常微分方程边值问题的试射法毕业论文.doc
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1、南 京 师 范 大 学毕 业 设 计(论 文)( 2011 届)题 目: 常微分方程边值问题的试射法 学 院: 数学科学学院 专 业: 信息与计算科学 姓 名: 学 号: 指导教师: 目录目录1常微分方程边值问题的试射法2摘要2关键字2Abstract3Keyword31.引言42二阶常微分方程第一边值问题42.1二阶常微分方程边值问题的相关定理42.2二阶常微分方程第一边值问题的算法62.3使用上述算法求解103.二阶常微分方程第二,第三边值问题123.1二阶常微分方程第二边值问题算法思想和步骤123.2二阶常微分方程第三边值问题算法思想和步骤144.其余常用算法的概述154.1 Netwo
2、n法的概述154.2二分法的概述154.3三种方法的比较165算法的改进166.致谢词177.参考文献17附录1 二阶常微分方程第一边值问题的试射法(割线法)程序(c+)19附录2 英文文献翻译22常微分方程边值问题的试射法张晓飞06级3班 信息与计算科学专业 06070312摘要本论文给出了二阶常微分方程边值问题的相关概念及描述,重点讨论了二阶常微分方程第一边值问题。并给出了二阶常微分方程第一边值问题解的存在唯一性定理,以及相关的定理证明。利用化边值问题为初值问题的基本思想,给出了二阶常微分方程第一,第二,第三边值问题试射法及打靶法的基本思想和相关的算法步骤。给出了二阶常微分方程第一边值问题
3、试射法的实例和程序,最后并对试射法进行了些许的改进。关键字 常微分方程边值问题 试射法 割线法 牛顿法 AbstractThis paper gives the description about the related concepts of second order ordinary differential equations, focusing on the first boundary value problem of second order ordinary differential equations. Then gives the first order ordinary d
4、ifferential equations boundary value problem and uniqueness theorem and proved the theorems. And I give the basic idea and the related steps of the algorithm of shooting method , which work out the first, second and third boundary value about the second order ordinary differential equations, using t
5、he basic idea about using initial value problem instead of boundary value problem. I gives a instances and a program about the first boundary value problem of second order ordinary differential equations. Finally, I do a little improvement about the shooting method.KeywordOrdinary Differential Equat
6、ions shooting method Secant method Newton1.引言常微分方程边值问题在应用科学与工程技术中是经常遇到的,由于边值问题解的存在唯一性比初值问题复杂多,至今没有很有效的解决方法,因此在解决边值问题无论在理论还是在实际计算中都比初值问题麻烦。采用较好的计算格式来进行计算,不仅可以提高解决问题的效率,更能提高应用计算结果的精度,从而使之更能广泛地应用于科学工程领域。而常微分方程的试射法就是被广泛采用的数学方法。2二阶常微分方程第一边值问题二阶常微分方程第一边值问题 (1)将问题(1)转化为初值问题 (2)的解在的值满足或者其中为允许的误差界。这样,我们就把作为边
7、值问题(1)的近似解。显然试射法最终将边值问题化为初值问题,再利用相应的方法求解初值问题。在此过程中最为重要的是找出最为合适的,尽可能多的减少计算步骤。2.1二阶常微分方程边值问题的相关定理2.1.1二阶线性常微分方程解的存在唯一性定理 (3)满足(I),在上连续;(II)0,对。则边值问题(3)的解存在唯一。由于非齐次问题的解等于其相应的齐次问题的通解加上其本身的一个特解之和。对于二阶线性边值问题(3)的解可以用以下非齐次线性初值问题(4)的解和齐次线性初值问题的解来表述出来。 (4) (5)证明:设是非齐次线性初值问题(4)的解,是齐次线性问题(5)的解,设 就是二阶非线性边值问题的唯一解
8、。2.1.2二阶常微分方程解的存在唯一性定理设方程(1)的函数及,在区间内连续,且(I) (II)在内有界,即存在常数M,使得 则边值问题(1)的解存在唯一。2.2二阶常微分方程第一边值问题的算法2.2.1二届常微分方程第一边值问题的算法思想只要问题(2)的解在的值满足或者,为允许误差界。这样,我们把作为边值问题(1)的近似解。为此,可以采取逐次逼近法来实现。假设为边值问题的解,我们估计的值为后,解决初值问题这样得到的解为,并计算得到。一般,若或者,则把作为边值问题(1)的近似解;否则必须调整,例如取(),则在(2)中令,再求解此初值问题。设计算得它的解为,若或,则作为边值问题(1)的近似解。
9、否则再修改。如此重复计算,直至或者时,便以作为边值问题(1)的近似解yxOab 图1参见图1上面的积分曲线的过大,下面的积分曲线的过小。对于解高阶的微分方程初值问题的数值法可以使用经典四阶Runge-Kutta方法求解。则问题关键是如何确定参数。当,解得初值问题的解为。自然,我们希望从而,确定的问题可以归结为求方程 (6)的近似跟。(6)是一个非线性方程,可以使用二分法,割线法,Netwon法来求解,本文只采用割线法和二分法。2. 2.2二阶常微分方程的第一边值问题算法过程2.2.2.1经典四阶Runge Kutta法求解高阶微分方程初值问题算法求解高阶微分方程初值问题,即将高阶化为一阶常微分
10、方程组的初值问题输入:端点a,b;方程个数m;整数N;初值,。输出:解在t的N+1个等距点的近似。Step1. ; 。Step2. 对j=1,2,m 。Step3. 输出。Step4. 对i=1,2,N做Step511. Step5. 对j=1,2,m 。 Step6. 对j=1,2,m 。 Step7. 对j=1,2,m Step8. 对j=1,2,m Step9. 对j=1,2,m Step10. 。 Step11. 输出。Step12. 停机。2.2.2.2二阶常微分边值问题的试射法(割线法)选取割线法来解问题(6)我们需要选取初始近似的和,由公式生成序列。按照割线法求得,直到为止,其中
11、为允许的误差界。因此,解边值问题(1)的打靶法(由割线法确定参数,由经典四阶Runge-Kutta方法求解)的计算步骤如下:令。给定初始值,误差容限,最大迭代次数。Step1. 取,解初值问题(2)得解在的近似值: ,(=)Step2. 若则输出 ,作为初值问题(1)的解在,的近似值;停机。否则转Step3。Step3. 令,解初值问题(2)得解在的近似值:,(= )。Step4. 若,则输出 ,作为初值问题(1)的解在,的近似值;停机。否则转Step5。Step5. 对于k=2,3,m做 Step68 Step6. 由割线法公式计算; Step7. 令,解初值问题(2)得解在(=1,N)的(
12、近似)值: ,(=) Step8. 若,则输出 , 作为初值问题(1)的解在,的近似值;停机。Step9. 输出(Method failed);停机。2.3使用上述算法求解2.3.1当所取初始值为正数时初始输入如图1:图1结果如表1:ix(i)数值解准确解误差00-0.3-0.301pi/20-0.311949732-0.3119499492.167E-072pi/10-0.316218321-0.3162186543.338E-0733pi/20-0.31270064-0.3127010073.675E-074pi/5-0.301483289-0.3014836243.35E-075pi/4
13、-0.282842458-0.2828427132.55E-0763pi/10-0.257237127-0.2572372751.487E-0777pi/20-0.225297763-0.2252978023.98E-0882pi/5-0.187810794-0.18781075-4.41E-0899pi/20-0.145699244-0.145699174-7.05E-0810pi/2-0.1-0.10表1此时试射法中t的取值为:-0.09999343444一共计算3次。精确解与近似解的图像如图2:其中黑色曲线表示精确解,蓝色曲线表示近似解。图22.3.2当所取初始值为负数时初始输入如图3:
14、 图3结果如表2: ix(i)数值解准确解误差00-0.3-0.301pi/20-0.311949732-0.3119499492.167E-072pi/10-0.316218321-0.3162186543.338E-0733pi/20-0.31270064-0.3127010073.675E-074pi/5-0.301483289-0.3014836243.35E-075pi/4-0.282842458-0.2828427132.55E-0763pi/10-0.257237127-0.2572372751.487E-0777pi/20-0.225297763-0.2252978023.98
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