高考数学人教A(理)一轮复习【配套文档】：第七篇二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.doc

第3讲 二元一次不等式（组）与简单的线性
规划问题

A级　基础演练
(时间：30分钟　满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·山东)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是 (　　)．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
A. B.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
C. D.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
解析　作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．由解得A(2,0)；由解得B.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
∴z＝3x－y的取值范围是.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
答案　A
2．(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)则z＝·的最大值为 (　　)．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
A．4 B．3 C．4 D．3
解析　如图作出区域D，目标函数z＝x＋y过点B(，2)时取最大值，故z的最大值为×＋2＝4，故选C.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
答案　C
3．(2013·淮安质检)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 (　　)．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
A．(－∞，5) B．[7，＋∞)
C．[5,7) D．(－∞，5)∪[7，＋∞)
解析　画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
答案　C
4．(2013·洛阳一模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨，乙产品至少要生产2吨，消耗A原料不超过13吨，消耗B原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是 (　　)．預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
A．1吨 B．2吨 C．3吨 D.吨

解析　设该企业在这个生产周期内生产x吨甲产品，生产y吨乙产品，x、y满足的条件为渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
所获得的利润z＝x＋3y，作出如图所示的可行域．
作直线l0：x＋3y＝0，平移直线l0，显然，当直线经过点A时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨．铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
答案　A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2012·大纲全国)若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
解析　画出可行域，如图所示，将直线y＝3x－z移至点A(0,1)处直线在y轴上截距最大，zmin＝3×0－1＝－1.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。
答案　－1
6．(2012·安徽)若x，y满足约束条件则x－y的取值范围是________．坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。
解析　记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B(1,1)时，x－y取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，x－y取得最小值－3.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。
答案　[－3,0]
三、解答题(共25分)
7．(12分)(2013·合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。
(1)指出x、y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
解　(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。
所以，不等式组驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。
表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。
(2)由图形及不等式组知锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
8．(13分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？構氽頑黉碩饨荠龈话骛。
解　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知目标函数z＝x＋0.5y.輒峄陽檉簖疖網儂號泶。
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2、随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。
这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组得x＝4，y＝6，识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。
此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，
所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。
B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·临沂一模)实数x，y满足若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为 (　　)．恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。
A．4 B．3 C．2 D.
解析　作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。
答案　C
2．(2012·四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 (　　)．硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。
A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元
解析　设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z＝300x＋400y.阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。
作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点．作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2 800.氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。
答案　C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2013·咸阳一模)设实数x、y满足则的最大值是________．釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。
解析　不等式组确定的平面区域如图阴影部分．
设＝t，则y＝tx，求的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．显然y＝tx过A点时，t最大．怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。
由解得A.谚辞調担鈧谄动禪泻類。
代入y＝tx，得t＝.所以的最大值为.嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。
答案　
4．(2011·湖南)设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________．熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。
解析　目标函数z＝x＋my可变为y＝－x＋，
∵m>1，∴－1<－<0，z与同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P时，取最大值，∴＋<2，又m>1，得1<m<1＋.鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。
答案　(1,1＋)
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2013·黄山模拟)若x，y满足约束条件纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值．
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解　(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4<a<2.濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。
故所求a的取值范围是(－4,2)．
6．(13分)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？挤貼綬电麥结鈺贖哓类。
项目
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
解　(1)依题意得赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。
解得塤礙籟馐决穩賽釙冊庫。
故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.
(2)依题意得x、y应满足的约束条件为
且z＝0.65x＋0.4y.裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺。
作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l0：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，此时z取得最大值．解方程组仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁。
得x＝2，y＝3.故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x＝2，y＝3时，z取最大值为2.5.绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧。
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