浙江省杭州市2019-2020学年高二数学下学期期末教学质量检测试题.doc

浙江省杭州市2019-2020学年高二数学下学期期末教学质量检测试题

浙江省杭州市2019-2020学年高二数学下学期期末教学质量检测试题

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姓名：

- 23 -

浙江省杭州市2019-2020学年高二数学下学期期末教学质量检测试题（含解析）
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！
3．考试结束，只需上交答题卡．
一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据交集的知识求得.
【详解】依题意可知，.
故选：C
【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.
2. 已知，则（ ）
A. 15 B. 21 C. 3 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数解析式，求得函数值.
【详解】根据的解析式，有.
故选：D
【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.
3. （ ）
A. B. 6 C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查指数运算法则以及对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
4. 若是钝角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据诱导公式以及同角三角函数关系求得结果.
【详解】,
又是钝角，，所以
因此，
故选：D
【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为的等腰直角三角形，棱柱的高为2，由此可计算体积．
【详解】把三棱柱旋转为下图，
由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为的等腰直角三角形，棱柱的高为2，几何体的体积为，
故选：C.

【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积，由三视图得出原几何体中的线段的长度是解题关键．
6. 若圆与直线相切，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出圆心，根据直线与圆相切，建立方程，即可求出m.
【详解】由
可得：，
故圆心为，半径为，
又因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得，
故选：D
【点睛】本题主要考查了直线与圆相切，圆的一般方程与标准方程，考查了运算能力，属于中档题.
7. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得

，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
8. 已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】C
【解析】
【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.
详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：

则，所以平面区域的面积，
解得，此时，
由图可得当过点时，取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
9. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得出结果.
【详解】若，，，则与相交、平行或异面，故A错误；
∵，，∴，又∵，∴，故B正确；
若，，，则与的位置关系不确定，故C错误；
若，，，则或，异面，故D错误.
故选：B.
【点睛】本题主要考查线面、面面有关的命题的判定，熟记线面、面面位置关系即可，属于常考题型.
10. 已知等比数列的前n项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
结合等比数列的前项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项.
【详解】由于数列是等比数列，所以，由于，所以
，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式，考查充分、必要条件的判断，属于中档题.
11. 下列不可能是函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据特殊值确定不可能的图象.
【详解】当时，，所以此时，故C选项图象不可能成立.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.
12. 已知，，则的最大值是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用绝对值不等式化简已知条件，由此求得的最大值
【详解】依题意，所以，
也即的最大值是.
故选：B
【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，属于基础题.
13. 以双曲线的左顶点A为圆心作半径为a的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O及另一点B，且存在直线使得B点和右焦点F关于此直线对称，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得，根据直线与圆的位置关系得点到的距离，得a，c的关系，再由离心率公式计算即可得到选项.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由题意可得，，设点到的距离为，则，
所以，整理得，
所以离心率.
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程和焦点坐标和离心率的求法，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.
14. 设（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】
把相同变量整理在一起，然后构造函数，利用函数的单调性可判断.
【详解】解：由，得，
所以
所以，
令，则在上为增函数，
所以，即，所以B正确，
由得，
所以，
因为在上为增函数，所以，即，所以C,D不正确
故选：B
【点睛】此题考查了利用函数的单调性判断变量间的关系，关键是构造函数，属于中档题.
15. 如图，直三棱柱的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱上靠近点的三分点，M是棱上的动点，则二面角的正切值不可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求得二面角的余弦值，进而求得二面角的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.
【详解】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可知，根据直三棱柱的性质，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

则，设.
则.
设平面的一个法向量为，则
，令，得.
平面的一个法向量是，
所以，
所以，
所以二面角的正切值为
.
因为，所以，
结合二次函数的性质可知
当时，有最小值；
当时，有最大值为，
所以，
所以二面角正切值不可能是.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）
16. 已知，则函数的零点个数为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
画出图象，由此判断零点的个数.
【详解】画出的图象如下图所示，由图可知，有个零点.
故答案为：

【点睛】本小题主要考查分段函数零点的判断，属于基础题.
17. 在锐角△ABC中，，．若△ABC的面积为，则的长是____．
【答案】
【解析】
由题可知：，又为锐角三角形，所以，由余弦定理
18. 若正数a，b满足，则ab的最小值是__________．
【答案】25
【解析】
【分析】
利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最小值.
【详解】依题意为正数，且，
所以，
即，解得，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值是.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
19. 已知数列和，满足，设的前n项积为，则的前n项的和__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据及前n项积为可得递推关系，整理可知为等差数列，利用裂项相消法即可求解.
【详解】设的前n项积为，则
则时，，解得，
当时，，
又，
所以，
化简得（），
所以是以4为首项，2为公差的等差数列，

，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，考查了运算能力，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运算过程．
20. 已知函数．
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值，最小值.
【解析】
【分析】
（1）运用三角恒等变换将函数化为，代入可求得其函数值；
（2）由的范围，求得的范围，根据正弦函数的图象与性质可求得函数在给定区间上的最值.
【详解】（Ⅰ）

．
所以．
（Ⅱ）由（1）得，因为，所以．
所以 当，即时，；当，即时，．
所以当时，；当时，．
【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的最值，运用到余弦的和差角公式，二倍角公式，以及正弦函数的图象与性质，属于中档题.
21. 如图，已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，，，点F为线段AP的中点．

（Ⅰ）证明：平面ABC；
（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）在△PBC中，根据余弦定理可求得PC＝，再由勾股定理可知，PC⊥BC，最后根据线面垂直的判定定理即可得证；
（Ⅱ）以C为原点，CA的垂线所在的直线为y轴，CA和CP分别为x、z轴建立空间直角坐标系，写出向量、和，再根据法向量的性质求出平面PBC的法向量，设直线BF与平面PBC所成角为α，则sinα＝＝，最后利用空间向量数量积的坐标运算即可得解．
【详解】（Ⅰ）证明：中，，，
由余弦定理可得，
因为，
所以，
又，，
所以面ABC．
（Ⅱ）在平面ABC中，过点C作，以C为原点，
，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，，
设平面PBC的法向量为，
则
取，则，，即，
所以sinα＝，
故直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
【点睛】本题考查空间中线面的位置关系、线面的夹角问题，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量求线面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22. 等差数列的公差不为0，，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，为数列的前n项和，求．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（I）根据等比中项的性质列方程，并转化为的形式，由此求得，进而求得数列的通项公式.
（II）利用分组求和法求得.
【详解】（I）由于，，成等比数列，所以，
即，即，
由于，所以解得，所以数列的通项公式是.
（II）依题意
.
所以

.
【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的计算，考查等差中项的性质，考查分组求和法，属于中档题.
23. 如图所示，圆，抛物线，过点的直线l与抛物线交于点M，N两点，直线OM，ON与圆分别交于点E，D．

（1）若，证明：；
（2）若，记，的面积分别为，，求的最小值（用t表示）．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设直线，，，将与抛物线联立，根据根与系数的关系证明，证得；
（2）设直线，，，将与抛物线联立，得到根与系数的关系，且有，再将与圆联立，求得的横坐标，又代入化简，求得最小值.
【详解】（1）设直线，，，
由得：，所以．
而．
（2）同（Ⅰ）设直线，，，
可得：，，
由得：，
解得：，
同理可得，
所以，
因为，
所以，
当且仅当或时取等号．
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，三角形面积公式，基本不等式求最值，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，还考查了学生的分析能力，运算能力，难度较大.
24. 已知函数，．
（Ⅰ）当，时，函数有且只有两个零点，求c的取值范围．
（Ⅱ）若，，且对任意，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（I）当时，令，转化为与有两个交点，由此求得的取值范围.
（II）当时，不等式恒成立.当时，将不等式恒成立转化为，根据函数的单调性求得，对进行分类讨论，求得与的不等关系式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】（Ⅰ）有且仅有两个零点等价于
函数的图象与直线有两个点.
由图易知：或．

（Ⅱ）当，时，.
当时，不等式显然成立.
当时，，
故，
等价于，
对于函数，在上递增，故，
对于函数，在上递减，在上递增，
①当时，在上递减，故，
即，所以．
②当时，在上递减，在上递增，
故，
此时，要使b存在，则，
解得：，则，
所以，
当且仅当时取等号，
综上所述，最大值为，当，时满足要求．
【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.