2022届高考数学一轮复习-第十章-10.9-离散型随机变量的均值与方差课时作业.docx

2022届高考数学一轮复习 第十章 10.9 离散型随机变量的均值与方差课时作业

2022届高考数学一轮复习 第十章 10.9 离散型随机变量的均值与方差课时作业

年级：
姓名：

课时作业65　离散型随机变量的均值与方差
[基础达标]
1．[2021·开封市高三模拟试卷]某大学为了调查该校学生性别与身高(单位：厘米)的关系，对该校1000名学生按照10:1的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：
男生身高频数分布表

男生身高/厘米
[160，165)
[165，170)
[170，175)
[175，180)
[180，185)
[185，190]
频数
7
10
19
18
4
2
女生身高频数分布表

女生身高/厘米
[150，155)
[155，160)
[160，165)
[165，170)
[170，175)
[175，180]
频数
3
10
15
6
3
3
(1)估计这1000名学生中女生的人数；
(2)估计这1000名学生的身高在[170,190]的概率；
(3)在样本中，从身高在[170,180]的女生中任取3名进行调查，设X表示所选3名学生中身高在[170,175)的人数，求X的分布列和数学期望．

2．[2021·洛阳市尖子生第一次联考]“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2021年春节前夕，A市某质量检测部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如图：

(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(2)(ⅰ)由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45]内的概率；
(ⅱ)将频率视为概率，若某人从该市某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中该项质量指标值位于(10,30]内的包数为X，求X的分布列和数学期望．
附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的该项质量指标值的标准差σ＝≈11.95.
若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545.

3.[2021·广州市调研检测]某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X∈[1,300]，配送员每单提成3元；若X∈(300,600]，配送员每单提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送员每单提成4.5元．B公司外卖配送员底薪是每月2100元/人，设每月每人配送的单数为Y，若Y∈[1,400]，配送员每单提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送员每单提成4元．小王计划在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据，如下表：
表1：A公司外卖配送员甲送餐量统计

日送餐量x/单
13
14
16
17
18
20
天数
2
6
12
6
2
2
表2：B公司外卖配送员乙送餐量统计

日送餐量y/单
11
13
14
15
16
18
天数
4
5
12
3
5
1
(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位：元/人)，B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位：元/人)，当X＝Y且X，Y∈(300,600]时，比较f(X)与g(Y)的大小．
(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率，
(ⅰ)分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望；
(ⅱ)请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由．

4．[2021·安徽示范高中名校联考]某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元．
(1)求系统G不需要维修的概率；
(2)该电子产品共由3个系统G组成，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；
(3)为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加2个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？

5.[2021·广东四校联考]某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种特产水果只能在9月份销售，且该种特产水果当天食用口感最好，隔天食用口感较差．某超市每年9月份都销售该种特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每千克8元，销售价每千克12元，当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每千克只能卖到5元．根据往年销售经验，每天需求量与当地最高气温(单位：℃)有一定关系．若最高气温不低于30，则需求量为5000千克；若最高气温位于[25,30)，则需求量为3500千克；若最高气温低于25，则需求量为2000千克．为了制订今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
4
14
36
21
15
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求今年9月份这种特产水果一天需求量X(单位：千克)的分布列和数学期望；
(2)设9月份一天销售这种特产水果的利润为Y(单位：元)，当9月份这种特产水果一天的进货量n(单位：千克)为多少时，Y的数学期望达到最大值，最大值为多少？

6．[2021·山东枣庄、滕州联考]2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中．
项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证．现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p(0<p<1)，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.
项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和1－p.
(1)若投资项目一，记X1为盈利的天坑院的个数，求E(X1)(用p表示)；
(2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为X2百万元，求E(X2)(用p表示)；
(3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．

[能力挑战]
7．[2021·湖南省长沙市高三调研试题]插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑、盆景、造园等艺术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一．为了通过插花艺术激发学生对美的追求，增添生活乐趣，提高学生保护环境的意识，增加团队凝聚力，某高校举办了以“魅力校园、花香溢校园”为主题的校园插花比赛．比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由10名专业教师、10名非专业教师以及20名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分．比赛结束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布表，如下所示：

分数区间
频数
[72,76)
1
[76,80)
5
[80,84)
12
[84,88)
14
[88,92)
4
[92,96)
3
[96,100]
1
定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示．

分数区间
[72,84)
[84,92)
[92,100]
观赏值
1
2
3
(1)估计甲组插花作品所得分数的中位数(结果保留两位小数)；

(2)从40位评委中随机抽取1人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的概率；

(3)若该校拟从甲、乙两组插花作品中选出一个用于展览，从这两组插花作品的最后得分来看该校会选哪一组？请说明理由(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．

课时作业65
1．解析：(1)样本中男生为60名，女生为40名．
估计这1000名学生中女生的人数是1000×＝400.
(2)由题中表知样本中身高在[170,190]的人数为19＋18＋4＋2＋3＋3＝49，样本容量是100，
∴样本中身高在[170,190]的频率为.
∴估计这1000名学生的身高在[170,190]的概率为0.49.
(3)依题意，X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为

X
0
1
2
3
P

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
2．解析：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数为
x＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.
(2)(ⅰ)∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，
∴P(14.55<Z≤38.45)＝P(26.5－11.95<Z≤26.5＋11.95)≈0.6827，
∴Z落在(14.55,38.45]内的概率是0.6827.
(ⅱ)根据题意得X～B，P(X＝0)＝C4＝；
P(X＝1)＝C4＝；
P(X＝2)＝C4＝；
P(X＝3)＝C4＝；
P(X＝4)＝C4＝.
∴X的分布列为

X
0
1
2
3
4
P

∴E(X)＝4×＝2.
3．解析：(1)因为X＝Y且X，Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，
当X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300>0.
当X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300<0.
故当X∈(300,400]时，f(x)>g(X)，当X∈(400,600]时，f(X)<g(X)．
(2)(ⅰ)日送餐量x的分布列为：

x
13
14
16
17
18
20
P

则E(x)＝13×＋14×＋16×＋17×＋18×＋20×＝16.
日送餐量y的分布列为：

y
11
13
14
15
16
18
P

则E(y)＝11×＋13×＋14×＋15×＋16×＋18×＝14.
(ⅱ)E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)．
估计A公司外卖配送员月薪平均为1800＋4E(X)＝3720(元)．
估计B公司外卖配送员月薪平均为2100＋4E(Y)＝3780(元)．
因为3780>3720，所以小王应选择做B公司外卖配送员．
4．解析：(1)系统G不需要维修的概率为C×2×＋C×3＝.
(2)设X为维修的系统个数，则X～B，且ξ＝500X，
P(X＝k)＝C·k·3－k，k＝0,1,2,3.
所以ξ的分布列为

ξ
0
500
1000
1500
P

所以ξ的期望为E(ξ)＝500×3×＝750.
(3)当系统G有5个电子元件时，
原来3个电子元件中至少有1个正常工作，系统G才正常工作．
若原来3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的2个电子元件必须都正常工作，
则概率为C××2×p2＝p2；
若原来3个电子元件中有2个正常工作，同时新增的2个电子元件至少有1个正常工作，
则概率为C×2××C×p×(1－p)＋C×2××p2＝(2p－p2)；
若原来3个电子元件都正常工作，则不管新增2个电子元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概率为C×3＝.
所以新增2个电子元件后系统G能正常工作的概率为p2＋(2p－p2)＋＝p＋，
于是由p＋－＝(2p－1)知，当2p－1>0，即<p<1时，可以提高整个系统G的正常工作概率．
5．解析：(1)今年9月份这种特产水果一天的需求量X的可能取值为2000,3500，5000，
P(X＝2000)＝＝，P(X＝3500)＝＝，
P(X＝5000)＝＝.
于是X的分布列为

X
2000
3500
5000
P

X的数学期望E(X)＝2000×＋3500×＋5000×＝3800.
(2)由题意知，这种特产水果一天的需求量至多为5000千克，至少为2000千克，因此只需要考虑2000≤n≤5000.
当3500≤n≤5000时，
若最高气温不低于30，则Y＝4n；
若最高气温位于[25,30)，则Y＝3500×4－(n－3500)×3＝24500－3n；
若最高气温低于25，则Y＝2000×4－(n－2000)×3＝14000－3n.
此时E(Y)＝×4n＋(24500－3n)＋(14000－3n)＝12600－n≤11900.
当2000≤n<3500时，
若最高气温不低于25，则Y＝4n；
若最高气温低于25，则Y＝2000×4－(n－2000)×3＝14000－3n.
此时E(Y)＝×4n＋(14000－3n)＝2800＋n<11900.
所以n＝3500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为11900.
6．解析：(1)由题意X1～B(20，p)，则盈利的天坑院个数X1的数学期望E(X1)＝20p.
(2)若投资项目二，则X2的分布列为

X2
2
－1.2
P
p
1－p
盈利X2的数学期望E(X2)＝2p－1.2(1－p)＝3.2p－1.2.
(3)项目一若盈利，则每个天坑院盈利0.2×40%＝0.08(百万元)，
所以投资建设20个天坑院，盈利的数学期望为E(0.08X1)＝0.08E(X1)＝0.08×20p＝1.6p(百万元)，
方差D(0.08X1)＝0.082D(X1)＝0.082×20p(1－p)＝0.128p(1－p)．
项目二盈利的方差D(X2)＝(2－3.2p＋1.2)2p＋(－1.2－3.2p＋1.2)2·(1－p)＝10.24p(1－p)．
①当E(0.08X1)＝E(X2)时，1.6p＝3.2p－1.2，
解得p＝0.75.
D(0.08X1)＝0.024<D(X2)＝1.92.故选择投资项目一．
②当E(0.08X1)>E(X2)时，1.6p>3.2p－1.2，
解得0<p<0.75.此时选择投资项目一．
③当E(0.08X1)<E(X2)时，1.6p<3.2p－1.2，解得0.75<p<1.
此时选择投资项目二．
7．解析：(1)设甲组插花作品所得分数的中位数为x，
由频率分布直方图可得甲组得分在前三个分数区间的频率之和为0.3，在最后三个分数区间的频率之和为0.26，
故x在[84,88)内，且＝，解得x＝，故x≈85.82.
(2)设“对乙组插花作品的‘观赏值’比对甲组插花作品的‘观赏值’高”为事件C，“对乙组插花作品的‘观赏值’为2”为事件A2，“对乙组插花作品的‘观赏值’为3”为事件A3，“对甲组插花作品的‘观赏值’为1”为事件B1，“对甲组插花作品的‘观赏值’为2”为事件B2，则P(B1)＝(0.010＋0.025＋0.040)×4＝0.3，
P(B2)＝(0.110＋0.040)×4＝0.6，
由频数分布表得，P(A2)＝＝0.45，
P(A3)＝＝0.1.
因为事件Ai与Bj相互独立，其中i＝2,3，j＝1,2，
所以P(C)＝P(A2B1＋A3B1＋A3B2)
＝P(A2)P(B1)＋P(A3)P(B1)＋P(A3)P(B2)
＝0.45×0.3＋0.1×0.3＋0.1×0.6＝0.225，
所以评委对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的概率为0.225.
(3)由频率分布直方图可知，甲组插花作品的最后得分约为
(0.010×74＋0.025×78＋0.040×82＋0.110×86＋0.040×90＋0.020×94＋0.005×98)×4＝85.6.
由乙组插花作品所得分数的频率分布表，得

分数区间
频数
频率
[72,76)
1
0.025
[76,80)
5
0.125
[80,84)
12
0.300
[84,88)
14
0.350
[88,92)
4
0.100
[92,96)
3
0.075
[96,100]
1
0.025
所以乙组插花作品的最后得分约为
0．025×74＋0.125×78＋0.300×82＋0.350×86＋0.100×90＋0.075×94＋0.025×98＝84.8.
因为85.6>84.8，
所以该校会选择甲组插花作品．