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2022版高考物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 第4节 万有引力与航天学案

2022版高考物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 第4节 万有引力与航天学案

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第4节　万有引力与航天

一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3．开普勒第三定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：＝k。
二、万有引力定律
1．内容
(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。
(2)引力的方向在它们的连线上。
(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式
F＝G，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定。
3．适用条件
(1)两个质点之间的相互作用。
(2)对质量分布均匀的球体，r为两球心间的距离。
三、宇宙速度
1．三种宇宙速度比较
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度
7.9
地球卫星最小发射速度(环绕速度)
第二宇宙速度
11.2
物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(脱离速度)
第三宇宙速度
16.7
物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度(逃逸速度)
2．第一宇宙速度的计算方法
(1)由G＝m得v＝。
(2)由mg＝m得v＝。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。 (√)
(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。 (×)
(3)开普勒第三定律＝k中k值与中心天体质量无关。 (×)
(4)第一宇宙速度与地球的质量有关。 (√)
(5)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。 (×)
2．(教科版必修2P44T2改编)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
C　[太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得＝，故＝，C正确。]
3．(人教版必修2P43T2改编)若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则为(　　)
A．1 B． C． D．
[答案]　D
4．(人教版必修2P48T3改编)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为(　　)
A．2 km/s B．4 km/s C．16 km/s D．32 km/s
[答案]　C

开普勒定律的应用　
1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
B　[开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。]
2．(2019·抚州七校联考)2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星东大距”“火星冲日”“月全食”等天象先后扮靓夜空，可谓精彩纷呈。发生于北京时间7月28日凌晨的“月全食”，相对于2018年1月31日发生的“月全食”来说，7月的全食阶段持续时间更长。已知月球绕地球的运动轨道可看成椭圆，地球始终在该椭圆轨道的一个焦点上，则相对于1月的月球而言，7月的月球(　　)
A．绕地球运动的线速度更大
B．距离地球更近
C．绕地球运动的角速度更大
D．距离地球更远
D　[地球绕着太阳公转，月球又绕着地球公转，发生月食的条件是地球处于月球和太阳中间，挡住了太阳光，月全食持续的时间长短和太阳、地球、月球三者的位置关系密切相关，7月这次月全食的时间比较长是由于月球和地球的距离比较远。根据开普勒第二定律可知此时月球绕地球运动的线速度更小，ω＝角速度更小，故A、B、C错误，D正确。]
3．(2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则(　　)

A．v1>v2，v1＝ B．v1>v2，v1>
C．v1<v2，v1＝ D．v1<v2，v1>
B　[“东方红一号”从近地点到远地点万有引力做负功，动能减小，所以v1>v2，过近地点圆周运动的速度为v＝，由于“东方红一号”在椭圆上运动，所以v1>，故B正确。]

应用开普勒行星运动定律的三点注意
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。

万有引力定律的理解及应用　
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。

(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。
3．估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由G＝mg，得天体质量M＝。
②天体密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由G＝mr，得M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
[典例示法]　(2020·湖南地质中学模拟)若宇航员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是(　　)
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的平均密度ρ＝
C．月球的第一宇宙速度v＝
D．月球的质量m月＝
关键信息：“水平抛出一个小球，测出水平射程”，可获得月球表面的重力加速度。
B　[设月球表面的重力加速度为g月，小球在月球表面做平抛运动，根据平抛知识可知在水平方向上L＝v0t，在竖直方向上h＝g月t2，解得g月＝，故A错误；在月球表面＝mg月，解得m月＝，则月球密度为ρ＝＝＝，故B正确，D错误；月球的第一宇宙速度v＝＝，故C错误。]

估算天体质量和密度的“四点”注意
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。

[跟进训练]
1．如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上。设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是(　　)

A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
B　[由万有引力定律知A项错误，B项正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识易知任意两颗卫星间距d＝2rcos 30°＝r，由万有引力定律知C项错误；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，则D项错误。]
2．(2020·江苏南京师大附中高考模拟)2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为＝，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　)

A．该黑洞的质量M＝ B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的半径R＝ D．该黑洞的半径R＝
B　[设黑洞的质量为M，环绕天体的质量为m，根据万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力有：G＝m，化简可得黑洞的质量为M＝，故B正确，A错误；根据黑洞的质量M和半径R的关系＝，可得黑洞的半径为R＝＝＝，故C、D错误。]
3．如图所示，2019年1月3日，“玉兔二号”巡视器驶抵月球表面开始科学探测。已知月球表面的重力加速度g0为地球表面重力加速度g的，若月球半径R0约为地球半径R的，则月球密度ρ0与地球密度ρ的比值约为(　　)

A．1 B． C．6 D．2
B　[对于质量为m的物体，根据万有引力定律有G＝mg0、G＝mg，月球和地球质量分别为M0＝ρ0·πR、M＝ρ·πR3，又g0＝g、R0＝R，联立解得ρ0＝ρ，B项正确。]
宇宙速度及卫星运行参量的分析计算　
1．宇宙速度与运动轨迹的关系

(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
2．物理量随轨道半径变化的规律

3．同步卫星的六个“一定”

[典例示法]　如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是(　　)

A．b卫星转动线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Tc>Tb>Ta
D．在b、c中，b的速度大
思路点拨：解此题抓住以下两个环节
(1)赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度(周期)；
(2)赤道上物体与卫星比较物理量时，要借助同步卫星过渡。
D　[b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有G＝m，解得v＝，代入数据得v＝7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B错误；卫星c为同步卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2π得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝，可知b的速度比c的速度大，故D正确。]

研究卫星运行熟悉“三星一物”
(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。

[跟进训练]
　宇宙速度的理解
1．据悉，我国的火星探测已引起各国的关注，我国将于近几年进行第一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器。已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于火星探测器的说法中正确的是(　　)
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的
D　[要将火星探测器发射到火星上去，必须脱离地球引力，即发射速度要大于第二宇宙速度，火星探测器仍在太阳系内运转，因此从地球上发射时，发射速度要小于第三宇宙速度，选项A、B、C错误；由第一宇宙速度的概念，得G＝m，得v1＝，故火星探测器环绕火星运行的最大速度与地球的第一宇宙速度的比值约为＝，选项D正确。]
　卫星的运行问题
2．(2020·重庆一中月考)如图所示，卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用T、a、v、S分别表示卫星的周期、加速度、速度、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的是(　　)

A．TA>TB B．aA>aB
C．vA>vB D．SA＝SB
A　[根据万有引力提供向心力可得＝＝＝ma，可知线速度为v＝，周期为T＝，加速度为a＝，A的轨道半径较大，则vA<vB，TA>TB，aA<aB，故A正确，B、C错误；由开普勒第二定律可知绕一中心天体运动的卫星与中心天体连线在相等时间内扫过的面积相等，A、B不是同一轨道，所以A、B与地心连线在单位时间内扫过的面积不同，故D错误。]
　同步卫星、近地卫星与赤道上的物体
3．地球赤道上有一物体随地球自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则(　　)
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
D　[地球同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v＝ωr和a＝ω2r可知，v1<v3，a1<a3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星和地球同步卫星，它们受到地球的万有引力提供向心力，即G＝mω2r＝＝ma可得v＝，a＝G，ω＝，可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v2>v3，a2>a3，ω2>ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g。综上可知v＝v2>v3>v1，g＝a2>a3>a1，ω2>ω3＝ω1，又因为F＝ma，所以F2>F3>F1，D项正确。]
卫星变轨问题　
1．卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。
[典例示法]　2017年1月18日，世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”在圆满完成4个月的在轨测试任务后，正式交付用户单位使用。如图为“墨子号”变轨示意图，轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，以下说法正确的是(　　)

A．“墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中速率越来越大
B．“墨子号”在轨道C上经过Q点的速率大于在轨道A上经过P点的速率
C．“墨子号”在轨道B上经过P时的向心加速度大于在轨道A上经过P点时的向心加速度
D．“墨子号”在轨道B上经过Q点时受到的地球的引力小于经过P点时受到的地球的引力
D　[“墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中，逐渐远离地心，速率越来越小，选项A错误；“墨子号”在A、C轨道上运行时，轨道半径不同，根据G＝m可得v＝，轨道半径越大，线速度越小，选项B错误；“墨子号”在A、B两轨道上经过P点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，选项C错误；“墨子号”在轨道B上经过Q点比经过P点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，选项D正确。]

航天器变轨问题的“三点”注意
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。
(2)同一航天器在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒，在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。

[跟进训练]
1．(2019·临沂2月检测)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播。影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ。在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚。对于该过程，下列说法正确的是(　　)

A．沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ
B．沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期
C．沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度
D．在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大
B　[沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向后喷气加速才能进入轨道Ⅱ，故选项A错误；因在轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅱ的运动半径，根据开普勒第三定律可知，沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期，故选项B正确；由G＝ma可得a＝，则沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度大于在B点的加速度，故选项C错误；根据开普勒第二定律可知，在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐减小，选项D错误。]
2．(2020·江苏南京三模)“嫦娥四号”已成功降落月球背面，未来中国还将建立绕月轨道空间站。如图所示，关闭动力的宇宙飞船在月球引力作用下沿地—月转移轨道向月球靠近，并将与空间站在A处对接。已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，月球的半径为R，下列说法正确的是(　　)

A．宇宙飞船在A处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火加速
B．地—月转移轨道的周期小于T
C．月球的质量为M＝
D．月球的第一宇宙速度为v＝
C　[根据圆周运动的供需平衡关系，从轨道比较高的椭圆变轨到轨道高度比较低的圆周，应减速，A错误；根据开普勒第三定律可知＝k可知，地—月转移轨道的半长轴大于空间站圆周运动的半径，所以地—月转移轨道周期大于T，B错误；以空间站为研究对象，它做匀速圆周运动的向心力来源于月球对它的万有引力，可知＝mr，所以M＝，C正确；月球的第一宇宙速度v＝，将C选项求得的M带入可得v＝，D错误。]