例谈变形技巧在数学解题中的应用本科论文.doc

本科生毕业论文

题目:例谈变形技巧在数学解题中的应用

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目录
摘要……………………………………………………………………1
一、变形的相关理论…………………………………………………2
二、变形技巧在一元二次方程中的应用……………………………3
三、变形技巧在因式分解中的应用…………………………………5
四、变形技巧在不等式中的应用……………………………………7
五、变形技巧在三角函数中的应用…………………………………9
参考文献………………………………………………………………11

摘要:变形是数学解题的一种基本方法, 变形能力的强弱制约着解题能力的高低. 本文主要探讨变形技巧在一元二次方程、因式分解、不等式和三角函数解题中的应用. 掌握并灵活运用好变形技巧, 可以将复杂问题简单化, 减少麻木性, 提高解题效率.
关键词:数学解题；变形技巧；一元二次方程；因式分解；基本不等式；三角函数
中图分类号:O119 文献标识码:A

例谈变形技巧在数学解题中的应用
陈海霞（1120510125）
数学是个有机的整体, 各部分之间相互联系, 相互渗透, 从而构成相互交错的立体空间, 对各部分知识间的灵活掌握, 更需要融会贯通.[1] 近些年, 数学题目越来越新颖, 技巧性强,对有些题目进行适当变形, 把复杂的数学问题简单化, 从而顺利求得问题的答案. 掌握并灵活运用好各类问题的变形技巧, 有助于培养学生的逻辑推理能力, 运算能力和空间想象能力,同时, 用变形的方法, 有助于把握数学问题的本质, 它既是教师常用的一种重要数学方法,也是学生解题时一种非常有效的思想方法. 此外, 数学的学习内容是有意义的, 富有挑战性的, 要重视学生的学习能力和学习方法, 充分利用数学变形技巧进行解题, 不断提升学生的数学素质.[2]
一、变形的相关理论
变形是数学解题的一种常用方法, 变形能力的强弱制约着解题能力的高低.[1] 变形是为 了达到某种目的或需要而采取的一种手段, 是化归、转化和联想的准备阶段, 它属于技能性 的知识, 既灵活又多变, 一个公式, 一个法则, 它的表达形式多种多样, 也存在技巧与方法,在实践中反复操作才能把握, 能够让学生更好的理解变形技巧, 乃至灵活运用. 变形的一般 形式主要有以下三种:
1. 等价变形
等价变形就是利用等价关系进行的变形, 在等价关系的条件下, 通过等价变换的方式使 数学问题得到解决, 等价变形的本质就是在保持原来各种量之间的关系不变的情况下, 只是 改变它们的表达形式. 常见的等价变形依据有: 根据特定概念的定义, 对数式, 指数式的相 互转化, 如对数函数, 可以等价变形为; 根据等式与不等式的基本性质, 比如移项, 系数化为; 根据计算的结果, 将具体方程或不等式的形式转化为其具体的解 或解集等.
2. 恒等变形
恒等变形是在等价变形的思想指导下进行的, 它的变形形式有代数式恒等变形、多项式 恒等变形、分式恒等变形、三角函数恒等变形、对数式恒等变形等. 若将两个代数式子中的 字母换成任意相同的数值, 这两个代数式的值都相等, 我们就称这两个代数式恒等, 表示两 个代数式恒等的式子叫做恒等式. 如是一个恒等式, 把式子变为的这步变形, 使变形的式子恒等, 我们把这样的变形叫做恒等 变形.
3. 同解变形
同解变形是在等价转化思想的指导下, 通过等价的变换, 使得原来的等式与变形的等式 有相同的解. 方程的同解变形的一般形式有: 交换其中任意两个方程的位置, 其余不变; 将任一个方程乘以一个非零的常数, 其余不变; 将任一个方程的常数倍加到另一个方程上, 其余不变. 需要注意的是:
① 方程两边同时加上或减去同一个分式不是同解变形, 如方程的两边都加 上, 得,原方程的解为, 而变形后的方程无解.
② 方程两边同时乘以不是同解变形, 如方程的两边都乘以, 得, 即, 此方程的解为任何实数, 而原方程的解为.
③ 方程两边同时乘以或除以同一个整式不是同解变形, 如方程的两边都乘 以, 得, 原方程的解为, 而变形后的方程解为, .
④ 方程两边平方不是同解变形, 如方程, 两边平方, 得, 原方程的解为, 而变形后的方程解为, .
二、变形技巧在一元二次方程中的应用
学生在平时学习中不善于积累变形经验, 在稍复杂的问题面前常因变形方向不清, 导致 问题难以解决, 有些含有或可转化为一元二次方程的代数问题, 能对方程进行适当变形并施 以代换, 常常可使问题化繁为简.[3] 下面列举说明.
例1 已知,是方程的两根, 求的值.
分析: 作为方程两根, ,地位是平等的, 而所求式子中,的次数相差悬殊, 应设法将的次数降下来, 由, 得, 从左向右次数降低了, 对可进行连续降次, 最终降为一次, 即
,
于是, 所以只要求出即可.
解: 因为是方程的根, 所以, 即, 则
,
所以,
又因为,是方程的两根, 由韦达定理得
,
于是.
本题若按步就搬地求出,的值, 则计算较复杂, 而且容易出错, 而通过变形的技巧先从结论出发, 转换思维, 则可以提高解题的效率, 节省时间, 把握好问题之间的潜在问题.
例2 已知,是一元二次方程的两个根,
求的值.[3]
分析: 观察所要求的表达式, 表达式较复杂, 即使求出,的值代入, 计算也较难进行, 所以应考虑将表达式变形成与有关的式子, 巧妙运用韦达定理, 不必分别求出和的值.
解: 由,是一元二次方程的两个根, 可得
, , 及, , 则

.
在解决一元二次方程的代数问题时, 要认真观察已知条件和所要求的式子, 考察它们之 间有什么关联, 再充分利用已知条件来解决所要求的问题. 同时是要灵活应用韦达定理: 即 如果,为方程的两个根, 则, . 在解这类问题时, 可以从已知条件出发, 也可以从结论入手, 关键是要善于发现所要求式子的特点.
三、变形技巧在因式分解中的应用
多项式的因式分解, 方法多样, 技巧性强, 有些多项式乔装打扮, 貌似不能因式分解,但经过适当变形, 创造条件, 便可以进行因式分解.[4] 因式分解的主要方法有符号变形、加减变形、换元变形、拆项变形、化简变形等, 利用这些常见的变形方法解决一些具体的因式分解的问题. 掌握了这些变形方法后, 这类因式分解问题就可以迎刃而解了.
1. 换元变形
例3 分解因式.
分析: 直接展开项数较多, 也不利于进一步因式分解, 可以将考虑将四个因子两两结合, 并且使得两两结合之后的表达式尽可能接近, 比如将与结合, 与结合, 得到与, 显然它们有相同的项, 还可以考虑将作 为相同的项, 两种情形都应将相同的项作为一个整体, 为计算方便, 可作适当的换元.
解:

,
若令, 则上式子变形为

,
最后再将代入可得
.
若将看成一整体, 并令其为, 则上式变形为, 原式解因式为. 换元变形常用于较复杂的多项式, 并且其中有相同的部分, 将相同的项看成整体进行换元, 掌握换元法, 进行适当变形, 能灵活应用于其他复杂的多项式因式分解中.
2. 拆项变形
例4 分解因式.
分析: 拆项变形是一种常见的分解因式的方法, 拆项变形之后通常分组分解, 观察表达式, 容易想到把前两项组合并提取, 得, 但这个表达式不能继续分解下去了, 需要调整, 假如小括号中不是减, 而是减就简单了, 则可以考虑将与一次项结合, 将一次项拆开, 拆成; 或者考虑将与常数项结合, 将常数项拆开, 拆成. 这样拆项, 使复杂问题简单化, 更容易使问题得到解决.
解法一: 拆一次项
=
=
=
=
=.
解法二: 拆常数项
=
=
=
=
=.
本题若先提取前两项的公因子, 导致无法继续分解下去, 善于观察所求分解的表达式 的特点, 找出此题的关键是拆项, 拆项后与结合进行分解. 寻求多种方法进行解题, 体会解决问题策略的多样性, 增强应用数学的意识, 提高解决问题的能力.
四、变形技巧在不等式中的应用
不等式就是用不等号将两个解析式连结起来所成的式子, 也就是在一个式子中, 数的关系不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式. 在利用不等式求解函数最值问题时, 有些问题可以直接利用公式求解, 有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解; 在解不等式问题时, 还可以通过画图进行分析求解. 下面简单介绍不等式常用的变形技巧.
例5 已知, 求函数的最大值.[5]
分析: 本题无法直接运用均值不等式求解, 考虑用两种方法, 求出此题的最大值, 由, 得, 再巧乘常数, 或由,得, 再巧提常数, 最后利用均值不等式得最值.
解法一: 因为, 得,
所以.
当且仅当时, 即时取等号.
解法二: 因为, 得,
所以,
当且仅当时, 即时取等号,
所以当时, 取得最大值为.
形如或等的表达式主要有两种变形方法, 巧乘常数 或巧提常数, 可以使问题更易解决, 掌握所用变形方法, 在实践中灵活使用.
例6 解不等式.
分析: 可以采用两种方法来解决这道题, 代数法和图像法. 利用代数法求解时, 分和两种情形讨论; 利用图像法求解时, 设为反比例函数, 其图像为双曲线, 是一次函数, 其图像为直线, 求的解集, 即求双曲线在直线上方时的范围.
解法一: 用代数法, 分下列两种情形:
① 当时, 不等式两边都乘以, 得, 即,解得, 又, 所以不等式的解集为.
② 当时, 不等式两边都乘以, 得, 即, 解得或, 又, 所以不等式的解集.
综合①②得, 不等式的解集为或.
解法二: 用图像法.
设, , 画出这两个函数在同一平面直角坐标系内的图像, 联立方 程, , 求出其交点, 分别为和, 观察图像可得: 当或时, 双曲线在直线上方, 即, 于是不等式的解集为 或.

代数法主要适用于计算题, 能够充分的体现数学思维的严谨性；图像法则更适用于选 择题、填空题等类型, 能很直观的让人理解和接受. 无论是用代数法解题，还是用图像法解题, 都要对问题进行分析，找出恰当的方法，适当地对题目进行变形，使问题更有效率的得到解决.
例7 若,且满足, 求的最小值.[6]
分析: 本题要求的值, 自然想到将已知条件转化为, 但转化后也不 能求得的最小值, 通过“1”的代换, , 得=, 再利用均值不等式得到最小值.
解: 由,且, 得
==,
当且仅当, 即且时, 等号成立,
所以的最小值为.
以“”进行变形, 是比较常见并且灵活的方法, 在数学问题的求解过程中, 我们要善于 捕捉“”, 适时将“”进行变形, 获得理想的解题方法, 减少了使用基本不等式的次数,有效地避免了等号不能同时取到的麻烦.
五、变形技巧在三角函数中的应用
三角函数变形主要为三角恒等变换, 三角恒等变换在数学中涉及广泛, 三角公式众多,方法灵活多变, 若能熟练掌握三角恒等变换的技巧, 不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解, 而且还能发展数学逻辑思维能力, 提高数学知识的综合运用能力.[7] 下面通过例题体会三角函数的变形技巧.
1. 变换角的形式
例8 求的值.
分析: 本题涉及到的角有三个, 注意到这三个角的关系是两两相差一个特殊角, 选择一 个适当的角为基本量, 将其余的角与这个基本量组成和差关系, 改变原来的角的形式, 再运 用两角和正弦、余弦公式
,

进行变形.
解: 令, 则
原式

.
对含有不同角的三角函数式, 通常利用各种角之间的数值关系, 将它们互相表示，熟记掌握三角函数的一些转化公式, 这样使解题变得更容易, 要加强对运算能力的培养, 学会主动寻求合理、简捷的运算途径, 加强解题训练, 提高运算的准确性和实效性.[7]
2. 代数方法变形
例9 锐角,满足条件, 则下列结论中正确的是( ).
A. B.
C. D.
分析: 本题通过换元转化法, 将三角问题转化为代数问题来解决, 用代数方法对三角函 数式因式分解, 进行等量代换变形, 令=,=, 则有, 化简整理得, 即, 所以, 由,均为锐角, 可得, 于是, 因此选D.
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法. 此题通过对复杂的三角函数式子做等量代换，将三角问题变形成代数问题，使问题变得更加简捷. 该方法虽然十分简单而且方便，但要真正地掌握和灵活使用，还需要在以后的学习和实践中不断归纳和总结.
由于中学数学的改革及社会发展的需求, 提高我们的应试能力和解决问题的能力, 数学 变形技巧作为一种解题的手段越来越被人们广泛使用. 但是它并没有一定的规则, 所以需要 我们在平时的学习中加以运用和积累. 本文通过对变形技巧在一元二次方程、因式分解、不等式、三角函数解题中应用, 利用具体的例子来阐述说明变形技巧的作用. 熟练掌握基本的变形技巧, 能够提高解决问题的能力, 增强对数学学习的兴趣和学好数学的信心.

参考文献:
[1]陈东磊. 浅谈数学中的变形技巧 科教文汇[J],2012(05):108-109
[2]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准2011版 [M],北京师范大学出版社,2012
[3]徐德义. 一元二次方程变形的应用[J].初中数学教与学,2002(10):14-15
[4]朱德祥. 方法、能力、技巧[M].昆明:云南教育出版社,1989
[5]董开福. 《中学数学教材分析（第一版）》[M].昆明.云南出版社,1999
[6]袁良佐. 加“0”与乘“1”.中学生数学[J].2002,6:15-23
[7]李根水. 中学数学解题方法与技巧——变形与变换 [M] 北京师范大学出版社,1989

指导老师:朱秀娟
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