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个人收集整理 勿做商业用途高等数学强化讲义一 函数 极限 连续 1 函数一 函数的基本概念是一个非空实数集合，设有一个对应规则，使每一个，都有一个确定的实数与之对应，则称这个对应规则为定义在上的一个函数关系，或称变量是变量的函数,记作。二 函数的基本性态1 奇偶性(1) 定义：偶;奇 。(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.（3） 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数, 其中2 有界性（1) 定义：， ，有 .(2) 无界：， ，有 .（3） 无界与无穷： 无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。（4） 常见有界的判定：设在连续, 则在有界.设在连续， 且存在， 则在有界。3 周期性(1） 定义：(2） 导函数:导函数还是周期函数并且周期相同注：周期函数的原函数不一定为周期函数。4 单调性(1） 定义：递增（递减） 当时,均有（2） 导函数:单增（减)；单增(减).题型一 无界与无穷的判定例1 设（A） 偶函数 （B)有界函数 （C） 周期函数 （D）单调函数。例2 当时，变量是（ ）（A）无穷小 （B）无穷大（C）有界的,但不是无穷小量 （D）无界的，但不是无穷大题型二 函数性态的判定例3 设是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是( ）(A） (B) （C） （D)根据上面条件无法判断例4 设函数具有二阶导数,并满足且若 则（ )（A） (B) （C) (D) 练习：设在内可导，且对任意，当时，都有，则( ）（A） 对任意 （B）对任意（C）函数单调增加 （D）函数单调增加 。例5 设函数在下列哪个区间内有界（ ）A (1，0) B （0,1) C （1，2） D (2，3)三 各种其他的函数1分段函数:函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达2 复合函数：与复合而成的复合函数，为中间变量.3 反函数、隐函数(1）原来的函数为,若把作为自变量，作为因变量，便得一个函数，且，称为的反函数。 (2） 隐函数: 。4 初等函数(1） 基本初等函数：常数，幂,指数，对数，三角，反三角.(2） 由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数,称为初等函数.题型三 分段函数的复合方法:各种情形分别讨论。例6 设, ， 试求。2 极限一 极限的概念1 数列极限： 对于当时有 .2 函数的极限（1) (自变量趋向于有限值的情形)（a）,，当时，有.（b) （左极限） 。 （右极限) 。（c) .(2)(自变量趋向于无穷大的情形）(a）,，当时，有.（b） . 。(c) .(3） 常见有不同极限的函数：分段函数、二 极限的性质1 有界性： 有界； 有界2 有理运算性质:（1） 若, ， 则 （a） （b） （c） .(2） 推广：加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不为0,上述运算法则就成立。(3） 延伸:若，则(a） （b)。例 设，求和.3 保号性：当有三 极限的两个存在准则（1）单调有界定理： 若数列单调且有界, 则有极限.（2）夹逼准则： 设在的领域内恒有， 且, 则。四 无穷小和无穷大1 无穷大量： 若, 称为的无穷大量。 正无穷：； 负无穷：。2 无穷小量： 若， 称是时的无穷小量。（1) 设、都是时的无穷小量, 若且,(a） ,称是比高阶的无穷小，记以,(b) ，称与是同阶无穷小。（c) ,称与是等阶无穷小,记以.(2）若为无穷小,且,称的阶无穷小.（3）无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小； 有限个无穷小的和（乘积)仍然为无穷小。(4) 等价无穷小的作用: 若， 则。(5) 如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理.3 无穷小和无穷大关系: 非零无穷小的倒数为无穷大； 无穷大的倒数为无穷小。题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论核心点：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形例1 设对 有且, 则（ ）A 存在且为0 B 存在但不一定为0C 一定不存在 D 不一定存在例2 设数列与满足， 则下面断言正确的是（ )A 若发散，则必发散， B 若无界，则必有界C 若有界, 则必为无穷小 D若为无穷小，则必为无穷小例3 设均为非负数列, 且， 则( )A B C 不存在 D 不存在 例4 设函数在内单调有界, 为数列, 下面命题正确的是( )A 若收敛，则必收敛 B 若单调,则必收敛C 若收敛， 则收敛 D若单调， 则收敛题型二 求函数的极限步骤1：四则运算和等价无穷小注1：四则运算特别要注意左右极限不同的情形。注2：常见的等价无穷小 当时，,，当时, 。例5 求极限.例6 若是等价无穷小，则例7 .例8 求例9 求例10 求例11 求例12 设， 求步骤2：恒等变形（1）. 含的极限. (a）若直接计算且, 直接利用公式（b） 将写成求解.例13 求。例14 （2) 有理化变形 例15 （3) 分子、分母同时除以最大的无穷大常见的无穷比较: 例16 求例17 设, 求。步骤3：洛必达法则和导数定义（1) 先进行步骤1和2,然后再用第3步, 符合洛必达法则用洛比达法则；（2) 若洛必达法则无法使用, 则利用导数定义求解， 此类问题一般为抽象型问题.例18 求例19 设函数，则当时,是的（ )无穷小量的比较(A） 低阶无穷小 （B) 高阶无穷小(C） 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小例20 例21 设且可微, 求极限步骤3： 泰勒定理含：可直接利用Peano形式的泰勒定理.例22 求.题型三 求数列的极限方法1：将换成， 直接利用求函数极限的方法求解。例23 .例24 求方法2：单调有界必有极限， 应用在递推数列求极限例25 设， 且， 证明极限存在并且此极限。方法3：夹逼准则。例26 求,其中.题型四 求数列连加和的极限方法1：直接合并例27 求方法2:夹逼准则一般情况下只放分母不放分子， 且必须使左右两边的放缩项极限相同.例28 求方法3：定积分定义. 若函数在区间上可积， 则例29 求例30 练习:题型五 已知极限求未知参数1 若是的多项式型问题，考虑多项式的最高次数。2 若是型， 根据分子或分母极限为0得到一个参数再求解其他参数。例31 设, 求。例32 确定值,使.3 连续一 连续与间断1 连续的概念（1） 若，则称在点处连续。（2) 若，则称函数在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续. 如果函数在点处连续,则在处既是左连续，又是右连续。2 间断点的分类：非连续点（1） 第一类间断点: 与都存在的间断点：若，则称为跳跃型间断点.若=，则称为可去间断点. (2） 第二类间断点: 与中至少有一个不存在的间断点若与中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点.当时函数值在摆动, 称为摆动型间断点.3 间断点可能情形:定义域的端点、分段函数分段点。二 连续函数的性质1 连续函数运算的性质。 (1) 若在连续， 则,在连续，若还有条件,则在在也连续. (2) 若在连续，在连续, 则在在连续. （3） 初等函数在定义域内都连续.2 闭区间连续函数的性质： 闭区间a,b上的连续函数（1）（有界性定理）在a，b上有界。（2) (最值定理） 在a，b上有最大值和最小值。（3)（介值定理） 设为在a,b上的最小值最大值，则对,至少存在一点，使。（4）(零点定理)若，则至少存在一点，使。注：若，则至少存在一点，使.题型一：讨论连续性与间断点的类型具体函数：一般利用连续与间断的定义。抽象函数：一般利用连续函数运算性质。例1 设内有定义,为连续函数，且有间断点,则 （A）必有间断点。（B)必有间断点。 (C）必有间断点.（D)必有间断点。例2 设函数，讨论函数的间断点,其结论为( ） （A)不存在间断点(B）存在间断点 (C）存在间断点（D)存在间断点例3 设则在处( ） （A)极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 (D)可导例4 求的间断点，并判别其类型。题型二：证明或者方程有根。若具体已知了某些函数值或者函数值的等式， 用零点定理;若没有这些信息， 一般采取介值定理, 只要证明。例5 设在连续,且，求证存在使得 .例6 设是上非负连续函数，且证明：对任意实数(），必存在，使得，且。例5设 ，（1)证明：存在；（2)证明:存在且为正整数）。第二章 一元函数微分学 1 导数与微分一 导数与微分的基本概念1 导数的概念：左导数： 右导数：导数存在 左右导数存在且相等2 微分的基本概念 (1）。(2) 且 3 可导(微)、连续关系：存在在可微在连续.4 导数的几何意义：切线的斜率题型一:可导性的讨论核心点：导数定义，特别要对于分段函数要分左右导数讨论.例1 设函数连续， 则下面命题错误的是（ )（A)若存在， 则 （B）若存在， 则 （C）若存在, 则存在 (D）若存在, 则存在 例2 设,可导的充要条件的是( ) (A)存在 （B)存在（C）存在 (D）存在例3 设可导，,则是在可导的( )条件(A) 充分必要 （B) 充分非必要 （C) 必要非充分 （D) 即非充分也非必要注：若且在连续，存在例4 函数有( ）个不可导点.（A）3; （B）2； （C)1; （D）0。二 导数与微分的计算公式1 导数的有理运算和复合运算法则（1） (2） (3） (4） 2 微分的有理运算和形式不变性(1) (2） ， 不管是最终变量还是中间变量。3 特殊函数求导法(1) 反函数求导:, （2)参数函数求导：， 。（3)隐函数求导三大方法:直接求导、直接微分、公式法.（4）变上限函数求导：设在上连续，则.推广： 4 连环相乘的对数求导法:应用在形如的函数两边取对数 从而题型二：求显函数的导师（1） 定义：讨论可导性、分段函数求导;求函数在一点的导数。(2） 公式:四则、复合、对数.例5 设， 求例6 设, 求例7 设, 求.例8 设在连续, 且，令， 求.例9 设,且在可导， 令,求。题型三：隐函数和参数函数求导隐函数求导有三种方法： 一般情形下求导和求微分的方法等价。但若只要求隐函数在某点的高阶导数(或导数)一般采取直接求导得到的关系， 不采取解出再求导的方法而采取直接对关系式求导的方法.例10 函数由方程确定， 求.例11 设可导函数由方程确定,其中可导函数,且, 求。例12 设设可导函数由参数方程所确定， 求.三 高阶导数 (1）在点处的导数称为在点处的二阶导数，记以。若的阶导数的导数存在，称为的阶导数，记为或。(2)运算法则:，(3） 常见函数的高阶导数：,题型四 求高阶导数 1 直接将函数写成常见函数的加减式, 然后利用常见函数的公式求解.2 若函数为,利用莱布尼茨公式求解.3 若只求某点的高阶导数， 利用泰勒公式例13 设， 求.例14 求函数在点的100阶导数. 2 中值定理和导数的应用一 微分中值定理1洛尔定理: 设函数在闭区间上连续,在开区间内可导， 则存在，使得。2 拉格朗日定理:设函数在闭区间上连续，在开区间内可导， 则存在，使得.推论： 若在内可导，且，则在内为常数。例 证明。3 柯西中值定理:设函数和在闭区间内皆连续，在开区间内皆可导，且，则存在使得 。二 泰勒定理(泰勒公式）(1） Lagrange余项:设在包含的区间内有阶导数，在上有阶连续导数，则对，有公式（2）皮亚诺余项: 设在处有阶导数，则有注：上面展式称为以为中心的阶泰勒公式;时，也称为麦克劳林公式。(3) ,，和等的阶泰勒公式. 三 极值1若对点,存在它的某一邻域， 使得其中，总有，称为函数的一个极大（小）值，称为极大(小）值点。2 必要条件： 为极小值(驻点）或的不可导点.3充分条件: 一阶判别法和二阶判别法（1） 为可能极值点, 在和异号，左边小于0右边大于0为极大值, 反之为极小值.（2) 在处有二阶导数,且，则当，为极大值,为极大值点.题型一：极值的判断与求解1 若只知道函数的连续性, 利用极值的定义求解。2 若已知函数可导， 先求可能的极值点， 然后再用充分条件判断。注:极值的两个充分条件不能互相替代， 例如求隐函数的极值问题只能用二阶导数判别法。例1 设在处连续，若， 问（1） 当时， 是否存在?（2） 是否为的极值点?例2 设由方程确定， 求的极值点和极值。 例3 求函数的单调区间与极值。四 最大值和最小值1闭区间上最值(1) 求出在内所有驻点，和不可导点;（2) 计算；(3） 比较上面的值，最大者就是最大值;其中最小者就是最小值.2 开区间上最值(1) 求出驻点，利用图表法划分单调区间；（2） 作出草图， 求出最值.例4求函数的最大值与最小值。五 凹凸性与拐点1若称是凸的，若则称是凹的。 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。2 必要条件：或不存在。 充分条件：去心邻域二阶可导，在左右变号。题型二：判断凹凸性和拐点例5 设有二阶连续导数且,又， 则（ ）(A) 是的极大值 (B） 是的极小值（C） 是曲线的拐点 (D) 不是的极值， 不是曲线的拐点例6设在连续， 且在内有二阶连续导数, 的图形如右, 则的驻点、极值点、拐点的个数为（ )(A） 4，4，4 (B） 4,4，3 （C) 4，3，4 (D） 5,4，4 六 渐进线1 垂直渐近线：或。2 有斜率的渐近线：或， 其中或题型三 求渐近线方程1 垂直渐进线： 先求可能点（定义域的端点）+ 定义判断2 有斜率的渐近线：先求的情形， 再求的情形例7 设， 求的渐近线。例8 设,则具有渐近性的条数为 ( ） (A） 1 (B) 2 (C） 3 (D) 4 题型四 方程根的讨论1 写出方程对应的函数。2 求的驻点，利用图表法将函数分解成几个小的单调区间.3 作草图， 分析各单调区间端点值(或极限值)的符号，得到根的个数例9 试讨论方程的实根个数.例10 试确定方程的实根个数.题型四 中值定理的等式证明情形一: 一个中值点、一阶导数1 参数放在等式右边，左边为或的形式，直接利用拉格朗日或者柯西中值定理。2 辅助函数法 注:特别要注意变上限函数的情形。例11 证明：使得, 例12 设在连续，在可导，证明：使得。例13 在连续，在可导,，证明使得例14 在连续,在可导,且满足,证明1） 存在；2） 存在 ,。例15 在连续,在可导, 且,证明:使得情形二 阶导数一个中值点方法:多次利用洛尔定理。例16 在上有三阶连续导数，,证明：使得。情形三 阶导数2个中值点1三个点，用二次Lagrange中值定理. 本情况下的中值点必定是相异的。2 将两个参变量分离在等式的两边,与形式作对比,确定，利用柯西中值定理即得.例17 设在连续，在可导，证明： 使得。例18 设在连续，在可导，证明使得。例19设在连续，在可导，且满足，证明(1) 存在；(2) 存在不同的点题型五 不等式的证明情形一: 不含中值点方法1 参数放在等式右边，左边为或的形式，直接利用拉格朗日或柯西中值定理.例20 若，证明:.例21 设,证明：。方法2:辅助函数法1 设置一个自变量，构造自变量的函数;2 对函数求导，通过研究导数求最值， (1） 具体而言，要么求出的根设法证明其中一个根为最值点； 要么证明或，得到单调性.（2） 如果无法把研究清楚， 就通过研究得到的性质.3 将最值和要证明的值做比较例22 若，证明 。例23 若，证明。例24 证明:当时， 。情形二: 含中值点或者核心点：Lagrange中值定理和泰勒定理， 在导数和高阶导数信息最多的点展开.例25 若在上二阶可导，,证明：使得.例26 若在上二阶连续可导，且， ，证明：使得.三 积分及其应用 1 不定积分一 不定积分的基本概念1 定义：在区间上成立，则称为在区间的原函数。在区间中的全体原函数称为在区间的不定积分,记为.2 充分条件：若连续则必有原函数.注:等函数有原函数但原函数不能用初等函数表示。3 不定积分的性质 (1) （2） (3) （4）二 第一类类换元法1 公式:设，又可导，则.2 常用的凑微分（1) （2） （3) （4) （5) (6) , 特别的要记处。例 求 ， 练习：注：和很有用要记住。二 第二类类换元法1 公式：若可导、单调且则.2 常见代换模式(1) ，令, （2） ， 令， （3) ，令, (4） 或,令或3 说明：第二类换元法并不局限于上面的代换模式, 其他类型的复杂函数也可尝试此法.例 求。 三 分部积分法1 公式：设，均有连续的导数，则。2 在选用分部积分法时,选取的顺序为三角、指、幂、有理、反对数、反三角。例 求.四 特殊函数的积分1 有理函数积分（1) 特型方法:除、拆。(2） 一般情形下，低次问题才会用特型方法, 高次问题用第一类换元法。例 求 和2三角函数的积分(1) 万能公式法：(2) 一般情形下，式子比较简单才会用万能公式，其他用凑微分。例 求.题型一 求解不定积分例1 求例2 求。例3 计算不定积分例4 设，则 例5 求解 和题型二 求分段函数的不定积分1 在各段先求出不定积分2 分界点的连续性(少数时候用到可导性)，得到一系列方程并求解.例6 设求的原函数. 2 不定积分一 定积分的基本概念1 定义：。特别的：或.2 充分条件:函数在连续或函数在有界且仅有有限个间断点. 必要条件:函数有界3 定积分的重要性质（1) 。(2）.(3) 若 则.特别的：又有但两个函数不全相等,则.(4)中值定理。 设在上连续，则存在使得. （5) 定积分是一个数 题型一 定积分的概念和基本性质例1 例2 设为连续函数，且，求。二 微积分基本定理1 设在上连续，则.推广: 。注： 我们只能计算被积函数为的变上限函数的导数，若为必须通过提取或变量代换将积分函数化成只和有关的函数. 2 (NL)在上可积,为一原函数，则. 3 不定积分与定积分的转换 (1） .(2） （在单调，）；(3）. 注: 无论是哪一种换元在计算中一定要变换积分限。题型二 关于变上限函数的求导例3 设在连续且，求例4设在连续,又,求例5 设，求 三 反常积分 1 无穷区间上的广义积分 （1）定义:. 若极限存在，则称广义积分是收敛的,它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分是发散的。(2） 其他类型: （3）一个结论：2 无界区间上的广义积分（瑕积分) (1)定义：设在内连续，且，则称为的瑕点。定义。 若极限存在,则称广义积分收敛，且它的值就是极限值,若极限不存在,则称广义积分发散.(2） 其他类型： ，为的瑕点， 为的瑕点（3)一个结论：三 关于积分的其他1原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数.2 公式： 题型二 定积分和反常积分的计算1 对称性和周期性（1)对称性：，（2)周期性：是周期为的函数。例6 ，则( ）(A)； (B）； （C）； （D）.例7设函数，(1）当为正整数,且时，证明：；（2)求.练习:设 A 为正常数 B 为负常数 C 恒为0 D 不为常数2 公式：三大积分方法例8 求积分。.例9 求。3 特殊技巧1）对直接不好积分的函数， 采用积分变量替换的方法，一般情形下做替换时要注意积分区间不变。 常用的替换为：等等。2） 直接求解或者配对相加求解.例10求。例11 求题型三 特殊函数定积分的计算1 变上限函数方法：变上限函数为分布积分法或二重积分交换积分次序的办法(推荐）。例12 求.练习： 。2 分段函数（1） 设分段函数，若要计算的积分,先进行变量代换变成相关函数的积分.（2） 分析分段函数各段的定义域,划分区域分段积分相加.注： 本类问题中一个特例是绝对值函数和最值函数,对于这种情况先把它写成分段函数然后用上述方法求解.例13 。例14 求.题型四 定积分的等式证明1 积分的换元法:应用于不含中值点且被积函数不含导数的等式证明.(1) 将等式的一边变量为, 另一半为. 若一端为, 另一端为 则令。（2） 若函数无法得到换元，则比较被积函数的积分区间. 注：两个常见的代换: 例15 证明练习：证明例16 设，在区间上连续，为偶函数,且满足条件（为常数）。（1)证明：；（2）能利用（1)的结论计算2 分部积分法：不含中值点, 被积函数含导数.从含高阶导数的积分式开始用分部积分法，直到化到令一端。例17 若在有二阶连续导数，证明：。练习：设在有二阶连续导数，证明：3 微分方法：不含中值点， 两边积分均可看做函数. 先证明导数相等，后证明值也相等。4 中值定理:微分中值、积分中值和泰勒定理。例18 在上二阶连续可导数且 证明：(1)写出的带Lagrange余项的一阶麦克劳林展开式；（2） 使得。例19 在连续， 且，证明使得。题型五 定积分的不等式证明1 积分的性质:比较性. 应用于比较简单的不等式证明,积分的上下限相同， 即.例20 设在上连续， 且， 试证明：。例21 比较与的大小。2辅助函数法：容易设置辅助函数， 辅助函数容易求导.。(1) 选择某个字母为自变量, 设置辅助函数(2) 求导，确定最值或者单调性(3) 比较取值范围和要证明的值的大小例22当时，证明（为自然数）的最大值不超过。例24 设在上连续，证明 练习：在连续且单调递增，证明：。3 中值定理：微分、积分中值和泰勒定理应用在：含中值点、的问题等.例25 设在有一阶连续导数且， 证明:。例26设在上有连续的二阶导数，且,试证明： 。补例:设在上有连续的一阶导数，且，试证：，其中. 第三部分 定积分的应用1微元法：要求，先考虑一个微小的区间，将部分量,。2 积分的几何应用（1） 面积 （2） 体积 ； (3) 弧长 （数学一、二) 旋转面的面积 （数学一二)3 积分的物理应用(略)例1 求由与确定的平面图形绕直线旋转而成的旋转体的体积。例2 已知抛物线（其中）在第一象限内与直线相切，且此抛物线与轴所围成的平面图形的面积为，（1)问和何值时,达最大值?(2）求出此最大值.例3 求曲线的全长。（数学一、二)四 空间解析几何(数学一）1 基本概念一 向量1 定义：既有大小，又有方向的量, 称为向量。在本章中，向量一般写作.2 对于平面（或空间）中任一向量,它与平面(或空间)的点一一对应，因此可用点表示向量，即也写作，其中.3向量的基本属性(1） 向量的长度称为模长，显然它就等于点与原点的距离即。（2) 向量与轴所称的角称为与的方向角，它的余弦值称为与方向余弦。其他类同。(3)长度为1的向量称为单位向量,故而就是的单位向量。注:单位向量的元素就是方向余弦二 向量的运算1负向量：大小相等但方向相反的向量，记为2向量加减法：,平行四边形法则。即。3 数量积: ,.位置：，意义: .4 向量积： ， 方向符合右手法则,=。 位置： ，意义： 表示构成平行四边形的面积。5 混合积: .位置: 共面，意义: 表示构成平行六面体的体积。三 平面方程和直线方程1 直线方程： , 其中为方向向量。平面方程: 。2 位置关系的判断(1) 设则（a） (法向量共线但两平面不重合)（b） （c) 的夹角, (2） 设则（a） 即且不满足的方程；（b) (c) 的夹角, 3 距离(1） 点线距: （2） 点面距:。（3) 异面直线：四 曲面方程和空间曲线方程1 曲面:一般方程;参数方程 .2 曲线： 一般方程 ；参数方程 。3 常用二次曲面的方程及其图形（1) 椭球面 （2）单叶双曲面 和双叶双曲面 (双曲面)。（3）椭圆抛物面 和双曲抛物面 (抛物面）。五 旋转和投影1 旋转面的方程求解。（1) 设一般点，得到平面上的点的坐标。（2) 通过旋转面的特性（同一圆上的点到中心线距离相等），得到一般点 与平面点的关系,2 平面上的投影设曲线关于平面的投影柱面，则在平面上的投影曲线为同理,可得关于其他两个平面的投影曲线。2 基本题型一 向量的相关习题重点考核数量积、矢量积和混合积的直接计算公式和坐标计算公式。例1 设(）2,则（）（)（）_二 直线和平面的相关问题求直线和平面方程先要求向量（方向或法）再找一个点，用点向式求解.求直线和平面的位置关系,用矢量积判断是否垂直，或两个向量对应成比例判断求直线和平面的距离用相关公式求解.例2 过直线L1：且平行于直线L2：的平面方程是_例3 证明下列三个平面相交于一条线.题型三 求旋转面和投影例4 求由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面例5 求曲线C:在xy平面上的投影曲线的方程 五 常微分方程和差分方程 一 一阶微分方程1 可分离：, 则.2 齐次： ，令 则。3 一阶线性方程(1） 解的结构：为齐次线性方程的特解，则线性组合齐次线性通解. 若非齐次的特解，则是此非齐次线性方程的通解。(2） 解的表述： 则4伯努利方程 (数学一)求解方法：令， 方程转化为一阶线性方程。5 全微分方程 (数学一)(1) 定义：.(2） 解法：.题型一： 求解一阶方程 （1) 定类型：将方程表示成，看其是否是可分离、齐次或者一阶线性。 (2） 是否全微分：验证是否成立.(3) 若(1),（2)无法求解, 考虑置换应变量与自变量。注:(3）一般用在分母复杂、分子简单的方程。例1 求初值问题的解.例2 设是的解，求此微分方程满足的特解.例3 求解方程例4 （1） 求微分方程的通解。 （2） 求微分方程例5 已知函数在任意点x处的增量，且当时,是比较高阶的无穷小，则（ ）（A）2 (B) （C） （D）例6设，其中，在内满足以下条件，且，（1）求所满足的一阶微分方程 （2）求出的表达式二 二阶微分方程1 二阶线性微分方程 （1） 二阶线性齐次微分方程： 二阶线性非齐次微分方程：（2) 解的结构.（a)，为齐次线性方程的两特解，则也是解.特别地，与线性无关时，则方程的通解为.（b） ，为非齐次的解， 则是齐次方程的解.(c） 若非齐次的特解，与为齐次方程线性无关的两个解，则是此非齐次线性方程的通解。（d）叠加原理：若是方程的一个解,是方程的一个解，则是的一个解.注： 叠加原理就是将复杂的方程分解成一些列简单方程组.2 常系数微分方程(1） 齐次线性微分方程特征根线性无关二解实根实根复根(2）非齐次线性微分方程：r与，的关系特解y*的形式r，rr=，rr=，r=不是特征根是特征根3 可降阶的高阶微分方程（数学一、二）方程类型解法及解的表达式通解令，则，原方程一阶方程令，把看作的函数,则把的表达式代入原方程，得一阶方程,题型二： 求解二阶方程(1) 定类型：常系数、可将阶