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2021年高考数学三轮冲刺训练 集合与常用逻辑用语

2021年高考数学三轮冲刺训练 集合与常用逻辑用语

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集合与常用逻辑用语
1.集合的运算.高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．常见选择题.
2. 充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．
3.关于存在性命题与全称命题，一般考查命题的否定.

1、集合的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

2、集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A。
（4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)。
3、相关结论：
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。
(2)不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.
4、两个条件之间可能的充分必要关系：
（1）能推出，但推不出，则称是的充分不必要条件
（2）推不出，但能推出，则称是的必要不充分条件
（3）能推出，且能推出，记为，则称是的充要条件，也称等价
（4）推不出，且推不出，则称是的既不充分也不必要条件
5、运用集合作为工具
由Ü可得到：，且推不出，所以“”是“”充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下：
① Ü：是的充分不必要条件，是的必要不充分条件
② ：是的充分条件
③ ：是的充要条件
6、集合的考查往往涉及到与函数的定义域、值域以及不等式相结合，因此，要掌握有关各类不等式的解法，如分式不等式、一元二次不等式等。

本章内容的高考中的考查是以容易题出现，常见选择题的第一题或者多选题的前两题。方法技巧补交单一。
1、 直接法：总结运算得到答案。
2、 特殊的方法：对两个集合进行赋值，判断两个集合的关系；或者举一些例子进行排除两个命题之间的关系。
3、 借助于数轴或者文氏图，研究集合之间的关系·

1、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=
A．–4 B．–2
C．2 D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式可得，
求解一次不等式可得.
由于，故，
解得.
故选B．
2、已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则
A．{−2，3} B．{−2，2，3}
C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
【解析】由题意可得，则.
故选A
3、已知集合，，则中元素的个数为
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】C
【解析】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选C．
4、设全集，集合，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意结合补集的定义可知，则.
故选C．
5、已知集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
故选D．
6、设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选A．
7、设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=
A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}
【答案】C
【解析】.
故选C
8、已知集合P=，Q=，则PQ=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】】.
故选B.
9、已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】、依题意，是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选B.
10、已知，则“存在使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选C．
11、若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
12、设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得，由可得，
易知由推不出，
由能推出，
故是的必要而不充分条件，
即“”是“”的必要而不充分条件.
故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到的取值范围.
13、设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；
由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.
故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.
故选B．
14、已知集合，则_____.
【答案】
【解析】∵,，
∴.
故答案为.
【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．
15、设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.
16、已知集合，，则 ▲ .
【答案】
【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.
由题意知，.
【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.
17、能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】对于，其图象的对称轴为，
则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，
但f（x）在［0，2］上不是单调函数.

一、单选题
1、已知集合A＝，B＝，则AB＝
A． B． C． D．
【答案】：C
【解析】∵集合A＝，∴集合A＝，
又∵B＝，∴AB＝，故选C．
2、已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题：，，
，
故选：D
3、已知全集．集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
由题得阴影部分表示集合，
或
所以，
阴影部分表示的集合是．
故选：C
4、已知集合A=，B=，若“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，集合，
充分性：
若，则，满足，即“”是“”的充分条件；
必要性：
若，①集合，，此时符合；②集合，此时，解得.
故时，，即“”不是“”的必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5、命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】全称命题的否定“”，故选C.
6、 “”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选B．
7、函数是增函数的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵时，是增函数，
∴函数是增函数的一个充分不必要条件是的一个子集，又 ，
故选：D.
二、多选题
8、下列命题中，是真命题的是（ ）
A．已知非零向量，若则
B．若则
C．在中，“”是“”的充要条件
D．若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数
【答案】ABD
【解析】对A，，所以，故A正确；
对B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；
对C，，
所以或，显然不是充要条件，故C错误；
对D，设函数，其定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数，故D正确；
故选：ABD.
9、，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．函数的值域为
【答案】CD
【解析】对于A，，而，故A错误；
对于B，因为，所以恒成立，故B错误；
对于C，，，，所以，
当时，，此时；
当时，，此时，
所以，，故C正确；
对于D，根据定义可知，，所以函数的值域为，故D正确.
故选：CD.
三、填空题
10、已知命题p：x≤1，命题q：，则是q的______．
【答案】充分不必要条件
【解析】由题意，得：x>1，q：x<0或x>1，故是q的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要条件.
11、已知：，：．若是的必要不充分条件，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为是的必要不充分条件，所以Ü，
所以，Ü，
所以.
故答案为：.