数字图像修复算法及其实现-(1).doc

数字图像修复算法及其实现 (1)

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安徽大学
本科毕业论文（设计、创作）

题　　目：　　　数字图像修复算法及其实现　 　
学生姓名： 周宝健　 学号： E10714060
院(系)： 计算机科学与技术 专业：计算机科学与技术
入学时间:　　　　　2007　　　年　　　 9　　　月
导师姓名： 汪继文　 　　 职称/学位：　教授
导师所在单位：　安徽大学计算机科学与技术学院　　
完成时间:　　　 2011　 　年　　　 5　　　月

数字图像修复算法及其实现

摘 要
数字图像修复算法是研究一幅受损图像，利用其周围的有用信息，按照一定的规则进行填充,使修复后的图像可以接近或达到人们所要求的视觉效果。首先,此算法所要解决的问题是一个病态问题，即此问题并没有唯一的正确解法,我们只能根据幸存的已知数据来预测受损区域的原来数据内容,其中修复算法的数学建模是相当重要的.本论文从目前的经典算法中选择其中的部分修复算法进行分析讨论和其它修复算法的简单介绍，着重分析基于偏微分方程PDE（Partial Differential Equation，PDE）的数字图像修复问题。例如这些经典的方法有：BSCB（Bertalmio，Sapiro,Caselles，Ballester四位图像专家的首字母的缩写）三阶PDE模拟平滑传输过程、TV（Total Variation）整体变分修复模型等.首先，论文一开始从图像的去噪方法入手,先介绍一种基于偏导数的图像滤波算法，让我们对图像的修复处理的基本方法有一个简单的认识；其次,着重介绍基于PDE的一些经典算法；再次,简单的介绍基于样本块的修复算法；最后，详细介绍算法的matlab实现方法。

关键词：图像修复；偏微分方程；样本块;TV；BSCB

Digital Image Inpainting

Abstract
Digital image inpainting algorithm is the algorithm of a damaged image.The algorithm uses the surrounding useful information to fill in accordance with certain rules, so that the image can be restored to the people close to or required visual effects.At the first， the algorithm to solve the problem is a pathological problem， that is to say,this problem has not the only correct solution, we can only use the survive information in the damaged area of known data to predict the contents of the original data, the mathematical modeling of inpainting algorithm Is very important。 This paper， some classical algorithms from the current selected one part of the algorithm discussed. There are other algorithms will be a brief， and the paper will be focusing on analysis based on partial differential equations (PDE） of the digital image inpainting problem。 For example， these classical methods are: BSCB （Bertalmio, Sapiro， Caselles, Ballester four image experts acronym） third-order PDE simulation of smoothing during transmission， TV (Total Variation) inpainting model of total variation. First, the paper started from the image denoising method， introduced partial derivative based image filtering algorithms, allowing readers to the basic image processing method of repairing a simple understanding。 Secondly, the highlighting some of the classic PDE-based algorithms. Again, a brief restoration algorithm based on a sample block. Finally , the details of the algorithm matlab implementation。文档为个人收集整理,来源于网络个人收集整理，勿做商业用途

Keywords: Image Inpainting；Partial Differential Equations ；Sample Block;TV；BSCB
II

目录
1 绪论 1
1.1 数字图像修复算法的研究现状 2
1。1。1 数字图像修复问题的定义 2
1.1.2 目前的图像修复算法 2
1。2 数字图像修复算法的应用前景 3
1。3 论文具体安排 4
2 图像处理的相关知识 5
2.1 图像在计算机中的表示 5
2.2 图像的偏导数和梯度 5
2。3 偏微分方程—PDE 7
2.3.1 偏微分方程的基本概念 7
2.3.2 PDE的三个典型的方程 7
2。4 图像处理的常用公式 8
2.4.1 卷积定理 8
2。4。2 差分和变分 8
2.5 图像的滤波和去噪 10
2.6 图像的膨胀和腐蚀 10
2.7 图像修复的评价方法 10
3 一种基于偏导数的滤波算法 12
3。1 线性滤波及其特点 12
3.2 基于偏导数的滤波算法 12
3。3 具体实现步骤 13
3.4 实验结果与分析 14
4 基于PDE的修复模型 18
4。1 BSCB修复模型 18
4.1。1 BSCB模型的修复原理 18
4。1。2 BSCB的数学模型 18
4。1.3 数值实现和结果分析 20
4。2 TV模型 22
4。2.1 TV模型的修复原理 22
4。2.2 TV算法的数学模型 23
4.2。3 数值实现和结果分析 25
5 算法的MATLAB实现 29
5。1 MATLAB简介 29
5。2 利用MATLAB的GUI创建程序界面 29
5.3 程序的界面设置和句柄的结构 30
5.4 程序的具体实现 31
5。4.1 程序的全局变量 31
5.4。2 图像处理的文件和函数 32
5.4。3 图像处理的相关系统函数 33
5。4。4 BSCB的算法流程图 34
6 结束语 35
主要参考文献 36
致谢 37

1 绪论
随着计算机技术的发展，计算机图形学也有了很大的发展。计算机图形学包括很多内容，例如,计算机辅助设计与制造、计算机辅助绘图、计算机辅助教学、办公自动化和电子出版技术、计算机艺术、在工业控制及交通运输方面的应用、医疗卫生方面的应用、图形用户界面这些都是计算机图形学所涉及的内容。【1】数字图像处理技术作为计算机图形学的重要内容,更是引起人们的重视。而数字图像修复问题则是数字图像处理技术需要解决的一个重要问题。
一般情况下，在现成的人们能观察到的图像中有很多因素会导致图像上局部信息的缺失，其中主要有以下几个方面：
（1） 对原本就有划痕或有破损的图片扫描数字化后得到的图像，如图1—1。
（2） 为了某种特殊的目的而移走数字图像上的目标物或文字信息后留下的信息空白区，如图1-2。
（3） 在数字图像的获取、处理、压缩、传输和解压缩过程中，因信息的丢失所留下的信息缺失区域.
（4） 图像的传送和转换，如成像、复制、扫描、传输、显示等，会因为图像产生噪声或图像模糊、失真而使图像受损（这也可以归结为图像的复原问题）.
以上这些因素破坏了图像的信息完整性，故我们的目标是找出一种比较好的快速修复算法对这些受损的图像进行填充修复。

图1-1 原图像受损的数字化图像 图 1-2 原有图像存在文字受损
其实，图像修复是一项古老的艺术。欧洲文艺复兴时期，为了修复美术作品中丢失的或被损坏的部分，保持作品的整体效果，人们对这些受损的作品进行修复，主要是填补一些裂痕.随着计算机的普及和图像的数字化的普遍存在,人们可以把现实生活中的图像扫描到计算机中去，形成数字图像,然后通过计算机对数字图像进行修复.这给图像的修补带来了极大的好处，例如出现错误我们可以在不损坏原作品的情况下进行重新创作.同时，此技术将涉及到计算机图形学与人的生理学和心理学等诸多方面，这也给修复问题带来了一定的困难.总之，现在图像修复技术已成为计算机图形学和计算机视觉领域中的一个研究热点.
1.1 数字图像修复算法的研究现状
1.1.1 数字图像修复问题的定义
事实上，数字图像修复是数字图像处理技术的一个技术分支，对于数字图像修复问题的定义一般采用以下定义:数字图像修复是对数字图像上的信息缺损区域进行填充的过程,其目的是恢复有信息缺损的数字图像，并使观察者无法察觉数字图像曾经缺损或已被修复。或者通俗的讲，针对数字图像中的遗失部分或者是损坏的部分，利用周围的有用信息，按一定的规则填充，使修复后的图像接近或达到原图的视觉效果.【3】以后没有特别的说明,“图像修复”是指“数字图像修复"“，图像”是指“数字图像”。
1。1.2 目前的图像修复算法
对于一般意义上的受损图像可以有复原和修复的区别。对于图像的复原问题的定义是：在图像的成像、复制、扫描、传输、显示等过程中,不可避免的造成图像的降质，例如图像模糊、噪声干扰等,对这样的图像进行恢复的过程可以称之为图像的复原。【7】图像的复原问题主要是通过滤波实现的.图像复原的有关算法是和修复的算法大部分相同,例如基于偏微分方程的修复算法、神经网络技术、小波分析技术等。【8】
图像的修复问题，是本论文的主要讨论范围。目前的图像修复算法中，根据受损的程度和受损区域的大小，可以分成两大类型：【9】
第一类，对于一些小尺度的图像受损,如划痕等。对于这类的修复问题可以采用以下两种方法：一种，是基于偏微分方程（PDE）的修复方法,该类方法主要思想是利用物理学中的扩散方程将待修复区域周围的信息传播到修复区域中去,达到修复的目的。典型的方法包括BSCB(Bertalmion，Sapiro,Caselles,Ballester四人用三阶PDE模拟平滑传输过程)、CDD（curvature driven diffusions在TV基础上的变种）;另一种，是基于变分原理的修复方法,主要是建立图像的先验模型和数据模型，将修复问题转化为一个泛函求极值的变分问题。其中的算法就包括TV模型、Euler’s elastica模型、Munford-Shah模型、Munford—Shah-Euler模型等.最常用的就是全变分TV模型,因为TV模型有其完备的数学模型及其数值实现简单，成为一种最常见的算法.但是对于大块的修复区域效果较差，而且迭代次数多、运算量很大。
第二类，对于一些大尺度的图像的受损。目前有两种算法，一种方法是基于图像分解的修复技术，其主要思想是将图像分解成结构部分和纹理部分。结构部分用小尺度的修复算法实现，纹理部分利用纹理合成方法填充，然后再把两者结果进行叠加就得到修复结果。另一种是基于样本块的纹理合成修复算法，它是从待修复区域选取大小合适的样本块，然后在待修复区域的周围寻找与之最相近的纹理匹配块来替代该纹理块。这些修复算法关系可以利用图1—3来表示。

图1—3 修复算法的整体框图
1.2 数字图像修复算法的应用前景
数字图像技术的应用远远不只是网上的一些图片和一些数字图书馆等，随着计算机图形学的发展，越来越多的领域期望对图像有一定的修改和加工，并达到人类视觉察觉不到的效果，正因为如此图像修复技术才能成为当今计算机图形学和计算机视觉的一个研究热点,它在文物保护、模式识别、计算机视觉、甚至在天文学、遥感成像、医疗图像、虚拟实现等领域中都有一定的应用。早在20世纪50年代开始的空间探索中,人们希望有一种技术能够弥补由于图像获取系统不完善等造成的图像降质和信息的缺失。例如1964年美国的“水手”4号飞船探索火星计划耗资近1000万美元,其结果是得到22幅图像，任何因素造成图像受损都会降低图像的科学价值。【7】例如在医学领域，图像修复技术广泛应用于X光、CT等成像系统，用来抑制和修复各种医学成像系统或图像获取系统的噪声，改善医学图像的分辨率等等.又例如，1978年美国政府重新调查肯尼总统被刺事件时，也利用到了现场照片的修复技术进行处理，并作为调查案件的辅助证据。
以上的例子只是图像修复的部分应用，相信随着计算机图形学的发展，图像修复技术会得到更多的应用。
1.3 论文具体安排
本论文一共分成六个章节，第一章是绪论部分介绍图像修复的算法概况；第二章是图像处理的相关知识，介绍图像在计算机中的表示，及其修复算法要用到的相关公式和术语等；第三章通过基于偏导数的滤波算法引出其它的修复算法，目的是了解图像恢复和修复的区别，以及修复的基本方法。我们也可以通过这个例子来说明对于一幅图像怎么用matlab来处理它；第四章是论文的重点，介绍基于PDE的修复模型；第五章是介绍算法的MATLAB实现；第六章是结束语。

2 图像处理的相关知识
2.1 图像在计算机中的表示
现实中的图像通过采样和量化后，就会形成数字图像.对于一幅计算机中的图像是以数字化的方式存储与工作的,计算机把图像看成M的矩阵，每个矩阵元素就对应一个像素,故它们在计算机中的数学表示就是一个二维矩阵，例如公式2.1所示，公式中的是图像中的一个像素点，如果是灰度级图像则一个整数，如果是真彩色RGB图像，这表示的是一个含有三个元素的向量.这三个分量值分别是红色、绿色、蓝色的颜色值。根据不同的应用可以把RGB值转化成整数、小数等。
具体的说,对于一幅二维灰度级图像来说，图像在计算机中是一个二维整数（对于8位的而言，范围是0-255，可能还有16位的)矩阵，对于RGB的三维真彩色图像可以看成是三张二维整数表的合成，分别是R表、G表、B表。计算机中如果把灰度图像定义成,那么就有公式2.1：
(2.1）
对于2.1式，显然有，以上两个矩阵是恒等矩阵.其中当进行理论分析时可以把看成是一个连续的二元函数，而在数值实现时就可以看成是连续变量函数的离散化。在一般的理论分析中，都把图像看成一个二维闭合区域,对于这样的图像给出以下的数学定义:
设是维数为2的闭合区域，用表示图像定义域。
因此，二维灰度图像的定义如下：
(2.2）
当u为二维灰度图像时，.对于上式，只能表示灰度级图像（即每个像素点只有一个值）.通常为了方便起见.常常在表达式中省略变量 ，也就是说用u代替u(x）.同时，为了建模的方便还是假设可以取连续空间R中的值。
2。2 图像的偏导数和梯度
对于上式中给出的图像的定义可以给出相应的图像的偏导数定义：
（2。3）
二维灰度图像对变量x，y的导数称之为图像的梯度，用来表示：
（2.4）
图像的梯度常用于对于图像的边缘的分析，因为图像的边缘轮廓是图像梯度值相对较大的地方.而对于图像梯度的模也常用于图像的分析，例如图像的BSCB修复模型中，使用梯度的绝对值来确定修复的等照度线的方向。它可以给出图像的变分的度量和基于像素点的测度方法.可以把定义为：
（2.5）
在应用时可能加上一个小增量以免使作为分母时产生错误。在方向上的方向导数定义为：
（2.6)
对于二维灰度图像而言：
(2。7)
同样道理，图像的二阶导数可以表示为：
(2。8）
拉普拉斯算子是最简单的各向同性微分算子，具有旋转不变性。一个二维图像函数的拉普拉斯变换是各向同性的二阶导数，同时拉普拉斯算子在计算上用离散的计算公式也有基于模板的计算公式，具体见第五章的matlab实现。拉普拉斯算子的定义为：
（2。9）
在方向上的二阶导数的定义为：
（2。10）
对于而为灰度图像而言：
（2。11)
方向v上的二阶导数在TV模型的泛函秋季至时候要用到.
2。3 偏微分方程—PDE
2。3。1 偏微分方程的基本概念
偏微分方程早期是用于描述机械物体和流体的自然运动以及物理学定律。后来人们普遍研究偏微分方程，由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展,使它形成一门内容十分丰富的数学学科.偏微分方程的特点是变量及其导数同时出现在方程式中。简单的说如果一个微分方程中待求解的未知函数只有一个是自变量，那么这个方程是常微分方程;如果未知函数含有多个变量，方程中出现多元函数对于不同自变量的各阶偏导数,那么这样的微分方程就是偏微分方程。以下给出严格的数学定义：
一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个方程，就称为偏微分方程组。出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数。对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程。如:就是线性偏微分方程。在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的。若自由项不为零，称方程为非齐次的，若自由项为零，则称方程为齐次的.
2。3.2 PDE的三个典型的方程
1. 波动方程
(2。12)
式中为已知函数。
许多物体的运动规律可用波动方程来描述.如弦振动可用一维波动方程描述;膜的振动可用二维波动方程描述;声波和电磁波的振荡可用三维波动方程描述.
2. 热传导方程
热传导方程的一般形式为
（2。13)
式中为连续有界函数.热传导方程是描述热的传导过程，分子的扩散过程等物理规律的.
3。 拉普拉斯方程
研究重力场、静力场、磁场以及一些物理现象（如振动、热传导、扩散）的平衡或稳定过程,通常得到椭圆型方程，最典型的方程为拉普拉斯方程
（2.14）
的极坐标形式为
（2。15）
Δu=0的球坐标形式为
(2.16）
2.4 图像处理的常用公式
2.4.1 卷积定理
卷积定理是线性系统中最重要的一条定理。它构成了空域和频域之间的基本关系。两个二维连续函数和的卷积被定义成:
（2。17）
卷积的运算性质:
1） 交换律 分配律 结合律
2）若，则
（2。18）
卷积定理可以表述为：两个二维连续函数在空域中的卷积可以通过求该两个函数的Fourier变换的乘积的反变换得到。反之，频域中的卷积可用空域中的乘积的Fourier变换而获得。
2。4。2 差分和变分
用偏微分方程处理图像问题,很难得到解析解，一般都是求其数值逼近(或近似）解。常用的PDE数值解法很多,例如:有限差分法、有限单元法、边界元法等。但是在图像偏微分方程中，用的最多的是有限差分法。【11】下面介绍差分法。
对于一元函数f（x）,我们把它的增量与自变量增量的比值称之为一介差商。一介差商的极限为函数的微商，如：
（2。19）
常用的一介差商有三种类型:
（1） 向前差商:
(2.20）
（2） 向后差商:
（2。21）
（3） 中心差商：
（2.22）
当固定时还可以求其高阶差商。【11】
对于一幅图像来说，如图2-1在平面上的一以为边界的有界区域上考虑定解问题。为了用差分法求解，分别作平行于x轴和y轴的直线族。
图 2—1 图像的差分运算

作成一个正方形网格,这里h为事先指定的正数,称为步长；网格的交点称为节点，简记为取一些与边界S接近的网格节点，用它们连成折线Sh，Sh所围成的区域记作。称内的节点为内节点，位于Sh上的节点称为边界节点（图2—1）。下面都在网格上考虑问题：寻求各个节点上解的近似值。在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上,用以下的差商代替偏导数：
向后差商：
（2。23）
（2.24）
二阶差商：
（2.25）
（2。26）
(2。27）
对于变分的概念首先应该理解一下什么是泛函数和能量泛函的极值。其实图像的修复问题就是根据图像的先验模型和数据模型，建立能量泛函，其修复后的图像就是该能量泛函的极值。而变分法研究的是泛函的极大值和极小值问题,因此图像的修复问题可以看成一个变分问题。变分法与用微分法研究函数极大值和极小值的方法有许多相同之处。下面给出基本概念和基本定理。
泛函的定义：设{y（x）｝为已知的某一类函数。如果对于这一类函数中的每个函数y(x)，变量v都有唯一值与之对应，那么变量v称为这类函数{y(x）｝的泛函，记为v=v｛y（x）｝。泛函数的宗量y（x）的微小增量称为变分，记为。 是指y(x）跟它相近的之差，，其中，y(x）就是某一函数类中的变量，显然,是x的函数.对应于函数f（x）的微分的定义可以给出泛函的变分定义。
(2.28)
在泛函的极值曲线上，它的变分。探求泛函极值过程可以归结为求解微分方程的问题,这就为变分的问题提供了解题的途径。例如我们可以求解欧拉-拉格朗日方程=0。
2。5 图像的滤波和去噪
一幅灰度图像,其平面亮度分布假定为某一正常值 ，那么对其接收起干扰作用的亮度分布 即可称为图像噪声.噪声是图像质量下降的一个重要因素,因此图像的滤波和图像的去噪在图像处理技术中是很重要的。
2.6 图像的膨胀和腐蚀
对于一幅图像而言，可以对它进行形态学的处理。【2】膨胀和腐蚀这两种操作是形态学处理的基础，许多形态学算法都是以这两种运算为基础的。
简单膨胀的是将于某物接触的所有背景点合并到该物体中的过程.过程的结果是使物体的面积增大了相应数量的点，如果物体是圆的，则它的直径在每次膨胀后增大2个像素。如果两个物体在某一点相隔少于三个像素，它们将在该点连通起来（合并成一个物体)。膨胀在填补分割后物体中的空洞时很有用。膨胀的一个简单的应用是将裂缝桥接起来。
简单的腐蚀是消除物体所有边界点的一种过程，其结果是使剩下的物体沿其周边比原物体小一个像素的面积。腐蚀的一个简单是从二值图像中消除不相关的小的细节（根据尺寸）。【2】
2.7 图像修复的评价方法
人为的评价:主观上的感觉，即主观评价法。评价结果用一定量的观察者的平均分得出，其平均分为:
（2.28)
为图像属于i类的分数；为判断该图像属于i类的观察者人数。
客观的评价方法：
1. 均方差测度(MSE）
（2。29）
式子中：和分别是原始图像和复原图像，也可以从均方差测度得到相对均方差NMSE的定义，见3.4的相关内容.
2. 信噪比测度（SNR）
(2。30）
3. 峰值信噪比测度：（PSNR）
（2.31）
4. 信噪比改进量测度：（ISNR）
(2.32）
式子中为降质图像。【7】

3 一种基于偏导数的滤波算法
3。1 线性滤波及其特点
对于图像复原中的图像去噪问题，是通过一定的算法把降质了的图像恢复成原有或者接近原有图像的一种问题。图像的滤波一直是图像处理中最基本、最重要的问题之一。【6】滤波的主要目的是从含有噪声图像中估计原始数据图像。去噪的方法很多，例如,对于混有噪声的图像可以采用简单的线性滤波方法进行处理。所谓的线性滤波其输出包含在滤波掩膜邻域内像素的简单平均值。因此，这些滤波器也称为均值滤波，它们都是低通滤波。均值滤波的处理非常直观，它用滤波掩膜确定的邻域内像素的平均值去代替图像每个像素点的值，这种处理减小了图像灰度的“尖锐”变化。均值滤波优点是：此方法具有分析简单、易于实现的特点，但是它会使图像的边界变的模糊.然而传统的空域滤波去噪的效果依赖于滤波窗口的大小以及中值计算像素点数目.不同大小的滤波窗口对输出图像的质量有很大的影响。传统的空域滤波算法中，噪声的去除是以图像的分辨率降低为代价的.中值滤波是一种非线性滤波的方法。由于这种方法运算简单,特别是在平滑噪声的同时能使信号的边缘得到有效的保护。【6】
3。2 基于偏导数的滤波算法
对于线性滤波容易使图像的边缘信息丢失的问题，基于偏导数的滤波算法用于滤除椒盐噪声时，在速度和性能方面都达到了较好的效果。其首先根据是否为极值点将图像的像素分成两类，一类是极值点,则认为该点即为噪声点,另一类是非极值点。对于极值点,根据空间的相关性将噪声点由该点的领域值所取代。能保留较多的细节信息,没有造成图像的模糊。图像中相邻点的差别可以看成变化率，即图像的偏导数。根据函数的可导性和一介泰勒公式对函数f(x）进行近似计算:
【6】 (3。1）
可以根据这个公式判断相邻的两点的相关性.如果对于微分算子dx=1故对于滤波窗口W[v[i,j]]的中心点v[i，j],如表3-1所示。计算其各个点的方向导数,然后根据方向导数值来判断,具体可以分四种情况：
1.偏导数有正有负,说明此邻域里有比中心点大的，有比中心点小的，根据空间的相关性,此时中心点v[i，j］不是噪声点。
2.偏导数只有正,v[I,j]中心点是最小值,故点与其邻域值相差较大，需要修复.
3。偏导数只有负：v［i，j］中心点是最大值，故点与其邻域值相差较大，需要修复。
4.都为零点:此时区域的像素点都是唯一值无需修复。
表 3—1 3的滤波窗口W[v［i，j］]
V［i-1,j—1］
V［i—1，j］
V[i—1，j+1]
V[i,j-1]
V［i,j]
V［i,j+1]
V[i+1，j-1]
V[i+1，j]
V[i+1,j+1]
根据以上的算法原理，得出关于其中邻域偏导数的求解公式:

表示对函数f求x的左像素点的偏导数，表示对函数f求x关于右上方向
像素点的偏导数，其它的可以以此类推。判断这八个偏导数的符号,根据上面的四种情况对中心像素点进行相应的处理。具体可以得到以下的修正的方法：偏导数都小于0，则是极小值，用除去该点以及和该点相同的值之外的极小值进行修正。同理，是极大值的情况下，用除去该点以及和该点相同的值之外的极大值进行修正。
3。3 具体实现步骤
1. 读入噪声图像。
2. 用的像素窗口，对噪声图像进行扫描，记该窗口矩阵为temp_plate
3. 对窗口中心点v[i,j]ones（3，3)，得到一个所有元素都为v［i，j］的33矩阵,用该矩阵—temp_plate,得到一个新的矩阵,即为w（3，3)，这也是符合公式（1）的，因为此时是dx=1,故的取值就是两个矩阵的差值。
4. 对w矩阵进行判断,如果w［i，j]中除了w［2，2］为0外其它的都为正数,说明是最大像素点，周围的次大像素点取代之。其它情况可以根据算法得出相应的结论.
3。4 实验结果与分析
利用MATLAB 7.1实现,分别对图像加上5%、10％、20%的椒盐噪声的图像,进而可以对此算法和中值滤波进行比较之，如图3—1~6所示。再通过相对均方差NMSE比较,相对均方误差的定义为：
(3。6）
其中，x（i，j）是原始图像的像素点 y(i，j）是滤波输出图像.对于两种滤波算法的运行时间及相对误差的比较后得出两者的NMSE相差。

图 3-1 分别加了5%、10％、20%的椒盐噪声真彩色图像

图 3-2 对应中值滤波后的处理效果

图 3—3 对应偏导数滤波后的处理效果
对应的结果分析，对NMSE（相对均方差）、图像大小、运行时间的分析。见表3-2
表 3—2 对应上图的实验结果
图像
椒盐密度
图像大小
运行时间
NMSE
图3-2 a
5%
256256
0.031
0。0555006
图3—2 b
10%
256256
0。063
0.103816
图 3-2 c
20%
256256
0.062
0。192033
图 3-3 a
5%
256256
4.516
0.0504875
图 3-3 b
10％
256256
4。469
0.0959749
图 3—3 c
20%
256256
4.469
0.181506

图 3-4 分别加了5％、10%、20%的椒盐噪声的灰度级图像

图 3—5 对应中值滤波后的处理效果

图 3—6 对应偏导数滤波后的处理效果
对应的结果分析，对NMSE（相对均方差)、图像大小、运行时间的分析。见表3-3
表 3-3 对应上图的实验结果
图像
椒盐密度
图像大小
运行时间
NMSE
图3—5 a
5%
256256
0。005
0.0430941
图3-5 b
10％
256256
0.016
0。0823855
图 3—5 c
20%
256256
0.015
0.157517
图3—6 a
5％
256256
1.609
0.0377738
图3-6 b
10%
256256
1。579
0。0737822
图 3—6 c
20％
256256
1.5
0。145457

通过以上的实验结果可以看出,在采用偏导数滤波时候对应的图像的细节和轮廓都保存的较为完好，较中值滤波有较好的轮廓线和细节部分。而且，NMSE的结果也可以看出，基于偏导数的滤波算法具有相对较小的均方差.这是因为，传统的中值滤波算法在消除噪声的同时,很大程度上模糊了原始的图像，不能很好的保持边缘的细节，而基于偏导数的滤波算法在消除噪声的同时，能很好的保留原始图像的边缘细节，取得了较好的处理效果，从而有以上的实验结果。从实验结果中的时间复杂度可以看出，系统中的中值滤波函数的时间需求相对较小,而偏导数的时间需求相对较大。
经过分析,可以得出以下结论，该算法通过偏导数对噪声的判定，改善了传统的通过排序来判断噪声像素点，大大提高了速度，对于滤波窗口的中心点，如果有两个以上的点同时为极大值点和极小值点都认为该点是有效点,不需要处理。实验结果表明，算法对噪声密度较小的图像效果较好,但对于噪声密度较大的图像,细节处理还有待于改善。可以考虑,对图像m的邻域扩展，且把图像的空间域和频率域滤波结合起来,形成更好、速度更快的算法。

4 基于PDE的修复模型
4。1 BSCB修复模型
4.1.1 BSCB模型的修复原理
2001年，Bertalmion ，Sapiro ,Caselles 和Ballester等四人提出了基于偏微分方程的修复模型:BSCB模型。图像的修复是一个主观的过程,主要靠主观感觉，因此没有一种标准的方法，但是有一些下面的原则:
1. 图像的整体决定了如何修复破损区域，修复的目的就是要恢复图像的完整性.
2. 修复区域中不同的区域是由等照度线（在这里,所谓的等照度线就是灰度值在同一等级上的一系列点所组成的线）来划分的，各区域的颜色和边缘外的颜色一致.
3. 通过延伸边缘处的等照度线进入修复区域，实现修复区域与完好区域边缘处连续.
4. 细节部分必须添加,也即必须添加纹理。【7】
基于以上原则，BSCB修补模型就是利用偏微分方程，模拟手工修复的过程，实现对图像指定区域的自动修复。但其算法主要还是体现了上述的第2和第3原则，而对于第1和第4原则缺少必要的算法支撑。算法通过