通用版2023高中数学导数及其应用必考知识点归纳.pdf

1 (每日一练每日一练)通用版通用版 20232023 高中数学导数及其应用必考知识点归纳高中数学导数及其应用必考知识点归纳 单选题 1、已知曲线()=(+)在点(1,(1)处的切线与直线2+1=0垂直，则实数的值为（）A2B2+1C2D2 答案：D 解析：求出函数的导数和在1处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为1可得答案.()=+(+)=(1+)，(1)=(1)1，切线的斜率为=(1)=1，因为切线与直线2+1=0垂直，所以1(2)=1，解得=2.故选：D.2、汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段0,1，1,2，2,3上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为（）A1 2 3B1 3 2 2 C3 2 1D2 3 1 答案：A 解析：结合图象，利用平均变化率的定义求解.因为1=，2=，3=，由图象知 ，所以1 2 1,若关于的不等式()0在上恒成立，则的取值范围为 A0,1B0,2C0,D1,答案：C 解析：先判断 0时，2 2+2 0在(,1上恒成立；若 ln 0在(1,+)上恒成立，转化为 ln在(1,+)上恒成立 (0)0，即 0，（1）当0 1时，()=2 2+2=()2+2 2 2 2=(2 )0，当 1时，(1)=1 0，故当 0时，2 2+2 0在(,1上恒成立；若 ln 0在(1,+)上恒成立，即 ln在(1,+)上恒成立，令()=ln，则()=ln1(ln)2，3 当 ,函数单增，当0 ,函数单减，故()=()=，所以 当 0时，2 2+2 0在(,1上恒成立；综上可知，的取值范围是0,，故选 C 小提示：本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析 解答题 4、已知()=.（1）试求()在0,2上的最大值；（2）已知()在=1处的切线与轴平行，若存在1,2，1.答案：（1）当 12时()max=22；当 12时()max=1；（2）证明见解析.解析：（1）先求导数()=()=(1+)，然后对分类讨论，判断单调性，求解即可.（2）由题意可知，=1，则()=(1 )，从而确定()单调性，再根据()的正负，确定其函数的大致图像，从而确定有0 1 1 ，只需证2 1 ln1，只需证明(1)=(2)(1 ln1)，只需证11+ln1 1,(0 1 1)，构造函数()=1+ln,(0,1)，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，即可.（1）()=()=(1+)，当 0时，则1+0对任意 0,2恒成立，即()0恒成立.所以()在 0,2单调递增.则()的最大值为()max=(2)=22；当 0时，令1+=0，即=1 4 当1(0,2)，即 0，()在0,1)上单调递增.当 (1,2时()0，()在(1,2上单调递减，()max=(1)=1.当1 2,+)即12 0时，1+0对任意 0,2恒成立，即()0恒成立，所以()在 0,2单调递增.则()的最大值为()max=(2)=22；综上所述：当 12时()max=(2)=22；当 12时()max=(1)=1.（2）因为()在=1处的切线与轴平行，所以(1)=(1+)=0，则=1，即()=(1 ).当 0，则()在(,1)上单调递增，当 1时，()0，则()在(1,+)上单调递减.又因为 0时有()0时有()0，根据图象可知，若(1)=(2)，则有0 1 1 ，只需证2 1 ln1；又因为0 1 1；因为()在(1,+)上单调递减，从而只需证明(1)=(2)(1 ln1)，只需证11(1 ln1)ln11=(1ln1)ln1=1(1 ln1)只需证11+ln1 1,(0 1 0，即()在 (0,1)上单调递增.所以()得证.小提示：本题考查利用导数研究函数的最值以及证明不等式，属于难题.5、已知函数()=sin ln(1+)，()为()的导数证明：（1）()在区间(1,2)存在唯一极大值点；（2）()有且仅有 2 个零点 答案：（1）见解析；（2）见解析 解析：（1）求得导函数后，可判断出导函数在(1,2)上单调递减，根据零点存在定理可判断出0(0,2)，使得(0)=0，进而得到导函数在(1,2)上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知=0为()在(1,0上的唯一零点；当 (0,2)时，首先可判断出在(0,0)上无零点，再利用零点存在定理得到()在(0,2)上的单调性，可知()0，不存在零点；当 2,时，利用零点存在定理和()单调性可判断出存6 在唯一一个零点；当 (,+)，可证得()0，(2)=sin2+4(+2)2=4(+2)2 1 0；(0,2)时，()0 7 ()在(0,0)上单调递增，此时()(0)=0，不存在零点 又(2)=cos22+2=2+2(0)=0，(2)=sin2 ln(1+2)=ln2+2 ln1=0 ()0在(0,2)上恒成立，此时不存在零点 当 2,时，sin单调递减，ln(+1)单调递减 ()在2,上单调递减 又(2)0，()=sin ln(+1)=ln(+1)0 即()(2)ln(+1)ln=1 sin ln(+1)0 即()在(,+)上不存在零点 综上所述：()有且仅有2个零点 小提示：本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.