储油罐的变位识别与罐容表标定模型(数学建模)-毕业论文.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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日期： 2010 年 9 月 13 日

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储油罐的变位识别与罐容表标定
摘 要
本文旨在对储油罐的变位情况进行分析，并建立体积积分模型对罐容表的标定值进行求解计算。
根据题意要求对发生变位，即纵倾与横滚情况下的储油罐罐容表进行正确的标定定位，需要标定的油罐分为两种，通过分析我们考虑到，对于椭圆柱体油罐和实际油罐其初步的分析情况是一致的，都需求解出两侧的面积，并在此基础上对圆柱的变化情况进行积分，并根据其特有的结构进行一定的近似积分求解。本题所涉及到主要工作有体积积分模型的建立，数据的拟合，误差的分析以及罐容表的标定。
对于第一问，要求对椭圆型的储油罐进行罐容表标定，由于椭圆油罐的倾斜角是已知的，故我们可以根据正切关系求解出测量高度下的左侧面的液面高度，为了积分求解的方便，我们建立椭圆曲线方程式，并移动坐标轴至椭圆低端，进一步在转化为极坐标的情况下，对相应液面高度的椭圆面积进行积分，从而得到左侧液面高度的面积值。通过分析我们考虑到，由于液面是按一定的规律从左至右倾斜而下，以及考虑到斜液面的积分分为三段高度，故我们在求解出左侧面积的基础上对斜率变化下的椭圆面积进行分段积分，由此得到椭圆柱体储油罐相应高度的体积情况，通过对原始数据的比较，发现有一定的误差，并按油面的高度成二次曲线的关系，最后我们根据体积积分模型以及结合误差关系曲线得出了120个间隔为1cm高度的椭圆柱油罐体体积。
对于第二问，要求对实际的球冠柱体的储油罐进行罐容表的标定，由于题中所给的纵倾角和横滚角是未知的，故我们需要在建立模型的基础上用最小二乘法拟合得到角度的参数。通过分析我们考虑到附件2中的油量累加体积数据可能存有很大的误差，而两个时间点下少量的出油体积数据是准确无误的，故拟合参数时，必须要把前一个高度下计算得出的体积量减去下一个的体积量。在建立模型时，我们使用了坐标变换的方法并结合使用两个切面的二重积分方法得出了中间圆柱体的体积，进一步的我们对两个球冠头依次按照横切和纵切的一重积分法得出其相应体积，由于切割面积是建立在相对于油罐的水平情况下，而液面的高度是水平于地平线的，故还存有一个小切块体积，我们同样使用三角形近似切割积分法对两个球冠头下剩余的切块体积进行求解。综合以上三个积分体积之和以及在考虑到液面的分段情况下，我们使用逐步搜索法对角度参数进行精度搜索并结合最小二乘法得出了的值为。最后我们根据得出的角度值计算出了30个间隔为10cm高度的储油罐体积值。
本文最后对模型的优缺点进行了分析，并对在相互变化的情况下进行了灵敏度分析。文章中我们使用了大量的图表使抽象的理论情况更为形象化。

关键词：最小二乘拟合 体积积分 纵倾横滚 坐标变换 逐步搜索法

1 问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
2 问题分析
本文主要是让我们根据小椭圆型模型求得实际罐容与高度的关系式，进而标定罐容表。对于小椭圆模型，想到应该先求出无变位时的模型，这部分是规则题，应该能求出具体表达式。在得到无变位模型后，我们分析变位和无变位之间的区别仅仅在于变位后，罐内油位高度不是定值，而是沿着一个平面线性变化。这时计算体积，想到只要把每个地方的椭圆面面积都求出来，进而积分就可以得到。而椭圆面的截面积在无变位模型时已求解出，我们只需将始终的高度用现在的高度表达式替换即可。
在得到第一问的模型后，分析第二问中实际储油罐与小椭圆储油罐的区别在于中间部分为圆柱体，两边为球罐体。中间部分与第一问中的椭圆柱体本质上是一致的，只是加上横向偏转后，实际各点高度与油位计的高度关系更为复杂。两边的球罐体可以采用分割近似求解来求。
3 模型假设
[1] 假设在理论计算体积时，不考虑罐壁厚度；
[2] 假设理论值与实际值的误差主要来自于罐体内部结构；
[3] 假设给出的实验数据与真实值很接近，可以作为检验数据；
[4] 假设罐体结构不会随温度、储油量或其它环境因素的影响而发生变形。
4 符号说明
——无变位时油罐体罐容； ——变位时油罐体罐容；
——油位计测量罐内油位高度； ——截面面积。
5 小椭圆储油罐罐容标定模型（问题一）
为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，本节利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）来模拟实际储油罐，分别针对罐体无变位和倾斜角为a=4.100的纵向变位两种情况建立数学模型，与实验数据进行比对，分析模型的正确性，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
本节内容安排如下：
l 罐体无变位模型
l 罐体变位模型
l 结果与误差分析
l 罐容表标定
5.1 罐体无变位模型
问题要求我们建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。考虑到罐体倾斜后，涉及到倾角，在用几分求体积表达式时比较复杂，为此我们先研究简单情况——罐体无变位时罐容（体积）与油位计测量罐内油位高度的关系式，即为罐体无变位时的数学模型。下面分析求解过程及计算方法。
5.1.1 罐容与油位高度的关系式——无变位模型
为使问题数学化，我们采用解析几何的方法，首先建立如图所示三维直角坐标系，如图5.1所示。

图5.1 三维直角坐标系
我们要求罐容，也就是图中虚线以下部分体积，与油浮子高度的关系式，显然需要用到多重积分。
已知三重积分的积分函数时，其在空间有界闭区域上得三重积分即为有界闭区域的体积，即
（5-1）
根据上述知识，我们只需要确定有界闭区域的空间表达式，即可在上对函数积分得到的体积。
（1）积分空间的表达式
图5.1给出的是椭圆形储油罐的正面图，我们画出其侧面图（椭圆），将其放在与图5.1一致的直角坐标系内，如图5.2所示。

图5.2 储油罐侧面图
我们可以清楚地看出侧面是一个椭圆，已知其半长轴和半短轴，可以很快写出其表达式如下：
（5-2）
在确定侧面椭圆表达式后，我们来确定上面表达式，上面应是平行与平面的平面，其表达式为：
（5-3）
在确定这两个面以后，还需知道的范围，从图中可以看出
（5-4）
由此，我们可以得到空间有界闭区域应为曲面，平面，围成的闭区域，即：

（2）闭区域的体积——无变位时罐容表达式
三重积分求解过程如下：
将投影到面上，得投影区域如图5.3所示。

图5.3 投影区域
则应有
（5-5）
只需求解双重积分即可得出体积。显然双重积分应为图中阴影部分的面积，记为。由于满足椭圆关系式，这里采用极坐标计算。
先进行坐标变换：
双重积分 （5-6）
令 ，
由积分限 ，
得 ，
只取到椭圆的右半部分，故
（5-7）
最终得到无变位时罐容表达式为：
（5-8）
5.1.2 分析理论与实验结果
我们将附件1中无变位进油和无变位出油时测得的油位高度带入式（5-8），求出对应的罐容理论计算值，如附表1.1所示，MATLAB程序见附录2.1。这里给出部分理论值表，如表5.1所示。
表5.1 无变位时部分罐容值
油位高度/mm
实际罐容/L
理论罐容/L
误差/L
100.00

163.594

159.02
312
322.88
10.88
176.14
362
374.63
12.63
192.59
412
426.36
14.36
208.50
462
478.13
16.13
223.93
512
529.85
17.85
238.97
562
581.61
19.61
253.66
612
633.35
21.35
268.04
662
685.08
23.08
为清晰看出实验值与理论值之间的关系，利用MATLAB画出两者相同高度对应的体积走势图如下图5.4所示。

图5.4 理论值与实际值比较
分析结果：
比较理论与实际差值，发现理论值比实际值高，且随着油位计测量罐内油位高度的增加，差值变大。这一结果与事实是相符的，为证明模型的正确性，下面分析理论值与实际值不一致，且随高度增加变大的原因。
从题目中给出的图形，不难发现，储油罐底部空间内部基本没有什么管道之类，而越到上部，罐内结构越复杂，所占空间也越多，所以实际容积会出现比理论值小的现象。根据实际储油罐的内部结构决定当采用相同高度计算理论值时会比实际罐容量大，这是合乎实际的。因而可以确定本模型是正确的。
5.2 罐体变位模型
在得到小椭圆储油罐无变位模型后，我们再考虑倾角对罐容的影响。此时，由于已有正常情况下的模型，我们只要找到变位模型与无变位模型的关系，推理过去，即可得到变位模型。下面分析求解方法、过程以及结果分析。
5.2.1 罐容与油位高度的关系式——变位模型
（1）建立直角坐标系
同样，我们用解析几何及微积分知识来建模。首先，建立直角坐标系。由于储油罐发生变位，有一定得倾角，因此在建立直角坐标系时，就得考虑怎样选取坐标轴。此时，若取水平线为一条轴，显然会使问题变得复杂，尤其是椭圆面的表达式，且前面求得的无变位模型没有使用价值。
考虑到以上因素，我们仍建立与无变位模型相一致的坐标系，如图5.5所示。只是，此时罐内液体不在与罐底平行，而是发生一定程度的倾斜。

图5.5 三维直角坐标系
（2）积分空间的表达式
和无变位模型分析一样，我们只需确定积分空间，然后对积分函数在闭区域内进行三重积分即可求得变位时罐容与油位高度的数学模型。
分析比较发现，变位模型与无变位模型最大的区别在于，无变位模型液面与面平行，变位模型与面存在一定夹角。这就使得原积分空间是由大小一致的椭圆面（一部分）累加而成，现在的积分空间是随着值改变大小改变的椭圆面（一部分）累积而成。
因此，我们只需确定空间上面的表达式即可知道积分空间。
从图5.4中不难求出上平面的表达式如下：
（5-9）
故应是平面平面，椭圆面，及围成，即：

（3）闭区域的体积——变位时罐容表达式
我们分析知道每一个液面高度对应一个面积，当把所有的面积累加起来（积分）就可得到体积。在无变位模型时，面积是一个定值，现在只需将原模型中的高度用现在变化的高度表达式替换，然后再积分即可得体积。
考虑到罐体发生变位后，体积求解会随高度的变化而使表达式发生改变，体积应是油高的分段函数。对此，我们将体积的求解分为如图5.6所示三段考虑。

图5.6 分段示意图
①第一种情况，求解过程如下：
当时，也就是油位高度超过图中第I部分的最大高度，但小于第III部分的最低高度时，此种情况跟无变位时求解方法一样。
我们利用无变位时油位高度对应的面积表达式
，
根据高度表达式，可以知道每个位置对应的高度，将无变位时面积表达式中的用替换，即可得到倾角时的面积表达式为：
（5-10）
在得到面积关于的表达式后，我们对从0到积分，即可得第一种情况下储油罐装油体积（罐容）与油位高度的表达式：
（5-11）
②第二种情况，求解过程如下：
当时，也就是油位高度在图中第I部分范围内时。分析知，在求其体积时，面积表达式与第一种情况一样，只是积分限不再是从0到，而应变为从0到。
因此，在求解体积时只需将积分限改变，就可以求得第二种情况下储油罐装油体积与油位高度的表达式：
（5-12）
③第三种情况，求解过程如下：
当时，即油位高度上升到图中第III部分时，分析知可以采用整个储油罐体积减去没有装油的体积。对于III部分没有装油的体积，我们同样先求椭圆面面积，此时高度应为

利用式（5-7）可以得到上面没有装油的部分平行于平面的截面积如下：

然后对从到积分，即可得没有装油部分的体积。整个油罐的体积为，用其减去没有装油部分的体积，得到第三种情况下储油罐装油与油位高度的关系式为：
（5-13）
综合上述三种情况得到变位时罐容与油高的关系式为：

注：用上式求得体积单位为立方米（1立方米=1000升）。
5.2.2 结果与误差分析
我们利用MATLAB编程求解附件1中变位进油和变位出油高度时，对应的罐容理论计算值，如附表1.2所示，程序见附录2.2。这里给出部分数据，如表5.2所示。
表5.2 变位后部分理论计算值
油位高度/mm
实际罐容/L
理论罐容/L
误差/L
411.29
962.86
1010.08
47.22
423.45
1012.86
1058.36
45.51
438.33
1062.86
1118.083
55.22
450.54
1112.86
1167.56
54.71
463.90
1162.86
1222.12
59.32
477.74
1212.86
1279.23
66.37
489.37
1262.86
1327.52
64.66
502.56
1312.79
1382.64
69.85
514.69
1362.79
1433.64
70.85
为清晰看出实验值与理论值之间的关系，利用MATLAB画出两者相同高度对应的体积走势图如下图5.7所示。

图5.7 变位后实际值与理论值
比较理论与实际差值，发现理论值同样比实际值高，但随着油位计测量罐内油位高度的增加，误差先变大后变小。这一结果与事实是相符的，为验证模型的正确性，下面分析理论值与实际值不一致，且误差随高度增加先变大后变小的原因。
从题目中给出的图形，不难发现，储油罐底部空间内部基本没有什么管道，而越到上部，罐内结构越复杂，所占空间也越多，所以实际容积会出现比理论值小的现象。随着油位高度的升高，误差逐渐积累，因而误差先增大。当油位上升到一定高度后，上部空间会出现增大的趋势，因而误差又逐渐减小，所以本模型正确。
5.2.3 罐体变位罐容表标定
在得到变位罐容与高度的模型后，我们可以标出理论罐容表标定值，显然这样做没有实际意义。因为，标定罐容表是为了方便我们真实的了解罐体发生变位后油位高度与储油量的实际关系。考虑到此，我们决定对误差进行拟合，得到误差表达式，再用理论模型减去误差，即可得到与实际情况很接近的罐容标定模型。
（1）误差拟合
用MATLAB画出附表2.1中的误差随高度变化的曲线如图5.8所示（蓝色部分），可以很快看出误差随高度的变化呈现抛物线趋势，因而我们决定采用抛物线函数来拟合。

图5.8 误差拟合曲线
设拟合误差函数为二次抛物函数
，
利用MATLAB编程可以很快求出参数

画出拟合误差函数的图形如图5.8（红色部分），可以看出二次曲线能很好反映误差变化趋势，且当用理论值减去用误差函数计算的误差时，结果与实验值很接近。
（2）罐容表标定
在得到误差拟合曲线后，我们来进行罐容标定。由于实验给出的数据都是在情况下的数据，且根据上述误差表达式知道在很小时误差几乎为0，因而时就不进行误差修订。
根据上述分析，以及上文求得的体积和误差表达式，我们可以得到进行误差修订后的体积表达式
（5-14）
利用MATLAB编程，得到油位高度变化1cm时的管容标定表如表5.3所示。
表5.3 罐容标定表
高度(cm)
标定值(L)
高度(cm)
标定值(L)
高度(cm)
标定值(L)
高度(cm)
标定值(L)
1
3.53
31
625.24
61
1756.43
91
3035.91
2
6.27
32
656.05
62
1798.89
92
3076.45
3
9.98
33
687.53
63
1841.49
93
3116.68
4
14.76
34
719.64
64
1884.22
94
3156.59
5
20.70
35
752.36
65
1927.08
95
3196.14
6
27.86
36
785.68
66
1970.03
96
3235.32
7
36.32
37
819.56
67
2013.08
97
3274.12
8
46.15
38
853.99
68
2056.20
98
3312.50
9
57.40
39
888.95
69
2099.39
99
3350.44
10
70.14
40
924.42
70
2142.62
100
3387.93
11
84.41
41
960.38
71
2185.88
101
3424.94
12
100.27
42
996.81
72
2229.17
102
3461.44
13
117.76
43
1033.69
73
2272.46
103
3497.40
14
136.94
44
1071.01
74
2315.75
104
3532.81
15
248.63
45
1108.75
75
2359.01
105
3567.62
16
263.82
46
1146.89
76
2402.23
106
3601.81
17
280.48
47
1185.41
77
2445.40
107
3635.35
18
298.49
48
1224.30
78
2488.51
108
3668.19
19
317.74
49
1263.55
79
2531.53
109
3700.30
20
338.16
50
1303.13
80
2574.46
110
3731.64
21
359.68
51
1343.03
81
2617.28
111
3762.16
22
382.25
52
1383.24
82
2659.97
112
3791.81
23
405.80
53
1423.74
83
2702.52
113
3820.53
24
430.31
54
1464.52
84
2744.92
114
3848.26
25
455.72
55
1505.55
85
2787.14
115
3874.90
26
482.00
56
1546.83
86
2829.17
116
3900.37
27
509.11
57
1588.35
87
2871.00
117
3924.51
28
537.02
58
1630.08
88
2912.60
118
3947.04
29
565.69
59
1672.01
89
2953.97
119
3967.87
30
595.11
60
1714.14
90
2995.07
120
3987.03
分析变位后罐容表标定值，可以发现从14cm到15cm体积明显增大，因为此时处于第一段和第二段分界值两边，所以体积明显增大与实际物体形状相符。从117cm以后增大趋势减小，是因为处于第二段和第三段分界处，在向上体积增加将会减小。
6 实际储油罐罐容标定模型（问题二）
为了掌握实际储油罐罐体变位后对罐容表的影响，本节针对罐体纵向倾斜和横向偏转时的情况，建立了罐容与罐内油位高度关系式的数学模型，应用实验数据求出变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值，最后检验模型的准确性。
本节内容安排如下：
l 储油罐罐体变位模型
l 变位参数的确定——
l 罐容表标定
l 结果分析
6.1 实际储油罐罐体变位模型
在得出第一问模型后，对第二问有很多启发。在求解第二问体积与高度的关系式时，我们可以借助第一问的求解思路，对此我们将实际储油罐分为三部分——两个球冠体、一个圆柱体，分别求出每部分体积后相加，即可得实际储油罐储油体积与油位高度的关系式。
建立如图6.1所示三维直角坐标系，由图清晰得知需要求三部分的体积，下面分别介绍每部分的求解过程。

6.1.1圆柱体部分的体积
（1）求截面积
我们从实际储油罐中拿出圆柱体部分，画出示意图如图6.2所示，同样需要分三种情况考虑。下面先计算平行于平面高度为的截面的面积。

图6.2 圆柱体部分
画出截面部分示意图，如图6.3所示。

图6.3 截面示意图
观察发现截面都是圆的一部分，写出圆的表达式如下：

我们需要求出图中阴影部分面积

采用极坐标法来求解，先令
然后换积分限，时，只是右半部分，由于两边对称，所以
（6-1）
在求得截面面积后，我们需要找到与的关系式，从而能够得到截面积与的关系式，又知上平面方程为

分析罐体变位时，油位探针相对于罐体的位置不变，从侧面看它应是始终通过圆心的，示意图如图6.4所示。

图6.4 侧面变位示意图
由图可以很快求出与的关系式如下：

将的表达式带入式（6-1），求得截面积与的关系式如下：
（6-2）
（2）圆柱部分的体积
①第一种情况：
当，即时，积分函数为截面积，积分限为，求得体积

②第二种情况：
当，即时，积分函数为截面积，积分限为，求得体积

③第三种情况：
当，即时，这种情况需要分为两段来考虑，第一部分是整个圆面从0到对积分，第二部分还是对截面积积分，积分限为，求得体积
最终得到圆柱部分的体积为

6.1.2 左侧球罐体部分的体积
为使计算简单我们以球心为原点建立新的直角坐标系，如图6.5所示。

图6.5 球罐体坐标系
由勾股定理可以求出球的半径，用如下式计算

求得半径，进而可以写出球的解析方程

写成极坐标形式为

分析知需将球罐体分为两部分来求解，红线以上和红线以下两部分，下面分开求两部分的体积。
（1）球罐体下部分体积
我们采用平行于平面的截面去截下部分体积，因而我们先求截面面积。截面是球的一部分，表达式为，所以应该是一簇平行圆面的一部分，画出示意图如图6.6所示。

图6.6 截面示意图
图中阴影部分面积就是需要求解的，由于是圆，面积计算方便，这里就采用扇形面积减去三角形面积计算。
扇形面积：
三角形面积：
阴影部分面积：
在得出截面积后，我们把截面积作为积分函数，对从到积分，其中

这里采用极坐标求解，需要换积分限，积分限变为从到，最终得到球罐体下部分体积为

（2）球罐体上部分体积
在与上图同样的坐标系中，我们画出球罐体上部分示意图，如图6.7所示。

图6.7 罐体上部分示意图
底面平面是一个圆面，圆面的方程为，上面是一个与面呈倾角的平面，左侧是球体的一部分。由于倾角不大，为计算出这部分的体积，我们把球面近似看成与面垂直的柱面，当我们作与面平行的截面时，截面就近似为一个个的三角面，求出每个的面积，累加积分即可求出该部分的体积。
三角截面的面积：

对面积积分得到体积为：

将两部分体积相加得到左侧球罐体部分的体积为：

6.1.3 右侧球罐体部分的体积
求右侧体积时，方法和过程和左侧基本一致，只是需要改动一些参量，让两部分相减来得到。示意图如下图6.8所示。

图6.8 右侧罐体示意图
首先还是求解下部分体积，分析知只需将左侧下部分体积表达式中的高度变为即可，表达式如下：

其次，观察上面部分，与左侧的球法也是一样的，近似求解出体积为：

从而的到右侧球罐体的体积为：

整个罐体变位后罐容与高度关系式
将以上三部分求得的体积相加即可得到整个罐体变位后罐容与高度关系式为

6.2 变位参数的确定
在得到整个球罐体变位后储油量与油位高度的关系式后，我们需要确定变位参数——纵向倾斜角度a和横向偏转角度b，附件2中给出了实际储油量与油位高度的数据，分析决定采用最小二乘法来拟合求解体积表达式中的未知参数a、b。
根据上文求解的的表达式，拟合实验数据中出油量，用最小二乘法就是使误差的平方和最小，即使

达到最小。
我们使用MATLAB编程求解，使用搜索法求解纵向倾斜角度a和横向偏转角度b，程序见附录1.3。
具体搜索算法如下：
STEP1: 选取弧度角、的步长为0.1，从初始值为至开始进行搜索。
STEP2: 将附件2中的出油量数据代入到模型中，由于油罐处于倾斜状态，故我们选取测量高度值的中间250个数据。
STEP3：对250个高度值在不同、角的情况下进行模型求解，并将得到的数据带入最小二乘法的模型，使误差的平方和最小。
STEP4: 在得到粗略的、值后，我们在粗略值附近0.2度内，选取步长0.01进行精确搜索求解，直到找到最优值。
STEP5：将得到的、值带入公式，求出误差精度。
6.3 灵敏度分析与罐容表标定
用MATLAB编程拟合求解出=2.11，=4.31，将、带入体积表达式，求解出各高度对应的体积见附表1.3。
分析知用最小二乘法拟合的结果与实验值比较接近，误差较小。为分析出、角度变化对体积的影响，我们将改变，观察到需要调整很大角度，才能与实验结果接近，且拟合精度不高。而当改变，稍微调整角，体积就会有较大变化，很快接近实验值，说明角比角对罐容的影响大。
利用表达式求出间隔10cm的体积，做出罐容标定表如表6.1所示。
表6.1 罐容标定表
高度(cm)
标定值L
增值L/10cm
高度(cm)
标定值L
增值L/10cm
10
507.82

160
35789.84
2915.77
20
1550.29
1042.47
170
38253.57
2463.73
30
3019.22
1468.93
180
40899.34
2645.77
40
4760.69
1741.47
190
43587.77
2688.43
50
6706.22
1945.53
200
46314.15
2726.39
60
8811.14
2104.92
210
48825.86
2511.71
70
11042.61
2231.48
220
51359.63
2533.77
80
13359.26
2316.64
230
53782.85
2423.21
90
15857.99
2498.73
240
56003.42
2220.57
100
18504.57
2646.58
250
58095.31
2091.89
110
21289.54
2784.97
260
60025.13
1929.82
120
24120.60
2831.06
270
61747.12
1721.99
130
26997.35
2876.75
280
63190.34
1443.22
140
29891.08
2893.73
290
64189.42
999.08
150
32874.06
2982.98
300
65176.66

分析罐容表中数据，发现高度间隔10cm增加，体积先是逐渐增大，而后减小，与罐体发生变位后的实际情况是相符的。模型也是分段求解体积的，在每段交接处，值跳变还是很明显的。

附录
附表1.1 附表1.2
小椭圆无变位
小椭圆变位
油位高度/mm
实际罐容/L
理论罐容/L
差值/L
159.02
312
322.88
10.88
176.14
362
374.63
12.63
192.59
412
426.36
14.36
208.50
462
478.13
16.13
223.93
512
529.85
17.85
238.97
562
581.61
19.61
253.66
612
633.35
21.35
268.04
662
685.08
23.08
282.16
712
736.85
24.85
296.03
762
788.58
26.58
309.69
812
840.33
28.33
323.15
862
892.06
30.06
336.44
912
943.80
31.80
349.57
962
995.54
33.54
362.56
1012
1047.30
35.30
375.42
1062
1099.05
37.05
388.16
1112
1150.81
38.81
400.79
1162
1202.55
40.55
413.32
1212
1254.29
42.29
425.76
1262
1306.03
44.03
438.12
1312
1357.77
45.77
450.40
1362
1409.49
47.49
462.62
1412
1461.24
49.24
474.78
1462
1512.98
50.98
486.89
1512
1564.74
52.74
498.95
1562
1616.49
54.49
510.97
1612
1668.24
56.24
522.95
1662
1719.98
57.98
534.90
1712
1771.73
59.73
546.82
1762
1823.46
61.46
558.72
1812
1875.19
63.19
570.61
1862
1926.95
64.95
582.48
1912
1978.68
66.68
594.35
1962
2030.43
68.43
606.22
2012
2082.20
70.20
618.09
2062
2133.95
71.95
629.96
2112
2185.67
73.67
641.85
2162
2237.43
75.43
653.75
2212
2289.16
77.16
665.67
2262
2340.89
78.89
677.63
2312
2392.67
80.67
678.54
2315.8
2396.61
80.78
690.53
2365.8