弦定理得bsin Aasin B,又bsin Aacos B0,所以asin Bacos B0,即sin Bcos B,则tan B1.又0B0,故cos B0,B为钝角如图,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,则CEbsin BAC,BEacos ABC,故BECE.又CEAB
7、,所以CBE,ABC.8(2019全国卷,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b6,a2c,B,则ABC的面积为_6_.解析解法一:因为a2c,b6,B,所以由余弦定理b2a2c22accos B,得62(2c)2c222cccos ,得c2,所以a4,所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.解法二:因为a2c,b6,B,所以由余弦定理b2a2c22accos B,得62(2c)2c222cccos ,得c2,所以a4,所以a2b2c2,所以A,所以ABC的面积S266.考点突破互动探究考点一利用正、余弦定理解三角形自主练透例1 (1)(2020东北师范大学附属中学模
8、拟)在ABC中,a1,A,B,则c(A)ABCD(2)(2020河南南阳期中)在ABC中,a8,b10,A45,则此三角形解的情况是(B)A一解B两解C一解或两解D无解(3)(2020百校联盟第二次联考)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sin A3sin B,c,且cos C,则a(B)A2B3C3D4(4)(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin Absin B4csin C,cos A,则等于(A)A6B5C4D3解析(1)解法一:sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B,由正弦定理得c,故选A
9、解法二:由正弦定理,得b,则cos Ccos(AB)(cos Acos Bsin Asin B).由余弦定理可得,c.故选A(2)因为bsin 45580),结合余弦定理有:cos C,求解关于实数m的方程可得m1,则a3m3.(4)由正弦定理:asin Absin B4csin Ca2b24c2a2b24c2.由余弦定理cos A.将代入,消去a2得6.故选A名师点拨(1)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判明是否有解,(例如在ABC中,已知a1,b2,A60,则sin Bsin A1,问题就无解),如果有解,是一解,还是两解(2)正、余弦定理可将三角形
10、边的关系转化为角的关系,也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”(4)已知边多优先考虑余弦定理,角多优先考虑正弦定理考点二利用正、余弦定理判定三角形的形状师生共研例2 (1)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos Cccos Basin A,则ABC的形状为(B)A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定(2)(理)在ABC中,若cacos B(2ab)cos A,则ABC的形状为_等腰或直角三角形_.(文)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,(bca)(bca)3bc,则ABC的形状为(C)A直角三角形B等腰
11、非等边三角形C等边三角形D钝角三角形解析(1)解法一:因为bcos Cccos Basin A,由正弦定理知sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A,得sin(BC)sin Asin A又sin(BC)sin A,得sin A1,即A,因此ABC是直角三角形解法二:因为bcos Cccos Bbca,所以asin Aa,即sin A1,故A,因此ABC是直角三角形(2)(理)因为cacos B(2ab)cos A,所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A,所以sin (AB)sin Acos B2sin Acos Asin B
12、cos A,故cos A(sin Bsin A)0,所以cos A0或sin Asin B,即A或AB,故ABC为等腰或直角三角形(文)因为,所以,所以bc.又(bca)(bca)3bc,所以b2c2a2bc,所以cos A.因为A(0,),所以A,所以ABC是等边三角形名师点拨三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a2Rsin A,a2b2c22abcos C等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sin Asin BAB;sin(AB)0AB;sin 2Asin 2BAB或AB等(2)利用正弦定理、余弦定理化角
13、为边,如sin A,cos A等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断(3)注意无论是化边还是化角,在化简过程中出现公因式不要轻易约掉,否则会有漏掉一种形状的可能变式训练1(1)(2021长春调研)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C2ccos Ba,且B2C,则ABC的形状是(B)A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形(2)(理)(2021开封调研)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),则ABC的形状是(D)A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(
14、文)(2020山西太原五中模拟)在ABC中,sin2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为(A)A直角三角形B等边三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析(1)因为2bcos C2ccos Ba,所以2sin Bcos C2sin Ccos Bsin Asin(BC),即sin Bcos C3cos Bsin C,所以tan B3tan C,又B2C,所以3tan C,得tan C,C,B2C,A,故ABC为直角三角形故选B(2)(理)解法一:已知等式可化为a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB),2a2cos Asin B2b2cos Bs
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